🎲#گام_به_گام

✨ یک مدل ریاضی از تشکیل ستاره در کهکشان

📝 این مقاله به طور کلی به تشکیل ستاره در کهکشان، به ویژه ستاره‌های آبی می‌پردازد. ستاره‌های آبی درخشان‌ترین، پرجرم‌ترین و از نظر شعاع بزرگ هستند. یک مدل ریاضی ساده از تشکیل ستارگان ایجاد شده و در الگوریتم محاسباتی قرار داده شده است. این الگوریتم ما را قادر می‌سازد تا در مورد شکل گیری ستاره بیشتر بدانیم. برای توجیه این مدل از چند نمونه واقعی و مصنوعی استفاده شده است.

#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

✉️@IDSchools
✉️@IDS_Math

🎲#گام_به_گام

❓ رایج‌ترین توزیع‌های احتمالی که در یادگیری ماشین استفاده می‌شود کدامند؟

1️⃣ توزیع نرمال
توزیع نرمال که با نام توزیع گاوسی نیز شناخته می‌شود، یکی از پرکاربردترین توزیع‌های احتمال در یادگیری ماشینی است. با منحنی زنگوله‌ای مشخص می‌شود که حول میانگین متقارن است و دارای یک انحراف استاندارد است که گستردگی داده‌ها را اندازه‌گیری می‌کند. توزیع نرمال اغلب برای مدل‌سازی متغیرهای پیوسته استفاده می‌شود که تمایل طبیعی به خوشه‌بندی حول یک مقدار مرکزی دارند. همچنین برای انجام تست‌های آماری مانند آزمون t یا آزمون z که میانگین‌های دو نمونه را با هم مقایسه می‌کنند مفید است.

2️⃣ توزیع دو جمله ای
توزیع دو جمله‌ای یک توزیع احتمال گسسته است که تعداد موفقیت‌ها را در تعداد ثابتی از آزمایش‌های مستقل مدل می‌کند که هر کدام با احتمال موفقیت ثابتی همراه هستند. برای مثال، اگر یک سکه را 10 بار پرتاب کنید، در هر پرتاب 50 درصد احتمال شیر آمدن را داشته باشد، توزیع دوجمله‌ای می‌تواند احتمال بدست آوردن تعداد معینی از شیرها را به شما بگوید. توزیع دوجمله‌ای اغلب برای مدل‌سازی نتایج دوتایی، مانند بله/خیر، پیروزی/شکست یا برد/باخت استفاده می‌شود. همچنین برای انجام آزمون‌های فرضیه مانند آزمون کای دو یا آزمون دقیق فیشر که نسبت‌های دو گروه را با هم مقایسه می‌کنند، مفید است.

3️⃣ توزیع پواسون
توزیع پواسون یکی دیگر از توزیع‌های احتمال گسسته است که تعداد رویدادهایی را که در یک بازه زمانی یا مکانی ثابت رخ می‌دهند، با توجه به میانگین نرخ وقوع ثابت مدل می‌کند. به عنوان مثال، اگر تعداد مشتریانی را که در یک ساعت وارد یک فروشگاه می‌شوند مشاهده کنید و میانگین نرخ آن 10 مشتری در ساعت باشد، توزیع پواسون می‌تواند احتمال مشاهده تعداد معینی از مشتریان را به شما بگوید. توزیع پواسون اغلب برای مدل‌سازی رویدادهای نادر مانند تصادفات، نقص‌ها یا خرابی‌ها استفاده می‌شود. همچنین برای انجام تجزیه و تحلیل رگرسیون، مانند رگرسیون پواسون یا رگرسیون دو جمله‌ای منفی، که تعداد یک متغیر نتیجه را پیش‌بینی می‌کند، مفید است.

4️⃣ توزیع یکنواخت
توزیع یکنواخت یک توزیع احتمال پیوسته است که احتمال مساوی را به همه مقادیر در یک محدوده معین اختصاص می‌دهد. برای مثال، اگر یک قالب منصفانه بچرخانید، توزیع یکنواخت می‌تواند احتمال بدست آوردن هر عددی از 1 تا 6 را به شما بگوید. توزیع یکنواخت اغلب برای مدل‌سازی متغیرهایی استفاده می‌شود که برای هیچ مقداری ترجیح یا تعصب ندارند، مانند اعداد تصادفی، رنگ‌ها یا زوایا. همچنین برای اجرای تکنیک‌های نمونه‌گیری، مانند روش راه‌اندازی یا مونت کارلو، که نمونه‌های تصادفی از یک جامعه تولید می‌کنند، مفید است.

5️⃣ توزیع نمایی
توزیع نمایی یک توزیع احتمال پیوسته است که زمان یا فاصله بین دو رویداد متوالی را که با نرخ میانگین ثابت رخ می‌دهند، مدل می‌کند. به عنوان مثال، اگر زمان بین دو تماس تلفنی را مشاهده کنید و میانگین نرخ آن 5 تماس در ساعت باشد، توزیع نمایی می‌تواند احتمال انتظار مدت زمان مشخصی برای تماس بعدی را به شما بگوید. توزیع نمایی اغلب برای مدل‌سازی داده‌های بقا یا قابلیت اطمینان، مانند طول عمر یک محصول، مدت یک سرویس یا میزان خرابی یک جزء استفاده می‌شود. همچنین برای انجام تجزیه و تحلیل بقا، مانند برآوردگر Kaplan-Meier یا مدل خطرات متناسب کاکس، که تابع بقا یا تابع خطر یک جمعیت را تخمین می‌زند، مفید است.

#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

✉️@IDSchools
✉️@IDS_Math

🆕🆕🆕🆕🆕🆕🆕🆕🆕🆕🆕

🟢دپارتمان علوم زیستی مجموعه علمی و پژوهشی مدارس میان رشته ای برگزار میکند:

✨سری وبینارهای رایگان «همگام با پیشتازان»✨

4️⃣1️⃣قسمت چهاردهم:

🔺با حضور: دکتر صفورا پاکیزه کار
🔺پژوهشکده غدد و متابولیسم، دانشگاه علوم پزشکی شهید بهشتی

💡موضوع ارائه: زیست شناسی سلولی سرطان

🔜 دوشنبه 7 آبان 1403، ساعت 18 به وقت ایران

🔹 در این سری وبینارهای رایگان که به همت مدارس میان‌رشته‌ای برگزار می‌شود، میزبان اساتید، پژوهشگران و دانشجویان برگزیده و نخبه در داخل و خارج کشور خواهیم بود و با مسیر موفقیت آکادمیک ایشان و نیز پژوهش‌های میان‌رشته‌ای آشنا خواهیم شد.

🟢مدارس میان رشته‌ای در نظر دارد در تمامی کانال‌های علمی خود شامل: هوش مصنوعی، نوروساینس، روانشناسی، علوم زیستی، پزشکی، فیزیک، ریاضیات و... این سری وبینارهای ارزشمند را به صورت ماهانه برگزار نماید.

👈 برای ثبت نام در این وبینار به کانال علوم زیستی و جهت کسب اطلاعات بیشتر به گروه تعاملی ما بپیوندید.


✉️| @IDS_Bio||کانال علوم زیستی|
✉️| @IDSchools||کانال اصلی|
✉️| @Bio_IDSchools|گروه تعاملی علوم زیستی|

🖥 #سازنده_جهان_دیجیتال

⭐️ ریاضی مورد نیاز برای علوم کامپیوتر

🔹 رشته های علوم کامپیوتر در مقایسه با اکثر رشته ها باید انواع مختلفی از ریاضیات را یاد بگیرند. این نوع ریاضی به ویژه برای کسانی که به دنبال تحقیق در زمینه هایی مانند علوم کامپیوتر، هوش مصنوعی یا حتی ریاضیات محض هستند، مهم است.

https://youtu.be/eSFA1Fp8jcU?si=S9GYRZzBuVvcrG7e

#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

🚀@IDSchools
🚀@IDS_Math

✨✨✨#زیبایی_های_ریاضی✨✨✨

👀ستاره‌هایی که رفتار پوچ دارند!

🟡 برای قرن‌ها، تنها راه برای روشن کردن اسرار سیاهچاله ها از طریق قدرت ریاضیات بود.

🧬 سیاهچاله‌ها موجوداتی هم عادی و هم خارق‌العاده هستند. اخترفیزیکدانان بر این باورند که سیاهچاله‌های غول‌پیکر، با جرمی معادل میلیون‌ها یا میلیاردها خورشید، در مرکز هر کهکشان بزرگ وجود دارند و تأثیر زیادی بر شکل‌گیری ستارگان دارند. تخمین زده می‌شود که بیش از 200 میلیارد کهکشان وجود دارد که هر کدام حدود 100 میلیون سیاهچاله به اندازه ستاره دارند. در آینده‌ای بسیار دور، زمانی که کیهان به سن 40 میلیارد سال برسد، سیاهچاله‌ها تنها اجرام باقی‌مانده خواهند بود. این نتیجه‌گیری در سال 1997 توسط اخترفیزیکدانان فرد سی آدامز و گرگوری لافلین انجام شد.

🧬 سیاهچاله‌ها متراکم‌ترین اجرام کیهان هستند. اگر خورشید به شعاع کمتر از 3 کیلومتر فشرده شود، به یک سیاهچاله تبدیل می‌شود. میدان گرانشی این اجرام آن‌قدر قوی است که حتی نور هم نمی‌تواند از آن خارج شود، به همین دلیل به آن‌ها "سیاه" می‌گویند و نمی‌توانیم به داخل آن‌ها نگاه کنیم.

🧬 سیاهچاله‌ها اجرام بسیار متراکم و غیرقابل مشاهده‌ای هستند که اطلاعات درباره آن‌ها عمدتاً از طریق نظریه‌های فیزیکی و ریاضی به‌دست آمده است. از اواخر قرن هجدهم، ریاضیدانان به سوالاتی درباره این اجرام پرداخته‌اند، حتی قبل از اینکه ابزارهای مشاهده‌ای مناسب وجود داشته باشد. این تلاش‌ها نشان‌دهنده قدرت تخیل انسان در درک کیهان است.

🧬 مفهوم سیاهچاله‌ها برای اولین بار توسط جان میشل در سال 1783 مطرح شد، هرچند او آن‌ها را به این نام نمی‌خواند. میشل همچنین در سال 1750 نشان داد که نیروی بین دو جسم مغناطیسی با مجذور فاصله بین آن‌ها کاهش می‌یابد. او اولین کسی بود که از روش‌های آماری برای نشان دادن تجمع ستاره‌ها در جفت‌ها و گروه‌ها استفاده کرد و ابزاری برای اندازه‌گیری گرانش بین دو جسم ابداع کرد که بعداً توسط هنری کاوندیش در سال 1798 استفاده شد.

🧬 جان میشل در سال 1783 نظریه‌ای را مطرح کرد که بر اساس آن اگر یک ستاره به اندازه کافی بزرگ باشد (بیش از 500 برابر قطر خورشید)، گرانش آن می‌تواند به قدری قوی باشد که نور emitted از آن نتواند فرار کند. او این ایده را بر اساس نظریه نیوتن درباره نور به عنوان جریانی از ذرات بنا نهاد و نتیجه گرفت که در چنین حالتی، نور به سمت ستاره بازمی‌گردد و آن را به نوعی "سیاهچاله" تبدیل می‌کند.
👈 ادامه دارد...
#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

✈️@IDSchools
✈️@IDS_Math

🤩#زیبایی_های_ریاضی

✨ستاره‌هایی که رفتار پوچ دارند! (قسمت دوم)

✅ سرعت فرار آنها در واقع از سرعت نور بیشتر است.

🔴 هر نوری که یک ستاره تولید می‌کند، در داخل آن به دام می‌افتد و باعث می‌شود که ستاره نامرئی شود. اما ممکن است بتوانیم وجود آن را از طریق حرکت اجرام نورانی دیگری که به دور آن می‌چرخند، تشخیص دهیم. به این ترتیب، حرکات این اجسام می‌تواند نشانه‌ای از وجود ستاره‌های نامرئی باشد.

🔴میشل در ارائه‌اش به درستی درباره سیاهچاله‌ها صحبت کرد. او گفت که سرعت فرار از سیاهچاله‌ها بیشتر از سرعت نور است و با بررسی حرکات اجسام نورانی اطراف، می‌توان وجود سیاهچاله‌های زیادی را شناسایی کرد.

🔴میشل در توضیحاتش درباره سیاهچاله‌ها اشتباهاتی داشت. اکنون می‌دانیم که چگالی ستاره، نه قطر آن، تعیین‌کننده تبدیل به سیاهچاله است. همچنین، آلبرت انیشتین در سال 1905 نظریه‌ای را مطرح کرد که نور با سرعت ثابت حرکت می‌کند و تحت تأثیر گرانش قرار نمی‌گیرد. آزمایش‌های توماس یانگ در سال 1801 نیز نشان داد که نور خواص موجی دارد و این موضوع نظریه نیوتن درباره نور را رد کرد.

🔴تعداد کمی از دانشمندان در زمان میشل قادر به درک ایده‌های او درباره ستاره‌های تاریک و نامرئی بودند و به همین دلیل، نظریاتش توجه زیادی جلب نکرد. برای درک بهتر این اشیاء، نیاز به یک رویکرد جدید در تفکر درباره ماده، گرانش، نور و انرژی بود. این رویکرد جدید را انیشتین در 25 نوامبر 1915 با معرفی نظریه نسبیت عام و جایگزینی قانون گرانش نیوتن ارائه داد.

🔴انیشتین نظریه جدیدی درباره گرانش ارائه داد که بر پایه هندسه بود. او گفت گرانش نتیجه انحنای فضا-زمان است که توسط جرم‌های بزرگ مانند خورشید ایجاد می‌شود. به جای اینکه گرانش را نیرویی بین اجسام بدانیم، انیشتین توضیح داد که جرم‌ها فضا-زمان را منحنی می‌کنند و این انحنا باعث حرکت اجسام دیگر می‌شود. جان ویلر این مفهوم را خلاصه کرد: "فضازمان منحنی به ماده می‌گوید چگونه حرکت کند و ماده به فضا-زمان می‌گوید چگونه منحنی کند."

🔴انیشتین برای رسیدن به نظریه گرانش جدید خود، 10 سال تلاش کرد و در این مدت بیشترین کوشش را در زندگی‌اش انجام داد. جالب اینجاست که او در ابتدا به ریاضیات اهمیت نمی‌داد و در دوران دانشجویی نیز در این زمینه تلاش زیادی نکرده بود. زمانی که تصمیم به فرموله کردن نظریه عمومی خود گرفت، اطلاعات کمی درباره هندسه داشت و حتی از هندسه فضاهای منحنی که توسط ریاضیدان ریمان در سال 1854 معرفی شده بود، بی‌خبر بود. با این حال، نظریه او بر اساس همین هندسه بنا شد.

🔴معادله اصلی انیشتین، Gᵢⱼ = Tᵢⱼ ، ارتباط بین انحنای فضازمان و توزیع ماده و انرژی را نشان می‌دهد. در اینجا G و T تانسورهایی هستند که آرایه‌های ۴ در ۴ از اعداد و توابع هستند. این معادله در واقع شامل ۱۰ معادله "میدان" است که حل هر یک از آن‌ها دشوار است و باید همه به طور همزمان حل شوند.

👈 ادامه دارد...
#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

✉️@IDSchools
✉️@IDS_Math

🖥 #سازنده_جهان_دیجیتال

😮 بیش از 100 مفهوم علوم کامپیوتر توضیح داده شده است!

◀️ اصول علم کامپیوتر را با یک تفکیک سریع اصطلاحات که هر مهندس نرم افزار باید بداند، بیاموزید. بیش از 100 مفهوم فنی از برنامه درسی CS توضیح داده شده است تا پایه ای برای برنامه نویسان فراهم کند.

https://youtu.be/-uleG_Vecis?si=PGftT4KcG9L8mhYN

#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

✉️@IDSchools
✉️@IDS_Math

🗣️#سخن_بزرگان

💬 "منطق، علم است و باید به‌گونه‌ای با دقت و وضوح بیان شود. اگر ما از منطق به‌درستی استفاده کنیم، می‌توانیم هر مسأله‌ای را حل کنیم."
جورج بول

👤جورج بول (George Boole) یک ریاضیدان، منطق‌دان و فیلسوف انگلیسی بود که در تاریخ ۲ نوامبر ۱۸۱۵ متولد شد و در ۸ دسامبر ۱۸۶۴ درگذشت. او به خاطر کارهایش در زمینه منطق و ریاضیات مشهور است و به ویژه به خاطر توسعه منطق بولی شناخته می‌شود.

✅ زندگی‌نامه و تحصیلات:

• بول در یک خانواده‌ی فقیر به دنیا آمد و بیشتر تحصیلات خود را به‌صورت خودآموز انجام داد.

• او به عنوان معلم ریاضی در مدارس مختلف فعالیت کرد و در نهایت در دانشگاه کنت مشغول به تدریس شد.

✅ کارهای علمی:

• منطق بولی: بول مفهوم جدیدی از منطق را معرفی کرد که به منطق بولی معروف است. این منطق بر اساس دو حالت درست و نادرست (۱ و ۰) بنا شده و پایه‌گذار بسیاری از نظریه‌های مدرن در علوم کامپیوتر و الکترونیک است.

• کتاب "تحلیل ریاضی منطق": این کتاب که در سال ۱۸۴۷ منتشر شد، به تشریح اصول منطق بولی می‌پردازد و تأثیر زیادی بر روی فلسفه و ریاضیات گذاشت.

• توسعه جبر بولی: بول با استفاده از نمادها و عملگرهای ریاضی، جبر بولی را توسعه داد که امروزه در طراحی مدارهای دیجیتال و الگوریتم‌های کامپیوتری کاربرد دارد.

✅ تأثیرات:

کارهای جورج بول نه تنها بر ریاضیات بلکه بر فلسفه، علوم کامپیوتر و حتی زبان‌شناسی تأثیرگذار بوده است. منطق بولی اساس بسیاری از سیستم‌های منطقی و برنامه‌نویسی مدرن است.

جورج بول به عنوان یکی از پیشگامان منطق مدرن شناخته می‌شود و میراث او همچنان در علوم مختلف مورد استفاده قرار می‌گیرد.

#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

🚀@IDSchools
🚀@IDS_Math

🤩#زیبایی_های_ریاضی

✨ ستاره‌هایی که رفتار پوچ دارند! (قسمت سوم)

👀 وقتی شعاع به صفر می رسد، فشار و چگالی به بی نهایت نزدیک می شود!

🔴اینشتین نمی‌دانست که آیا می‌توان راه حل دقیقی برای معادلات میدان خود پیدا کرد یا خیر. وقتی به بررسی مدار غیرعادی عطارد پرداخت، به دنبال راه‌حل‌های تقریبی بود و در نهایت موفق به یافتن آن شد.

🔴مقاله انیشتین در 25 نوامبر 1915 به کارل شوارتزشیلد، یک سرباز 42 ساله آلمانی، رسید. او در طول جنگ و در زمان‌های فراغت، مقاله انیشتین را خواند و ایده‌های خود را توسعه داد. شوارتزشیلد در نامه‌ای به تاریخ 22 دسامبر به انیشتین، اولین راه‌حل دقیق معادلات میدان نسبیت عام را ارائه داد که هندسه فضا-زمان را در اطراف یک ستاره کروی و بدون چرخش توصیف می‌کرد. این راه‌حل به او این امکان را داد که حرکت دقیق عطارد به دور خورشید را توضیح دهد.

🔴در فوریه، کارل شوارتزشیلد مقاله دومی منتشر کرد که در آن به بررسی درون ستاره‌ای با جرم زیاد پرداخت. او نشان داد که اگر جرم کافی در یک شعاع کوچک جمع شود، نوری که از آن ستاره تولید می‌شود، نمی‌تواند از آن شعاع خارج شود. این شعاع به نام "شعاع شوارتزشیلد" شناخته می‌شود و مرز چیزی است که امروز آن را "افق رویداد" می‌نامیم؛ نقطه‌ای که پس از آن هیچ نوری یا ذره‌ای نمی‌تواند فرار کند و نشان‌دهنده وجود یک سیاهچاله است.

🔴کارل شوارتزشیلد در مقاله‌ای نشان داد که اگر جرم زیادی در یک شعاع کوچک جمع شود، نوری که از آن تولید می‌شود نمی‌تواند فرار کند و این به تشکیل سیاهچاله منجر می‌شود. او همچنین به وجود نقطه‌ای به نام "تکینگی" اشاره کرد که در آن چگالی و فشار به بی‌نهایت نزدیک می‌شوند و قوانین نسبیت عام دیگر کاربرد ندارند. این کشفیات او تنها چند ماه پس از معرفی نظریه نسبیت عام بود.

🔴اینشتین به وجود اشیایی که از معادلات شوارتزشیلد ناشی می‌شوند، تردید داشت و گفت: "اگر این نتیجه واقعی بود، یک فاجعه واقعی بود."

🔴شوارتزشیلد راه‌حل خود در معادلات نسبیت عام را مهم می‌دانست، اما از وجود اجرام ناشی از آن، که بعدها سیاهچاله نامیده شدند، مطمئن نبود. او نگران بود که نتواند مکانیسمی برای شکل‌گیری این اجرام تصور کند و به فشارهای بی‌نهایت پیش‌بینی‌شده اعتقاد نداشت. متأسفانه، او نتوانست تحقیقات خود را ادامه دهد و در می 1916 به دلیل بیماری ناشی از جنگ درگذشت.

🔴اگرچه تحلیل‌های ریاضی بر اساس نظریه انیشتین احتمال وجود سیاه‌چاله‌ها را بالا برد، اما این مفهوم تا زمانی که دلایل قانع‌کننده‌ای برای وجود واقعی آن‌ها ارائه نشود، همچنان انتزاعی باقی ماند.

🔴در سال 1930، سوبرهمانیان چاندراسخار، یک دانشجوی 19 ساله هندی، در سفر به انگلستان به دانشگاه کمبریج رفت و به مطالعه اخترفیزیک پرداخت. او تحت تأثیر کتابی از آرتور ادینگتون درباره کوتوله‌های سفید قرار گرفت و به بررسی حداکثر جرم این ستاره‌ها پرداخت. چاندراسخار دریافت که یک کوتوله سفید نمی‌تواند بیش از 1.44 برابر جرم خورشید باشد، زیرا در غیر این صورت به یک تکینگی با چگالی بی‌نهایت سقوط می‌کند. این آستانه اکنون به نام "حد چاندراسخار" شناخته می‌شود و به درک ما از سیاه‌چاله‌ها کمک کرد.

🔴 او این یافته‌ها را در جلسه انجمن سلطنتی نجوم لندن ارائه داد، اما آرتور ادینگتون به چالش کشید و گفت که ایده‌های چاندراسخار فقط ریاضیاتی هستند و ارتباطی با دنیای واقعی ندارند. ادینگتون معتقد بود که باید قانونی در طبیعت وجود داشته باشد که از چنین رفتاری در ستاره‌ها جلوگیری کند.

🔴چاندراسخار در نهایت تبرئه شد و در سال 1983 جایزه نوبل فیزیک را برای کارهایش در مورد تکامل ستارگان دریافت کرد. او همچنین کتابی 672 صفحه‌ای درباره نظریه ریاضی سیاهچاله‌ها منتشر کرد. تاریخ نشان داد که ادینگتون اشتباه کرده بود و قوانین طبیعت به ستارگان اجازه می‌دهند که به شیوه‌ای غیرمعمول رفتار کنند، که این موضوع توسط جی رابرت اوپنهایمر و همکارانش در اواخر دهه 1930 اثبات شد.

🔴اوپنهایمر نتایج چاندراسخار را درباره محدودیت جرم ستارگان گسترش داد و نشان داد که ستاره‌های نوترونی، که هسته‌های ستارگان فروپاشیده هستند، می‌توانند نوترون‌ها را تشکیل دهند. او و جورج ولکوف ثابت کردند که اگر جرم یک ستاره نوترونی بیشتر از سه برابر جرم خورشید باشد، به طور حتم به یک سیاهچاله فرو می‌ریزد.

⬅️ ادامه دارد...

#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

✉️@IDSchools
✉️@IDS_Math

🔹 #توسعه_و_تحقیق_کار_ها

📌یک سخنرانی کامل برای یادگیری علم داده

🔣 در این ویدیو ابزارها و تکنیک هایی را که به ما در درک داده ها کمک می کنند را کشف خواهیم کرد. این ویدئو برای راهنمایی شما در زمینه مفاهیم اساسی و برخی از قوی ترین تست های آماری مورد استفاده در تحقیقات امروزی طراحی شده است. از مبانی آمار توصیفی گرفته تا پیچیدگی‌های رگرسیون و فراتر از آن، چگونگی تناسب هر روش با تصویر بزرگ‌تر تحلیل داده‌ها را بررسی خواهیم کرد.

https://youtu.be/Ym1iH8-GQOE?si=M5rmts-XSYS-XBXk


#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

✉️@IDSchools
✉️@IDS_Math

🤩#زیبایی_های_ریاضی

✨ ستاره‌هایی که رفتار پوچ دارند! (قسمت چهارم)

👀 استدلال‌های اینشتین در نهایت رد شد و او هرگز مقاله دیگری در مورد سیاهچاله‌ها ننوشت!

🔘 اوپنهایمر و هارتلند اسنایدر در سپتامبر 1939 مقاله‌ای نوشتند که فرآیند انفجار یک ستاره و تشکیل سیاه‌چاله را به‌طور ریاضی توضیح می‌دهد. دمتریوس کریستودولو، ریاضیدان، این کار را «بسیار مهم» دانسته و آن را اولین تحقیق در زمینه فروپاشی گرانشی نسبیتی می‌داند. آنها با استفاده از معادلات انیشتین، نظریات شوارتزشیلد را درباره تشکیل سیاه‌چاله‌ها به واقعیت نزدیک کردند.

🔘 در اکتبر 1939، انیشتین مقاله‌ای منتشر کرد و ادعا کرد که «تکینگی‌های شوارتزشیلد» در واقعیت فیزیکی وجود ندارند. او این پیش‌بینی را بر اساس معادلات خود مطرح کرد، اما استدلال‌هایش رد شد و او هرگز مقاله دیگری درباره سیاه‌چاله‌ها ننوشته است.

🔘 اوپنهایمر بعد از مشارکت‌های مهمش در فیزیک، به پروژه منهتن پیوست و در سال 1943 به عنوان مدیر آزمایشگاه لوس آلاموس منصوب شد. این مسئولیت جدید باعث شد که او دیگر به بررسی نظریه‌های قبلی‌اش درباره سیاه‌چاله‌ها نپردازد.

🔘 در سال 1963، روی کر، ریاضیدان نیوزیلندی، به نقصی در راه حل شوارتزشیلد برای سیاه‌چاله‌ها پی برد. این راه حل تنها برای سیاه‌چاله‌های کروی و ساکن معتبر بود، در حالی که ستاره‌ها و سیاره‌ها معمولاً در حال چرخش هستند و کاملاً گرد نیستند. همکار او، آلن تامپسون، به کر توصیه کرد که وقت خود را صرف بررسی سیاه‌چاله‌های چرخان نکند، زیرا فیزیکدان ازرا نیومن و همکارانش به تازگی اعلام کرده بودند که هیچ راه حلی برای این نوع سیاه‌چاله‌ها وجود ندارد.

🔘 روی کر، ریاضیدان نیوزیلندی، با شناسایی نقصی در راه حل شوارتزشیلد برای سیاه‌چاله‌ها، تصمیم به بررسی سیاه‌چاله‌های چرخان گرفت. او دو فرض ساده را اتخاذ کرد: اول، سیاه‌چاله‌ها با سرعت ثابت در حال چرخش هستند و دوم، آنها حول یک محور عمودی متقارن‌اند. با این فرضیات، کر موفق شد معادلات اینشتین را برای سیاه‌چاله‌های چرخان حل کند و این سیاه‌چاله‌ها به نام "سیاه‌چاله‌های کر" شناخته شدند.

🔘 مقاله کر که در ژوئیه 1963 منتشر شد، تنها یک صفحه و نیم طولانی بود، اما پیشرفتی بزرگ در توصیف سیاه‌چاله‌ها به شمار می‌رفت. او بهترین نمایش ریاضی از سیاه‌چاله‌های واقعی را ارائه کرد. چاندراسخار این دستاورد را تحسین کرد و گفت که توصیف کر به خوبی برای «تعداد بی‌شمار سیاهچاله‌های عظیم» در جهان کاربرد دارد.

⬅️ ادامه دارد...
#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

🚀@IDSchools
🚀@IDS_Math

💫#کشف_جادوی_اعداد_و_احتمالات

👀 قدیمی ترین مسئله ی حل نشده در ریاضی

📌 مسئله وجود یا عدم وجود عدد کامل فرد یکی از مسائل باز در ریاضیات است. تا کنون، تمام اعداد کامل شناخته شده، زوج هستند و به شکل 2ᵖ⁻¹(2ᵖ - 1) هستند، که در آن 2ᵖ - 1 یک عدد اول مرفین است. برای مثال:

• برای p = 2، عدد کامل 6 به دست می‌آید.

• برای p = 3، عدد کامل 28 به دست می‌آید.

• برای p = 5، عدد کامل 496 به دست می‌آید.

با این حال، هیچ عدد کاملی که فرد باشد تاکنون پیدا نشده است. برخی از ریاضیدانان بر این باورند که هیچ عدد کامل فردی وجود ندارد، اما اثبات قطعی این موضوع هنوز در دست نیست. بنابراین، مسئله وجود یا عدم وجود عدد کامل فرد همچنان یک سوال باز در ریاضیات است.

https://youtu.be/Zrv1EDIqHkY?si=8iRbNzboib49B4y0

#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

📱@IDSchools
📱@IDS_Math

😮#کشف_جادوی_اعداد_و_احتمالات

❓ چرا این عدد همه جا هست؟

🎬https://youtu.be/d6iQrh2TK98?si=6-Frz-8Eu1Ov18VG


#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

🚀@IDSchools
🚀@IDS_Math

🤩#زیبایی_های_ریاضی

✨ ستاره‌هایی که رفتار پوچ دارند! (قسمت پنجم)

◀️ در پاییز 1963، راجر پنروز به دانشگاه تگزاس رفت و با کر درباره تکینگی‌ها در سیاهچاله‌ها بحث کرد. او کنجکاو بود که آیا این تکینگی‌ها در اجسامی که تقارن ندارند نیز وجود دارند یا خیر. در سال 1965، پنروز با استفاده از ابزارهای ریاضی جدیدی که در اختیار داشت، ثابت کرد که در سیاهچاله‌های شوارتزشیلد و کر، سطحی به نام "محبوس بسته" شکل می‌گیرد که انحنای آن به حدی است که نور نمی‌تواند از آن خارج شود. او نشان داد که تشکیل این سطح منجر به سقوط به یک تکینگی می‌شود، حتی اگر تقارن وجود نداشته باشد. این دستاوردها باعث شد که پنروز در سال 2020 جایزه نوبل فیزیک را دریافت کند.

◀️ زمانی که پنروز در پرینستون، کمی پس از انتشار مقاله‌اش در ژانویه 1965، سخنرانی کرد، رابرت دیک، فیزیکدان، به او گفت که «نشان داده است [که] نسبیت عام اشتباه است». پنروز در پاسخ به این نظریه گفت: «اما شما باید تکینگی داشته باشید» - نکته‌ای که بسیاری از فیزیکدانان، از جمله انیشتین، در پذیرش آن تردید داشتند.

◀️ یک قطعه دیگر از این پازل در سال 1979 (منتشر شده در سال 1983) توسط ریاضیدانان ریچارد شوئن و شینگ تونگ یاو ارائه شد. اگرچه پنروز ثابت کرده بود که یک سطح به دام افتاده بسته به جسمی با تکینگی مرکزی منتهی می‌شود، او نگفته بود که چگونه می‌توان چنین سطحی را در وهله اول ایجاد کرد. شوئن و یاو شرایط دقیق را بیان کردند: وقتی چگالی ماده در یک ناحیه خاص دو برابر چگالی یک ستاره نوترونی باشد، یک سطح به دام افتاده تشکیل می‌شود و آن جسم مستقیماً به یک سیاهچاله فرو می‌ریزد.

◀️ کار آنها که اکنون به عنوان اثبات وجود سیاهچاله شناخته می‌شود، در زمانی منتشر شد که وجود سیاهچاله‌ها هنوز موضوع بحث بود. اما در آن زمان، شواهدی شروع به شکل‌گیری کرده بودند. در دهه 1970، ستاره‌شناسان پیشنهاد کردند که یک منبع پرتو ایکس درخشان به نام Cygnus X-1 یک سیاهچاله به اندازه یک ستاره است و همچنین کهکشان M87 دارای یک سیاهچاله بسیار پرجرم به جرم میلیاردها خورشید است. در دهه 1990، شواهد بیشتری نشان داد که یک سیاهچاله کلان جرم در مرکز هر کهکشان بزرگی وجود دارد.

👈 ادامه دارد...
#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

✉️@IDSchools
✉️@IDS_Math

🤩#زیبایی_های_ریاضی

✨ستاره‌هایی که رفتار پوچ دارند! (قسمت ششم)

👀 ریاضیدانان هنوز نقش مهمی در کشف ویژگی های گریزان سیاهچاله ها دارند!

✅ در 14 سپتامبر 2015، رصدخانه LIGO در لوئیزیانا و واشنگتن برای اولین بار امواج گرانشی را شناسایی کرد. این امواج ناشی از برخورد دو سیاهچاله بودند که هر کدام حدود 30 برابر جرم خورشید داشتند و این برخورد 1.3 میلیارد سال پیش در فاصله 1.3 میلیارد سال نوری از زمین اتفاق افتاده بود. از آن زمان، حدود 100 برخورد دیگر بین سیاهچاله‌ها و ستاره‌های نوترونی نیز شناسایی شده است. این کشف‌ها به فهم بهتر ما از سیاهچاله‌ها کمک کرده‌اند.

✅ در سال 2019، یک شبکه جهانی از تلسکوپ‌های رادیویی، تصویری از لبه بیرونی یک سیاه‌چاله بزرگ در مرکز کهکشان M87 گرفت. این سیاه‌چاله جرمش میلیاردها برابر خورشید بود. سپس در سال 2022، همین شبکه تصویری از سیاه‌چاله‌ای در مرکز کهکشان راه شیری گرفت که جرمش 4 میلیون برابر خورشید است.

✅ با توجه به شواهد قوی، وجود سیاه‌چاله‌ها دیگر موضوع بحث بین اخترفیزیکدانان نیست. اما این به این معنا نیست که ما همه چیز را درباره آن‌ها می‌دانیم. هنوز هم اطلاعات ما درباره سیاه‌چاله‌ها کامل نیست و ریاضیدانان نقش مهمی در کشف ویژگی‌های این اشیاء دارند.

✅ در سال 2022، گروهی از ریاضیدانان به رهبری النا گیورگی نشان دادند که سیاه‌چاله‌های کر (که به آرامی می‌چرخند) پایدار هستند. این به این معناست که اگر این سیاه‌چاله‌ها را کمی مختل کنیم، دوباره به حالت قبلی خود برمی‌گردند و همانطور که نظریه Kerr پیش‌بینی کرده رفتار می‌کنند.

✅ در سال 2023، مارکوس خوری و جردن راینون نشان دادند که یک نوع نامتناهی از سیاه‌چاله‌ها می‌تواند در فضاهای با ابعاد بالاتر از سه بعد وجود داشته باشد. در حالی که وجود این نوع سیاه‌چاله‌ها هنوز قطعی نیست، اما ریاضیات هیچ چیزی برای رد کردن آن‌ها ندارد.

✅ در حال حاضر، چندین مشکل هنوز در مورد سیاه‌چاله‌ها وجود دارد که ریاضیدانان را به مدت طولانی مشغول کرده است. یکی از این مشکلات، حدس سانسور کیهانی است که توسط راجر پنروز در سال 1969 مطرح شد. او معتقد است که تکینگی‌ها (نقاطی با چگالی بی‌نهایت) باید پشت افق رویداد سیاه‌چاله‌ها پنهان باشند و هیچ تکینگی «برهنه» (مشاهده‌پذیر) وجود ندارد.

✅ مشکل دیگر به قضیه بدون مو مربوط می‌شود. این قضیه می‌گوید که سیاه‌چاله‌ها فقط با سه ویژگی اصلی یعنی جرم، چرخش و بار الکتریکی قابل توصیف هستند. به عبارت دیگر، اگر دو سیاه‌چاله این سه ویژگی را یکسان داشته باشند، نمی‌توان آن‌ها را از هم تشخیص داد. هرچند برخی موارد خاص برای این مشکلات حل شده، اما هنوز هیچ راه حل کاملی برای آن‌ها وجود ندارد.

✅ دانشمندان هنوز سوالات زیادی درباره سیاه‌چاله‌ها دارند. با اینکه تکنولوژی به ما این امکان را داده که نمای بیرونی این اجسام را ببینیم، اما ریاضیات اغلب تنها ابزاری است که می‌تواند به ما کمک کند تا مکان‌هایی را درک کنیم که ابزارهای ما نمی‌توانند به آن‌ها دسترسی پیدا کنند. این مکان‌ها شامل درون سیاه‌چاله‌ها و نقاطی است که توسط افق رویداد پنهان شده‌اند.

👈 ادامه دارد...
#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

✈️@IDSchools
✈️@IDS_Math

😮#سازنده_جهان_دیجیتال

❓چرا کامپیوترها از صفر و یک استفاده می‌کنند؟

✅ باینری (دوئی) یک سیستم عددی است که فقط از دو رقم 0 و 1 استفاده می‌کند. این سیستم اساس کار کامپیوترها و دستگاه‌های دیجیتال را تشکیل می‌دهد، زیرا تمام داده‌ها و اطلاعات در این دستگاه‌ها به صورت باینری ذخیره و پردازش می‌شوند.

✅ ترانزیستورها نیز اجزای کلیدی در مدارهای الکترونیکی هستند. آن‌ها به عنوان سوئیچ‌ها یا تقویت‌کننده‌ها عمل می‌کنند و می‌توانند جریان الکتریکی را کنترل کنند. ترانزیستورها به دو نوع اصلی تقسیم می‌شوند: ترانزیستورهای پیوندی (BJT) و ترانزیستورهای اثر میدان (FET). با استفاده از ترانزیستورها، مدارهای پیچیده‌ای ساخته می‌شوند که می‌توانند عملیات مختلفی مانند محاسبات، ذخیره‌سازی داده‌ها و پردازش اطلاعات را انجام دهند.

◀️به طور خلاصه، باینری زبان اصلی کامپیوترهاست و ترانزیستورها ابزارهای اساسی برای کنترل و پردازش اطلاعات در این سیستم‌ها هستند.

📱در این ویدیو باینری و ترانزیستورها توضیح داده می‌شود.

https://youtu.be/Xpk67YzOn5w?si=94JUil-AhFh7_zsj


#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

✉️@IDSchools
✉️@IDS_Math

💡#کشف_جادوی_اعداد_و_احتمالات

🔸 اعداد جادویی حسابی

✅ عدد 142857 دارای ویژگی‌های شگفت‌انگیزی است که گاهی به آن‌ها خاصیت جادویی می‌گویند. این ویژگی‌ها به جابجایی و ترتیب مجدد ارقام در مضرب‌های آن مربوط می‌شود؛ به عنوان مثال:

• 2(142857) = 285714

• 3(142857) = 428571

• 4(142857) = 571428

• 5(142857) = 714285

• 6(142857) = 857142

• 7(142857) = 999999

👀 سوال این است که آیا فقط عدد 142857 دارای این ویژگی‌ها است یا اینکه اعداد دیگری نیز وجود دارند. ابتدا به مضرب دو توجه می‌کنیم. بگذارید α، β و γ اعداد دو رقمی باشند. سپس عدد اعشاری αβγ به صورت زیر تعریف می‌شود: α(10,000) + β(100) + γ.

برای اینکه 2(αβγ) برابر با βγα شود، نیاز است که:

• 2α = β

• 2β + 1 = γ

• 2γ - 100 = α

🟢این یک مجموعه از سه معادله خطی در سه ناشناخته است. ثابت‌ها همه صفر نیستند، بنابراین یک راه‌حل منحصر به فرد وجود دارد. جالب اینجاست که این راه‌حل شناخته شده است؛ یعنی α=14، β=28 و γ=57.

اما مشخص است که 2(285714)=571428. این معادله مربوط به راه‌حل زیر است:

• 2α + 1 = β

• 2β - 100 = γ

• 2γ = α

🟢این تنها ترتیب مجدد از جمله‌های ثابت است. بنابراین، جابجایی جادویی ارقام هنگام ضرب در 2 تنها برای اعداد 142857 و 285714 ممکن است. عدد 142857 به عنوان یک بلوک تکراری در نمایش اعشاری 1/7 به وجود می‌آید.

حال به مضرب‌های 076923 توجه کنید:

• (2)076923 = 153846

• (3)076923 = 230769

• (4)076923 = 307692

• (5)076923 = 384615

• (6)076923 = 461538

• (7)076923 = 538461

• (8)076923 = 615384

• (9)076923 = 692307

• (10)076923 = 769230

• (11)076923 = 846153

• (12)076923 = 923076

‼️جابجایی و ترتیب مجدد ارقام برای مضرب دو اتفاق نمی‌افتد، اما برای مضرب‌های سه و نه این اتفاق می‌افتد. از تحلیل قبلی مشخص است که 076923 و 230769 تنها اعداد شش‌رقمی هستند که برای ضرب در سه جابجایی و ترتیب مجدد رخ می‌دهد. عدد 076923 به عنوان یک بلوک تکراری در نمایش اعشاری 1/13 به وجود می‌آید.

💡بیان‌های فوق به اعداد شش‌رقمی اشاره دارد. برای اعداد چهار رقمی ممکن است اعداد جادویی دیگری وجود داشته باشد.

🔣نتیجه‌گیری: اعداد دارای خاصیتی که با ضرب در یک عدد صحیح، جابجایی و ترتیب مجدد ارقام خود را به دست می‌آورند، نسبتاً نادر هستند.

#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

✉️@IDSchools
✉️@IDS_Math

🔹 #توسعه_و_تحقیق_کار_ها

✅نقش آمار در نوروساینس

◀️آمار در مطالعات مغز نقش بسیار مهمی دارد و می‌توان آن را در سه زمینه اصلی بررسی کرد:

🟡1. بررسی تفاوت‌ها: آمار به ما کمک می‌کند تا تفاوت‌های موجود بین مغزهای جمعیت‌های مختلف را مطالعه کنیم. این می‌تواند شامل بررسی تفاوت‌های ژنتیکی، فرهنگی یا محیطی باشد.

🟡2. تغییرات در ساختار و عملکرد مغز: با استفاده از روش‌های آماری، می‌توانیم تغییرات ایجاد شده در ساختار و عملکرد مغز را در طول زمان یا به دلیل عوامل خاص، مانند بیماری‌ها یا آسیب‌ها، بررسی کنیم.

🟡3. تحلیل داده‌های بزرگ: آمار ابزارهای لازم برای کاهش و تحلیل داده‌های بزرگ به دست آمده از تصویربرداری عصبی را فراهم می‌کند. این داده‌ها می‌توانند شامل اطلاعاتی درباره فعالیت‌های مغزی در شرایط مختلف باشند.

💠 در این متن، به بررسی مثال‌هایی از تحقیقات گذشته و جاری در زمینه‌های مختلف مانند اتصال مغز، جریان اطلاعات و مدل‌سازی پیش‌بینی‌کننده عصبی پرداخته می‌شود. همچنین، سعی می‌شود تا حوزه‌هایی که علم آمار می‌تواند به رمزگشایی مغز کمک کند، معرفی شود و پیشنهاداتی برای همکاری نزدیک‌تر بین جوامع آماری و عصبی زیستی ارائه گردد.

🔹به طور کلی، با توجه به پیشرفت‌های کنونی و جستجوی هوش مصنوعی، این همکاری می‌تواند به ما کمک کند تا سؤالات پیچیده‌تری را در مورد عملکرد مغز پاسخ دهیم و به درک بهتری از آن دست یابیم.

#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

✉️@IDSchools
✉️@IDS_Math

📚 #سفر_به_دنیای_کتاب_ها

🤩 دوره کوتاهی در ریاضی علوم اعصاب

🔣 این کتاب دو هدف اصلی دارد: آموزش ساخت مدل‌های ریاضی برای روشن کردن جنبه‌های علوم اعصاب و توضیح روش‌های ریاضی برای تحلیل این مدل‌ها و ارائه پیش‌بینی‌هایی که قابل استفاده در داده‌های تجربی باشند. با توجه به پیشرفت‌های اخیر در روش‌های تجربی، نظریه در علوم اعصاب اهمیت بیشتری یافته است. نویسندگان به جای پروژه‌های بزرگ مانند پروژه Blue Brain، به دنبال نشان دادن چگونگی بهبود درک ما از برخی قسمت‌های مغز با استفاده از مدل‌های ریاضی ساده هستند.

✅ کتاب از یادداشت‌های یک دوره آموزشی در دانشگاه پرینستون شکل گرفته و برای دانشجویان کارشناسی و کارشناسی ارشد طراحی شده است. پیش‌نیازهای این دوره شامل حساب چندمتغیره و جبر خطی است. محتوای فصول 2 تا 6 می‌تواند در 24 جلسه تدریس شود و دانشجویان به جای امتحان نهایی، یک مقاله تحقیقاتی می‌نویسند.

👤 نویسندگان همچنین منابع آموزشی موجود در زمینه ریاضیات علوم اعصاب را بررسی کرده و به کمبود کتاب‌های مرتبط اشاره می‌کنند. آن‌ها به کتاب‌های ویلسون و Dayan و Abbott اشاره می‌کنند که مطالب مشابهی را پوشش می‌دهند، اما تمرکز بیشتری بر روی مدل‌های دینامیکی دارند. همچنین، مونوگرافی Rieke و همکاران و کتاب‌های جدیدتر مانند Izhikevich، Ermentrout و Terman، و Gabbiani و Cox به بررسی عمیق‌تری از این حوزه‌ها پرداخته‌اند. این کتاب‌ها برای خوانندگانی که می‌خواهند فراتر از محتوای دوره ادامه دهند، مناسب هستند.

#️⃣#IDSchools
#️⃣#IDS
#️⃣#IDS_Math

✉️@IDSchools
✉️@IDS_Math