🔵هوش عمومی مصنوعی: دریچه ای برای فلسفه های آینده🔵

در چند مدت اخیر بحث های زیادی در مورد آینده ی AGI (Artificial General Intelligence( و نه AI می شود. چه تفاوتی بین این دو وجود دارد؟ هوش عمومی مصنوعی چه چیز جدیدی به هوش مصنوعی اضافه می کند و آیا این یک پارادیم جدید است؟
یکی از بزرگترین دست آورد های چندین سال اخیر در هوش مصنوعی، علاوه بر محصولات خیره کننده بخصوص از طرف شرکت های بزرگ فناوری یک جهش بزرگ در مدل هایی شده است که انواع مختلف داده یا مدالیتی (modality) مانند متن، تصویر صوت و حتی ویدیو را به صورت همزمان مدل سازی می کنند. این پیشرفت اما فراتر از کاربردهای متنوعی است که از آن استخراج می شود بلکه یک قدم اساسی در ایجاد هوش بهتر است! استفاده از مودالیتی های گوناگون به طرز عجیبی باعث افزایش چشمگیر دقت مدل سازی هر کدام از مدالیتی ها به صورت جداگانه هم شده است. به این معنا که داشتن داده در مورد تصویر یک سیب در کنار متن آن و حتی یک ویدیو از آن به هر کدام ازین مدالیتی به صورت جداگانه کمک بسیار می کند به طور مثال جمله ی بهتری و بدون خطا تری در مورد سیب تولید می شود یا تصویر بهتری از آن تولید می شود. به چنین مدل هایی اصطلاحا generalist یا «همه فن حریف» گفته می شود. هوش عمومی مصنوعی هم اشاره ای به «همه فن حریف» بودن چنین مدل هایی دارد.
به صورت سنتی هوش مصنوعی مساله ی هوش را به وظیفه ها (task) جداگانه ای تقسیم می کرد و هدف حل کردن آن ها به صورت جداگانه بود. این البته یک روش مهندسی معمول است. به طور مثال اگر شما یک خانه بخواهید بسازید کسی که سیم کش است لزومی ندارد اطلاعات فندانسیون خانه را داشته باشد یا کسی که سیستم تهویه را طراحی می کند نیازی به ارتباط مستقیم با بنا ندارد. بیشتر سازه های مهندسی حتی پیچیده ترین آن ها اساسا ازین جهت ساختنشان ممکن هستند که ما به عنوان نوع بشر توانسته ایم یک تقسیم کار دقیق و کارا از فرآیند ساخت آن ها انجام دهیم و به این ترتیب بتوانیم یک جت یا زیردریایی یا پل بسیار عظیم مانند پل گلدن گیت (‌Golden gate) را بسازیم. با این حال چنین روشی که در هوش مصنوعی به صورت سنتی ادامه داشت به آخر خط رسیده است و دیگر نمیتوان انتظار داشت که هوش را با تقسیم کردن آن مدل سازی کرد برعکس هوش یک پدیده ی چند وجهی و بسیار در هم تنیده است که جدا کردن آن به بخش های گوناگون به کارایی آن آسیب جدی وارد می کند.

اما چرا هوش یه پدیده ی «عمومی» است؟ چرا هیچ مدلی تنها با دسترسی به متن نمی تواند تمام آنچه در مورد جهان وجود دارد را بداند؟ مقاله ی اخیری به نام The Platonic Representation Hypothesis یا «فرضیه بازنمایی افلاطونی» یک نگاه دقیق و کمی (quantitative) به پدیده ای است که در چند سال اخیر مشاهده شده است: با گذر زمان مدل ها به یک بازنمایی یگانه از جهان از رهگذر مدالیتی های مختلف (متن تصویر صوت و ویدیو و غیره) رسیده اند. این بازنمایی عمومی هر روز به بازنمایی ای که ما از جهان داریم نزدیک و نزدیک تر می شود و فاصله ی بین آنچه ما از واقعیت می دانیم و این مدل ها کمتر و کمتر می شود. به عبارتی دیگر به سختی می توان اشتباهاتی از نوع «درک نکردن جهان به صورت کلی»‌ در این مدل ها دیده می شود. به طور مثال یک مدل زبانی ممکن است تصور درستی ازینکه چه اتفاقی در پی رها کردن یک لیوان بر روی یک سطح بتنی یا یک پتو نداشته باشد چون چنین دانشی بیشتر نیازمند تصویر از جهان است و نه متن. اما چگونه این سیستم ها به چنین قابلیتی رسیده اند؟
بیایید فرض کنیم که ما می خواهیم چیزی مثل یک «صندلی» را بازنمایی کنیم. مفهوم صندلی با اینکه بسیار ساده بنظر می آید اما در عین حال تقریبا غیر قابل وصف است. آیا صندلی چیزی است که چهار پایه دارد؟ نه صندلی های سه پایه هم هستند. حتی صندلی های بدون پایه هم هستند! آیا صندلی چیزی برای نشستن است؟ صندلی های داخل موزه برای نشستن نیستند! وقتی به آن فکر کنید متوجه می شوید عملا چیز مشترکی در مورد مفهوم «صندلی» وجود ندارد که شما بتوانید همه ی اعضای مجموعه ی صندلی ها را با آن شناسایی کنید. این یک مساله ی قدیمی در فلسفه هم هست. ویتگنشتاین به آن «شباهت خانوادگی» (family resemblance) می گوید. شباهت خانوادگی به این معناست که تمام آنچه می توان از صندلی های مختلف درک کرد یک شباهت عمومی خانوادگی است مانند اینکه شما بسختی می توانید بین اعضای یک خانواده یک ویژگی مشترک پیدا کنید ولی در عین حال به طور شهودی می دانید همه ی آنها به نحوی شبیه به هم هستند! اما چنین چیزی چگونه در شبکه های عصبی رخ می دهد؟

کار بسیاری دشواری نیست که شما یک شبکه ی عصبی را آموزش دهید تا با دقت خیره کننده ای تمام انواع و اقسام صندلی های مختلف را تشخیص دهد اما این شبکه چه ویژگی های مشترکی از «صندلی بودن» را استخراج می کند؟ این سوالی است که ذهن بسیاری را به خود مشغول کرد. با این حال بررسی وزن های درون شبکه با اینکه کمک کننده است راه به جایی نمی برد: شما در لابلای وزن های شبکه ی عصبی تصویر یک «صندلی افلاطونی» نخواهید دید! آنچه دیده می شود از قضا بسیار عجیب و غریب و شوکه کننده است. تصاویری که شباهت های تقریبی به چیزهایی دارند که بافت، شکل های هندسی نامنظم یا منظم و بعضا بخش هایی از یک صندلی است اما آنچه در نهایت رخ می دهد این است که چنین «ویژگی» هایی به صورتی «غیرخطی» با هم ترکیب می شوند تا آنچه در نهایت «بازنمایی» صندلی است را بسازند. در اینجا باید صبر کرد و قدری نسبت به ترکیب «غیر خطی» ویژگی ها دقت کرد. بسیاری از مفهوم سازی های ما ویژگی های خطی بسیار ساده ای دارند به طور مثال شما شاید به این فکر میکردید که جایی در شبکه ی عصبی پایه های صندلی را تشخیص بدهد و بخشی پشتی آن و بعد زیر آن و این قسمت ها روی هم قرار میگیرند! اما در عمل چنین «مفهوم سازی» نمی تواند تمام پیچیدگی های جهان را توضیح دهد. چیزی که به صورت ناخودآگاه در مغز ما هم رخ می دهند فرآیند مشابهی است. در مغز سیگنال های مختلف به صورت غیر خطی با هم ترکیب شده تا مفهموم سازی های پیچیده تر و پیچیده تری ایجاد کنند. به این ترتیب ما به توصیفاتی از جهان می رسیم که حتی به صورت دقیق نمی توانیم آن ها را به صورت خطی به اجزای سازنده اش بشکنیم!

اگر طبیعت «غیر خطی بودن» بازنمایی ها و مفهوم سازی را بپذیریم میتوانیم با استفاده از ابزار های پیچیده ی ریاضی نشان دهیم که حتی با وجود اینکه چیزی در زبان عادی در مورد «صندلی» بودن ثابت نیست یک تابع ریاضی نه چندان ساده «صندلی» بودن را توصیف کرده و به ازای تمام ورودی های مختلف شی «صندلی» ثابت و لایتغیر است.

f(x)=C if x is chair

«صندلی» بودن یک ترکیب غیر خطی از ویژگی های زیادی است که شبکه ی عصبی از داده های ورودی خود جمع آوری می کند. از دید ریاضی فضای تمام صندلی های ممکن یک رویه (یا منیفلد)‌در فضای با ابعاد بسیار بالاست. برای تصویر بهتر می تواند تصور کنید که چنین رویه ای به صورت زیر است

رویه های مختلف توصیف کننده ی «گلدان» (vase( و «خانه ی پرنده»

هر مفهومی در فضای ابعاد بالا یک رویه را مشخص می کند و رویه های عملا فضاهایی با ابعاد کمتر در فضای با بعد بالاتر هستند: شما اگر از روی رویه خارج شوید دیگر از فضای صندلی ها خارج شده اید. چیزی بر روی این رویه ثابت است و آن قاعده ی غیر خطی ای است که رویه را شکل می دهد. به اصطلاح به چنین تابعی که یک قاعده را مشخص می کند نامتغیر یا invariant گفته می شود.

(ادامه دارد)

جهان جبر خطی!

نسخه ی اصلی

چیزهای متفاوت اما شبیه! موسیقی یک جهان مکانیکی؟!

یک مشتری در فنجان قهوه!

🔵 موسیقی یک جهان مکانیکی 🔵

بسیار سخت است تصور اینکه چگونه از قوانین ساده ی فیزیک میتوان چیزهای پیچیده ای همچون «حیات» بوجود بیاید. با اینکه چنین فرآیندی هنوز یک راز است می توان نمونه های ساده تری از «پیچیدگی» را در اطرافمان دید که نتیجه ی قوانینی هستند که کاملا میشناسیم. نتیجه ی اعمال قوانین مکانیک نیوتونی به تعداد زیادی از ذرات در بیشتر مواقع نتیجه ای جز در هم و برهمی و بی نظمی ندارد. چنین واقعیتی را اولین بار بولتزمن و دیگران در ترمودینامیک نشان دادند. وقتی که مولکول های یک گاز به صورت تصادفی به هم برخورد می کنند نتیجه ی نهایی ملغمه ای از حرکات بی نظم و در هم و برهم در نهایت آنتروپی (بی نظمی)‌ هستند. بنظر می رسد نظمی که در طبیعت در مقیاس بزرگ وجود دارد (مانند حیات) نتیجه ی یک فرآیند دقیق و مهندسی شده است. یک مثال معروف برای آنکه چنین برهان نظمی را پر رنگ کنند این است که تصور کنید از یک طوفان که تکه پاره های مواد مختلف را به اطراف پرتاب میکند انتظار داشته باشیم یک هواپیمای بوئینگ ایجاد شود! چنین مثالی ساخته شده تا نشان دهد از قوانین «بی هدف» و «بی روح» و حتی «بی نظم» طبیعت نمی توان انتظار داشت که یک موجودیت پیچیده مثل چشم یا درخت ایجاد شود. با این حال این استدلال به کلی غلط است!

برای درک این موضوع ابتدا بیایید به خود بی نظمی یا آنتروپی فکر کنیم. آنتروپی بیشینه به این معناست که مولکول های گاز در همه جای فضا و در همه جهت ها به صورت یکنواخت توزیع شده اند. هیچ ترجیحی در مکان و جهت حرکت مولکولها وجود ندارد. اما همه ی حالات ماده لزوما به این یکنواختی نیستند! گاهی یک تغییر مثل فشار آوردن به مولکول ها از بیرون باعث می شود که آن ها در یک بخش فضا تمرکز بیشتری داشته باشند یا یک وزش باد می تواند جهت حرکت گاز را یک طرفه کند. در این حالات آنتروپی قدری کاهش پیدا می کند. در حالت کلی محدودیت هایی که بر روی سیستم (متشکل از مولکول های گاز) اعمال می شود یک نظم پدید می آورد! هرچند این نظم با نظمی که انتظار دارید فاصله ی زیادی دارد اما این اولین قدم است!

این محدودیت ها می تواند در فرم یک رابطه ی مشخص بین مولکول ها مشخص شود. رابطه ای که آن ها را به نحوی به هم قفل می کند! بیاید به یک مثال ساده نگاه کنیم. فرض کنید شما یک آونگ دارید. این آونگ به سمت چپ و راست حرکت میکند. اگر در یک لحظه از آونگ عکس بگیرید می توانید تشخیص دهید که سرعت آن چقدر است! به طور مثال اگر آونگ در پایین ترین نقطه باشد بیشترین سرعت را دارد. به عبارتی «مکان» و «سرعت» آونگ به هم قفل شده اند! به چنین محدودیت هایی به اصطلاح holonomic می گویند.

فیزیکدان های قرن ۱۸ به این موضوع پی بردند که بسیاری از سیستم های مصنوعی و حتی طبیعی اطلاعات بیشتری از صرفا قوانین اولیه ی نیوتون دارند. این اطلاعات تعیین می کند که سیستم مورد بررسی نه در فضای تمام حالات ممکن بلکه در یک زیرفضا حرکت می کند. برای اینکه رابطه ی این موضوع را با بحث قبلی متوجه شوید می توانید تصور کنید که یک سیستم در فضای فاز که دارای بعد مکان و سرعت است قرار گرفته است. هر نقطه از فضای فاز به صورت دقیق حالت سیستم را تعیین می کند. مثلا در مورد آونگ این فضا مشخص می کند آونگ در چه سرعتی و دقیقا کجا قرار گرفته است.

«محدودیت»‌ها (constraints) یک رویه (submanifold) در این فضا تعیین می کنند. به این ترتیب همه چیز ممکن نیست و سیستم از قاعده ی مشخصی پیروی می کند. در فیزیک به چنین حالاتی «ساختار های منسجم لاگرانژی» (Lagrange Coherent Structure) یا LCS گفته می شود. مثال حلقه ی مشتری یا گردباد یا حرکت منظم مولکولهای شیر در قهوه که الگوهای معروفی به اسم Rayleigh–Bénard convection شناخته می شود را میسازد! جهان ما پر است از سیستم های منسجم لاگرانژی که برخی عمر طولانی تری از بقیه دارند. دلیل اصلی ایجاد شدن چنین ساختارهای منظمی «محدودیت» هایی است که بر سیستم اعمال می شود. گاهی این محدودیت ها در فرم یک واکنش شیمیایی خود را نشان می دهد. به طور مثال در شیمی تعداد مشخصی از مولکولها با تعداد مشخصی دیگر ترکیب و باز هم تعداد مشخصی مولکول دیگر ایجاد می کنند. چنین محدودیت هایی منجر به الگوهای زیبایی مثل turing pattern می شوند.

این توضیحات قطعا منشا حیات را توضیح نمی دهد اما دانش ما نسبت به فیزیک و قوانین اطلاعات نشان می دهد که «نظم» نتیجه ی ناگزیر قوانین خود طبیعت هستند! قوانین طبیعت کور نیستند و به صورت فعال الگوهایی می سازند که رویه های (submanifold) دقیقی در فضای فاز ایجاد می کنند! برای چنین نظمی نیازی به ناظم وجود ندارد! چیزی که نیاز است اما مطالعه بیشتر ما برای درک این است که پیچیدگی یک اتفاق در طبیعت نیست بلکه یک قانون است! نگاه کردن به قوانین به تنهایی و به صورت فروکاست گرایی (reductionist) مانند این است که فقط بر روی تک نوت های سمفونی باخ تمرکز کنید و تعجب کنید که موسیقی کجای آن است!

🔵بی نهایت راه حل برای مساله ی سه جسم 🔵

آنچه به عنوان سامانه ی خورشیدی (solar system) میشناسیم که خودمان هم در یکی از آن ها هستیم شکل ساده ای است از یک ستاره و چندین سیاره که به دور آن میچرخند بنظر میرسید جهان ما مجموعه ای چنین سیستم هایی باشد و خارج از چنین سیستمی تنها میتوان اجرامی را تصور کرد که یا سر گردانند یا به هم برخورد میکنند بدون آنکه در یک «سیستم پایدار» بتوانند قرار بگیرد. اما چنین چیزی درست نیست!

در سال ۱۸۹۹ هنری پوانکاره به صورت ریاضی اثبات کرد که راه حل های ممکن برای مساله ی سه جسم (که چند جسم مانند سامانه ی خورشیدی ما بخشی از آن است) بی نهایت است! اما شرایط خاصی وجود دارد. اگر سه سیاره درگیر دارای جرم مساوی باشند چنین راه حل هایی پایدار هستند. در طول قرن بیستم ریاضیدانان ابتدا با روش های عددی و بعدها توسط کامپیوتر ها به جستجوی چنین راه حل هایی بر آمدند. در آخرین تلاش در سال ۲۰۲۳ گروهی از پژوهشگران ۱۲۴۰۹ راه حل جدید برای مساله ی سه جسم پیدا کردند که پایدار هستند. در شکل زیر تنها بیست مثال از آن ها را میبینید. اما چرا چنین سامانه هایی را نمیبینم؟ یکی از دلایل آن این است که شرط مساوی بودن جرم بسیار اساسی است اگر جرم ها حتی اگر با هم کمی تفاوت داشته باشند دینامیک در نهایت غیر پایدار است. با این حال می توان انتظار داشت که چنین سیستم هایی در جهان ما وجود دارند و برخی از آن ها هم مشاهده شده اند.

حالا سوال دیگری که پیش می آید این است که آیا سامانه ی خورشیدی ما پایدار است یا خیر؟ در این مورد باید گفت که چنین سامانه ای تا حد بسیار زیادی پایدار است و اندازه گیری ها نشان می دهند که حداقل تا چند میلیارد سال دیگر نگرانی از بابت برخورد سیارات به هم وجود ندارد.

این یافته اما نشان دهنده ی موضوع بسیار عمیقی است که در چند پست اخیر بر روی آن تمرکز بیشتری داشتیم: فهم ما از دینامیک در حال تغییر است و بر خلاف تصور گذشته که قوانین فیزیک تنها راه حل های ساده را نشان می دهند در عمل می توان دید که موسیقی دینامیک بسیار پیچیده تر و زیباتر است و کند و کاو بیشتر در آن سرچشمه هایی از آنچه پیچیدگی میشناسیم را نمایان می کند.

بیست راه حل برای مساله ی سه جسم با جرم مساوی

آیا به ناظم نیاز داریم؟ (قسمت ۲)

قبل از هر چیز باید به این موضوع توجه کرد که «حیات» یا فرآیند های زنده در یک فضای فاز مشخص قرار نگرفته اند بلکه همواره در حال جستجو و محک مرز های خودشان هستند. به طور مثال اگر یک سلول زنده در بدنتان را در نظر بگیرید تنها وظیفه ی چنین سیستمی بقا از طریق مصرف انرژی نیست بلکه فراتر از آن جستجوی پارامتر های جدید در فضای فاز است. به همین دلیل سلول های شما به صورت مداوم مسیر های متفاوتی را امتحان می کنند و در حال یافتن مسیر های جدید برای انجام کارهای پیشین یا مسیر های بکلی جدید برای انجام کارهای جدید هستند. در زیست شناسی گاهی چنین فرآیند بسیار پیچیده و چند لایه ای را در قالب جهش random mutation شناخته می شود. با این حال چنین فرآیندی یک فرآیند تصادفی قاعده مند است و نه صرفا امتحان کردن همه ی حالات. صد البته گاهی چنین مسیر هایی به بن بست های بدی ختم می شوند که مشخص ترین مثال آن سلول های سرطانی است. بدن شما هر روز سلول های سرطانی ایجاد می کند و این بخشی از فرآیند جستجو (exploration) چنین سیستمی است.

نکته ی بعدی این است که جستجو فقط در سطح ژنتیک انجام نمی شود بلکه «حیات» از اساس سیستمی است که در مقیاس های مختلف کار می کند (scale free). بنابراین جستجو نه تنها در سطح ژن بلکه در سطح سلول و ارگان و حتی موجود زنده و زیست بوم رخ می دهد. در هر لایه سیستم توانایی تصمیم گیری بر اساس ورودی هایی که به آن وارد می شود را دارد. (ادامه لینک زیر)

https://vrgl.ir/LwlyZ

🔵ریاضیات: بازی کنترل احساسات🔵

ریشه عربی کلمه «ریاضیات» به معنی «ریاضت کشیدن»، «پرهیز» یا «تمرین خودداری اجباری از لذت‌های جسمانی» است. اما چرا اینطور است؟ این موضوع وقتی به کلاس‌های ریاضی در مدرسه فکر می‌کنید چندان عجیب به نظر نمی‌رسد! بسیاری از افراد ریاضی را خسته‌کننده، ناامیدکننده و دشوار برای فهم می‌دانند. در واقع، ریاضی اغلب اعتماد به نفس دانش‌آموزان را در سال‌های تحصیلی‌شان متزلزل می‌کند. این درس معمولاً طیفی از احساسات ناخوشایند را برمی‌انگیزد که بیشتر ما ترجیح می‌دهیم از آنها اجتناب کنیم. دکتر «جوآن روزنبرگ» هفت مورد از این احساسات ناخوشایند را شناسایی کرده است: غم، شرم ، درماندگی، خشم، آسیب‌پذیری، خجالت، ناامیدی، سرخوردگی

ریاضی می‌تواند بسیار ناخوشایند باشد، طوری که شما را ناامید یا حتی عصبانی کند، به خصوص وقتی نتوانید به پاسخ‌های درست برسید. این احساسات می‌توانند حتی شدیدتر شوند اگر والدینی داشته باشید که به تحصیلات شما بسیار اهمیت می‌دهند. به عنوان کسی که سال‌ها ریاضی تدریس کرده، این موضوع را به خوبی مشاهده کرده‌ام. واضح است که بسیاری از دانش‌آموزان از عملکرد خود در ریاضی احساس شرم و درماندگی می‌کنند. در نتیجه، بسیاری از آنها خود را قانع می‌کنند که ریاضی در زندگی‌شان اهمیتی ندارد، پس چرا باید با این همه احساسات ناخوشایند دست‌و‌پنجه نرم کنند؟

مقابله با احساسات ناخوشایند محدود به ریاضی نیست—این بخشی از زندگی است. همه ما این احساسات را در درجات مختلف تجربه می‌کنیم و اگرچه اجتناب از آنها ممکن است در کوتاه‌مدت آسان به نظر برسد، اما روانشناسان نشان داده‌اند که در بلندمدت کمکی نمی‌کند. پیدا کردن راه‌حل‌هایی که ما را به مواجهه با این احساسات تشویق کند، به جای نادیده گرفتن آنها از طریق حواس‌پرت کردن ذهن با اینترنت و فضای مجازی، برای رشد عاطفی ضروری است.

زندگی پر از چالش است و از بسیاری جهات شبیه به ریاضیات است. ناراحتی عاطفی در تلاش برای اجتماعی شدن برای افرادی که ذاتاً برون‌گرا نیستند، سختی یادگیری یک مهارت جدید—چه یادگیری یک زبان خارجی، برنامه‌نویسی یا ادامه دادن به تمرینات ورزشی با وجود ندیدن نتایج فوری—همگی نمونه‌هایی از تنظیم هیجانی و تاب‌آوری در عمل هستند. مطالعات نشان می‌دهند که کودکانی که از سنین پایین تشویق می‌شوند مشکلات خود را به تنهایی حل کنند—مانند یاد گرفتن بستن بند کفش، آماده کردن غذا برای خود یا دوستیابی به صورت مستقل—معمولاً زودتر تاب‌آوری را یاد می‌گیرند. آنها توانایی بیشتری در تحمل ناراحتی و عبور از موقعیت‌های دشوار پیدا می‌کنند.

جای تعجب نیست که بزرگ‌ترین اختراعات، اکتشافات و موفقیت‌ها اغلب پس از دوره‌های طولانی از شکست، ناامیدی و دل‌شکستگی به دست می‌آیند. توانایی تحمل و پایداری در برابر این سختی‌ها برای رشد ضروری است. یادگیری ریاضیات، برای مثال، ذاتاً دشوار است—و دقیقا همین نکته اصلی است. اگرچه ممکن است سرزنش معلمان، مدارس یا سیستم آموزشی آسان به نظر برسد، اما حقیقت این است که موفقیت در نهایت به اراده خود شما برای رویارویی با چالش‌ها بستگی دارد. حتی وقتی هیچ‌کس برای کمک وجود ندارد، باید به خودتان تکیه کنید، زیرا در نهایت، این شما هستید که به خودتان کمک میکند.

برخلاف آنچه بسیاری فکر می‌کنند، درخشش در ریاضیات به هوش ذاتی یا منابع عجیب و غریب مثل معلم های خوب بستگی ندارد—بلکه به مدیریت احساسات مرتبط است. شاید این موضوع تعجب‌آور باشد، اما کسانی که در ریاضی خوب هستند معمولاً راه‌هایی پیدا می‌کنند تا ناراحتی ناشی از ندانستن پاسخ و ناامیدی از شکست را برای زمان های طولانی تحمل کنند و با این حال به تلاش ادامه دهند. این شبیه به یک تمرین ذهنی است که ارزش تحمل احساسات ناخوشایند و لذت‌های تأخیر در پاداش را آموزش می‌دهد.

اما همه این‌ها بدون پاداش نیست! با وجود چالش‌هایش، ریاضیات یکی از شیرین‌ترین لذت‌هایی را ارائه می‌دهد که می‌توان تجربه کرد. یادگیری و تمرین ریاضی به شما یک قدرت فوق‌العاده می‌بخشد—توانایی دیدن جهان به شکلی که هرگز تصور نمی‌کردید. ریاضیات به شما اجازه می‌دهد سمفونی واقعیت را بشنوید و شاهکار جهان را تحسین کنید، و حس عمیقی از شادی را به ارمغان می‌آورد. همان‌طور که «برتراند راسل» می‌گوید:

«ریاضیات، اگر درست دیده شود، نه تنها حقیقت بلکه زیبایی والایی را در بر دارد—زیبایی‌ای سرد و پر ابهت، مانند آنچه در پیکرتراشی می‌بینیم، بدون جذابیت برای بخش‌های ضعیف‌تر طبیعت ما، بدون زرق و برق نقاشی یا موسیقی، اما به طور بی‌نهایت خالص و توانمند از کمالی که تنها بزرگ‌ترین هنرها می‌توانند نشان دهند.»