Раз уж речь зашла про инверсию, добавлю от себя задачку. Эта задача – обобщение задачи 8 с первого тура матбоев высшей лиги Колма прошлого года. Это обобщение я придумал на туре, во время решения. В исходной задаче точка L была основанием биссектрисы из угла A
Точка L лежит на биссектрисе угла A остроугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром AL пересекает AB, AC и (ABC) второй раз в точках E, F и D. Точки X, Y на меньших дугах AB, AC окружности (ABC) таковы, что AE = AF = AX = AY.
(!) DL, EX и FY пересекаются в одной точке
Точка L лежит на биссектрисе угла A остроугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром AL пересекает AB, AC и (ABC) второй раз в точках E, F и D. Точки X, Y на меньших дугах AB, AC окружности (ABC) таковы, что AE = AF = AX = AY.
(!) DL, EX и FY пересекаются в одной точке
Еще одна задача, которую я обожаю. Она красивая, средняя по сложности и имеет просто миллиард самых разных решений, среди которых хочу отметить такое, на мой взгляд, самое изящное: повороты
В остроугольном неравнобедренном треугольнике АВС с наименьшей
стороной ВС отмечены ортоцентр Н и центр описанной окружности O. Окружность (АНС) пересекает отрезок АВ в точках А и Х, окружность (АНВ) пересекает отрезок АС в точках A и Y.
(!) Центр S окружности (XHY) лежит на прямой ОН
В остроугольном неравнобедренном треугольнике АВС с наименьшей
стороной ВС отмечены ортоцентр Н и центр описанной окружности O. Окружность (АНС) пересекает отрезок АВ в точках А и Х, окружность (АНВ) пересекает отрезок АС в точках A и Y.
(!) Центр S окружности (XHY) лежит на прямой ОН
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Утренняя разминка
В четырёхугольнике ABCD ∠A = 90⁰, ∠B = 91⁰. Известно, что BC = AD. Пусть серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD пересекаются в точке Х.
(!) ∠AXB = ?
(картинка в комментариях)
В четырёхугольнике ABCD ∠A = 90⁰, ∠B = 91⁰. Известно, что BC = AD. Пусть серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD пересекаются в точке Х.
(!) ∠AXB = ?
(картинка в комментариях)
Утренняя заминка
Дан треугольник ABC. На прямых AB, AC выбраны такие точки K и L соответственно, что AL = BL, AK = CK. Биссектрисы углов LBC и KCB пересекаются в точке Ja. Пусть O, I - центр (ABC) и инцентр треугольника ABC соответственно.
(!) Ja, O, I лежат на одной прямой
Следствие. Аналогично определим Jb, Jc. Тогда Ja, Jb, Jc коллинеарны (и лежат на OI). Отдельно это утверждение весьма нетривиально, и доказывается при помощи обобщенной теоремы Наполеона
Дан треугольник ABC. На прямых AB, AC выбраны такие точки K и L соответственно, что AL = BL, AK = CK. Биссектрисы углов LBC и KCB пересекаются в точке Ja. Пусть O, I - центр (ABC) и инцентр треугольника ABC соответственно.
(!) Ja, O, I лежат на одной прямой
Следствие. Аналогично определим Jb, Jc. Тогда Ja, Jb, Jc коллинеарны (и лежат на OI). Отдельно это утверждение весьма нетривиально, и доказывается при помощи обобщенной теоремы Наполеона
Две похожие задачи с немного похожими решениями
1. (Ол ЮМШ 2024 10-11) Три треугольника таковы, что второй вписан в первый, третий вписан во второй и гомотетичен первому.
(!) Если описанные окружности первого и второго касаются, то и описанные окружности второго и третьего тоже касаются
2. Три треугольника таковы, что второй – педальный треугольник некоторой точки относительно первого, а третий – педальный треугольник той же точки относительной второго.
(!) То же, что и в первой задаче
upd.Вторая задача является следствием первой, но есть красивое решение, работающие только для второй задачи
1. (Ол ЮМШ 2024 10-11) Три треугольника таковы, что второй вписан в первый, третий вписан во второй и гомотетичен первому.
(!) Если описанные окружности первого и второго касаются, то и описанные окружности второго и третьего тоже касаются
2. Три треугольника таковы, что второй – педальный треугольник некоторой точки относительно первого, а третий – педальный треугольник той же точки относительной второго.
(!) То же, что и в первой задаче
upd.