Круглая игровая доска разделена на n секторов (n ≥ 3), каждый из которых либо пуст, либо занят одной фишкой. Распределение фишек изменяется пошагово: один шаг состоит в выборе занятого сектора, удалении фишки из него и "инвертировании" двух соседних секторов, т.е. опустошении занятого сектора или заполнении пустого сектора фишкой. При каких значениях n можно получить пустую доску, если изначально занят только один сектор?
(Немецкая математическая олимпиада, раунд 1)
#математика #задача #олимпиадная_задача
(Немецкая математическая олимпиада, раунд 1)
#математика #задача #олимпиадная_задача
🔥4
Стороны выпуклого четырехугольника делят окружность на восемь дуг, четыре из которых лежат внутри и четыре снаружи четырехугольника (см. рисунок). Длины внутренних дуг обозначены против часовой стрелки как a, b, c, d. Докажите, что если а + с = b + d, то четырехугольник является вписанным четырехугольником.
(Немецкая математическая олимпиада, раунд 1)
#математика #геометрия #задача #олимпиадная_задача
(Немецкая математическая олимпиада, раунд 1)
#математика #геометрия #задача #олимпиадная_задача
🔥5❤1😁1🤯1
Двенадцать отрезков длиной 1, 2, 3, 4, ..., 12 некоторым образом образуют двенадцатиугольник. Докажите, что в любом случае в этом двенадцатиугольнике есть три последовательные стороны, общая длина которых больше 20.
(Немецкая математическая олимпиада, раунд 1)
#математика #геометрия #задача #олимпиадная_задача
(Немецкая математическая олимпиада, раунд 1)
#математика #геометрия #задача #олимпиадная_задача
❤5
Лотерейные билеты некоторой лотерей содержат все девятизначные номера, которые могут быть образованы цифрами 1, 2, 3, причем по одному номеру на билете. Есть только красные, жёлтые и синие билеты. Билеты, номера которых различаются во всех девяти позициях, всегда разного цвета. Кто-то вытянул красный билет с номером 122 222 222 и желтый билет с номером 222 222 222. Джекпот достался билету с номером 123 123 123. Какого он цвета?
(Немецкая математическая олимпиада, раунд 1)
#математика #задача #олимпиадная_задача
(Немецкая математическая олимпиада, раунд 1)
#математика #задача #олимпиадная_задача
❤2
Математика — научная область, которая больше всего защищена от появления сомнительных, спорных, ошибочных, лженаучных теорий. Согласны?
#математика #наука #философия_науки
#математика #наука #философия_науки
🌚18👍5
Случайным образом перетасовывается колода карточек, пронумерованных от 1 до n. Затем многократно выполняется следующая операция: Если сверху находится карточка с номером k, то порядок верхних k карточек меняется на обратный. Докажите, что спустя некоторое число таких операций карточка с номером 1 окажется сверху.
(Немецкая математическая олимпиада, раунд 2)
#математика #задача #олимпиадная_задача
(Немецкая математическая олимпиада, раунд 2)
#математика #задача #олимпиадная_задача
🔥7