Маша проводит на окружности 2019 хорд, концевые точки которых все различны. Точка считается отмеченной, если она является либо
(i) одной из 4038 конечных точек хорды; либо
(ii) точкой пересечения по крайней мере двух хорд.
Маша помечает каждую отмеченную точку числом. Из 4038 точек, соответствующих критерию (i), она помечает 2019 точек числом 0, а остальные 2019 точек — числом 1. Каждую точку, соответствующую условию (ii), Маша помечает произвольным целым числом (не обязательно положительным).
Вдоль каждой хорды Маша рассматривает отрезки, соединяющие две последовательные отмеченные точки. (Хорда с k отмеченными точками имеет k–1 таких отрезков.) Она помечает каждый такой отрезок желтым цветом с суммой меток его двух конечных точек и синим цветом с абсолютным значением их разности.
Маша обнаруживает, что N+1 желтых меток принимают каждое значение 0, 1,..., N ровно один раз.
Покажите, что хотя бы одна синяя метка кратна 3.
(Европейская математическая олимпиада среди девушек)
#задача #математика
(i) одной из 4038 конечных точек хорды; либо
(ii) точкой пересечения по крайней мере двух хорд.
Маша помечает каждую отмеченную точку числом. Из 4038 точек, соответствующих критерию (i), она помечает 2019 точек числом 0, а остальные 2019 точек — числом 1. Каждую точку, соответствующую условию (ii), Маша помечает произвольным целым числом (не обязательно положительным).
Вдоль каждой хорды Маша рассматривает отрезки, соединяющие две последовательные отмеченные точки. (Хорда с k отмеченными точками имеет k–1 таких отрезков.) Она помечает каждый такой отрезок желтым цветом с суммой меток его двух конечных точек и синим цветом с абсолютным значением их разности.
Маша обнаруживает, что N+1 желтых меток принимают каждое значение 0, 1,..., N ровно один раз.
Покажите, что хотя бы одна синяя метка кратна 3.
(Европейская математическая олимпиада среди девушек)
#задача #математика
🤯12🔥1