#геом_разминка
Задача. Треугольник 𝐴𝐵𝐶 остроугольный. Пусть 𝑀 — середина биссектрисы 𝐴𝐴₁, 𝑃 и 𝑄 — точки на 𝑀𝐵 и 𝑀𝐶 соответственно такие, что ∠𝐴𝑃𝐶 = ∠𝐴𝑄𝐵 = 90°. Докажите, что 𝐴₁𝑃𝑀𝑄 — вписанный.
Задача. Треугольник 𝐴𝐵𝐶 остроугольный. Пусть 𝑀 — середина биссектрисы 𝐴𝐴₁, 𝑃 и 𝑄 — точки на 𝑀𝐵 и 𝑀𝐶 соответственно такие, что ∠𝐴𝑃𝐶 = ∠𝐴𝑄𝐵 = 90°. Докажите, что 𝐴₁𝑃𝑀𝑄 — вписанный.
#геом_разминка
Задача. Две неравные окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ касаются друг друга внешним образом в точке 𝑋. Точки 𝐴 и 𝐵 взяты на 𝜔₁, точки 𝐶 и 𝐷 взяты на 𝜔₂ так, что 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 являются общими касательными этих двух окружностей. Прямая 𝐶𝑋 пересекает 𝐴𝐵 в точке 𝐸 и 𝜔₁ — в точке 𝐹 (во второй раз). Окружность описанная около 𝐸𝐹𝐵 пересекает 𝐴𝐹 в точке 𝐺 во второй раз. Если 𝐴𝑋 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐻, докажите, что точки 𝐸, 𝐺, 𝐻 лежат на одной прямой.
Задача. Две неравные окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ касаются друг друга внешним образом в точке 𝑋. Точки 𝐴 и 𝐵 взяты на 𝜔₁, точки 𝐶 и 𝐷 взяты на 𝜔₂ так, что 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 являются общими касательными этих двух окружностей. Прямая 𝐶𝑋 пересекает 𝐴𝐵 в точке 𝐸 и 𝜔₁ — в точке 𝐹 (во второй раз). Окружность описанная около 𝐸𝐹𝐵 пересекает 𝐴𝐹 в точке 𝐺 во второй раз. Если 𝐴𝑋 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐻, докажите, что точки 𝐸, 𝐺, 𝐻 лежат на одной прямой.