#геом_разминка
Задача. Треугольник 𝐴𝐵𝐶 остроугольный. Пусть 𝑀 — середина биссектрисы 𝐴𝐴₁, 𝑃 и 𝑄 — точки на 𝑀𝐵 и 𝑀𝐶 соответственно такие, что ∠𝐴𝑃𝐶 = ∠𝐴𝑄𝐵 = 90°. Докажите, что 𝐴₁𝑃𝑀𝑄 — вписанный.
Задача. Треугольник 𝐴𝐵𝐶 остроугольный. Пусть 𝑀 — середина биссектрисы 𝐴𝐴₁, 𝑃 и 𝑄 — точки на 𝑀𝐵 и 𝑀𝐶 соответственно такие, что ∠𝐴𝑃𝐶 = ∠𝐴𝑄𝐵 = 90°. Докажите, что 𝐴₁𝑃𝑀𝑄 — вписанный.
#геом_разминка
Задача. Две неравные окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ касаются друг друга внешним образом в точке 𝑋. Точки 𝐴 и 𝐵 взяты на 𝜔₁, точки 𝐶 и 𝐷 взяты на 𝜔₂ так, что 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 являются общими касательными этих двух окружностей. Прямая 𝐶𝑋 пересекает 𝐴𝐵 в точке 𝐸 и 𝜔₁ — в точке 𝐹 (во второй раз). Окружность описанная около 𝐸𝐹𝐵 пересекает 𝐴𝐹 в точке 𝐺 во второй раз. Если 𝐴𝑋 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐻, докажите, что точки 𝐸, 𝐺, 𝐻 лежат на одной прямой.
Задача. Две неравные окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ касаются друг друга внешним образом в точке 𝑋. Точки 𝐴 и 𝐵 взяты на 𝜔₁, точки 𝐶 и 𝐷 взяты на 𝜔₂ так, что 𝐴𝐶 и 𝐵𝐷 являются общими касательными этих двух окружностей. Прямая 𝐶𝑋 пересекает 𝐴𝐵 в точке 𝐸 и 𝜔₁ — в точке 𝐹 (во второй раз). Окружность описанная около 𝐸𝐹𝐵 пересекает 𝐴𝐹 в точке 𝐺 во второй раз. Если 𝐴𝑋 и 𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝐻, докажите, что точки 𝐸, 𝐺, 𝐻 лежат на одной прямой.
#геом_разминка
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶, в котором проведена высота 𝐴𝐷. Окружность с центром 𝐴 и радиусом 𝐴𝐷 пересекает описанную окружность треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝑋 и 𝑌 так, что 𝐵 и 𝑋 лежат по одну сторону от прямой 𝐴𝐷. Докажите, что ∠𝐵𝑋𝐷 = ∠𝐶𝑌𝐷.
Желаем вам слепить большого снеговика☃️
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶, в котором проведена высота 𝐴𝐷. Окружность с центром 𝐴 и радиусом 𝐴𝐷 пересекает описанную окружность треугольника 𝐴𝐵𝐶 в точках 𝑋 и 𝑌 так, что 𝐵 и 𝑋 лежат по одну сторону от прямой 𝐴𝐷. Докажите, что ∠𝐵𝑋𝐷 = ∠𝐶𝑌𝐷.
Желаем вам слепить большого снеговика
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#разминка
Задача. Длины сторон четырехугольника натуральные числа, причем сумма длин любых трех сторон делится на длину четвертой. Докажите, что если периметр такого четырехугольника равен 10¹⁰⁰, то этот четырехугольник ромб.
Задача. Длины сторон четырехугольника натуральные числа, причем сумма длин любых трех сторон делится на длину четвертой. Докажите, что если периметр такого четырехугольника равен 10¹⁰⁰, то этот четырехугольник ромб.
#на_ночь_глядя
Попробуйте разглядеть на 3D картинке геометрический объект про который завтра будет разминка!
Инструкцию по разглядыванию кидаем в комментарии 👇
Попробуйте разглядеть на 3D картинке геометрический объект про который завтра будет разминка!
Инструкцию по разглядыванию кидаем в комментарии 👇
#разминка
Задача. Планета Тор имеет форму бублика. Можно ли на этой планете разместить 4 города, 4 космодрома и проложить дороги от каждого города к каждому космодрому, чтобы никакие две дороги не имели общих точек, кроме концов?
Задача. Планета Тор имеет форму бублика. Можно ли на этой планете разместить 4 города, 4 космодрома и проложить дороги от каждого города к каждому космодрому, чтобы никакие две дороги не имели общих точек, кроме концов?
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝑀 – середина диагонали 𝐴𝐶 равнобокой трапеции с основаниями 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 (𝐴𝐷 > 𝐵𝐶). Окружности Ω и 𝜔 описаны около треугольников 𝐴𝑀𝐷 и 𝐵𝑀𝐶 соответственно. Касательные к окружности 𝜔, проведённые в точках 𝐵 и 𝑀 пересекаются в точке 𝑃 . Докажите, что прямая 𝑃𝐴 касается окружности Ω.
С наступающим Новым годом 🎄☃️ Пусть у вас будут самые красивые ёлочные игрушки🎄 🔴
Задача. Пусть 𝑀 – середина диагонали 𝐴𝐶 равнобокой трапеции с основаниями 𝐵𝐶 и 𝐴𝐷 (𝐴𝐷 > 𝐵𝐶). Окружности Ω и 𝜔 описаны около треугольников 𝐴𝑀𝐷 и 𝐵𝑀𝐶 соответственно. Касательные к окружности 𝜔, проведённые в точках 𝐵 и 𝑀 пересекаются в точке 𝑃 . Докажите, что прямая 𝑃𝐴 касается окружности Ω.
С наступающим Новым годом 🎄☃️ Пусть у вас будут самые красивые ёлочные игрушки
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
В последние часы 🕰️ уходящего года самое время вспомнить о тех радостных мгновениях, событиях и людях которые окружали нас 🎄
И, конечно, хочется вспомнить о прекрасных геометрических задачах, которые были в уходящем году!🔥
Мы составили свою подборку шедевров 🖼 Они никак не упорядочены ни по сложности, ни по красоте. Как вы можете видеть, последнее место пустует. Помогите нам его заполнить и пишите в комментариях какую классную задачу мы могли забыть 👇
С наступающим2️⃣ 0️⃣ 2️⃣ 5️⃣ 🎄
И, конечно, хочется вспомнить о прекрасных геометрических задачах, которые были в уходящем году!
Мы составили свою подборку шедевров 🖼 Они никак не упорядочены ни по сложности, ни по красоте. Как вы можете видеть, последнее место пустует. Помогите нам его заполнить и пишите в комментариях какую классную задачу мы могли забыть 👇
С наступающим
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#геом_разминка
Говорят, как встретишь Новый год 🎄 — так его и проведешь. Предлагаем вам для начала года классную геометрию 🔥
Задача. Во вписанном четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 точка 𝑋 — точка пересечения прямых 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷, 𝑌 — прямых 𝐵𝐶 и 𝐷𝐴. Две окружности, проходящие через 𝑋 и 𝑌 , касаются окружности описанной около 𝐴𝐵𝐶𝐷 в точках 𝑃 и 𝑄. Докажите, что 𝑃𝑄 делит пополам отрезок 𝑋𝑌.
С НОВЫМ ГОДОМ😱
Говорят, как встретишь Новый год 🎄 — так его и проведешь. Предлагаем вам для начала года классную геометрию 🔥
Задача. Во вписанном четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 точка 𝑋 — точка пересечения прямых 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷, 𝑌 — прямых 𝐵𝐶 и 𝐷𝐴. Две окружности, проходящие через 𝑋 и 𝑌 , касаются окружности описанной около 𝐴𝐵𝐶𝐷 в точках 𝑃 и 𝑄. Докажите, что 𝑃𝑄 делит пополам отрезок 𝑋𝑌.
С НОВЫМ ГОДОМ
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#геом_разминка
Задача. Окружность 𝜔 вписана в сегмент 𝜉, отсекаемый диаметром 𝐴𝐵 окружности Ω. На дуге сегмента 𝜉 взята точка 𝐶 так, что перпендикуляр 𝐶𝐻 на прямую 𝐴𝐵 касается 𝜔. Пусть 𝐿 — точка касания 𝜔 и 𝐴𝐵. Известно, что 𝐿 лежит на отрезке 𝐴𝐻. Докажите, что 𝐶𝐿 — биссектриса 𝐴𝐶𝐻.
Желаем, чтобы новогоднее настроение не кончалось также быстро, как новогодние блюда в холодильнике 🎂🍊
Задача. Окружность 𝜔 вписана в сегмент 𝜉, отсекаемый диаметром 𝐴𝐵 окружности Ω. На дуге сегмента 𝜉 взята точка 𝐶 так, что перпендикуляр 𝐶𝐻 на прямую 𝐴𝐵 касается 𝜔. Пусть 𝐿 — точка касания 𝜔 и 𝐴𝐵. Известно, что 𝐿 лежит на отрезке 𝐴𝐻. Докажите, что 𝐶𝐿 — биссектриса 𝐴𝐶𝐻.
Желаем, чтобы новогоднее настроение не кончалось также быстро, как новогодние блюда в холодильнике 🎂🍊
#геом_разминка
Задача. Окружность 𝜔 проходит через вершину 𝐴, пересекает вторично стороны 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 в точках 𝐿, 𝑁 и касается стороны 𝐵𝐶 в точке 𝐾 треугольника 𝐴𝐵𝐶. Известно, что 𝐿𝑁 ‖ 𝐵𝐶. Пусть 𝑂 — центр 𝜔, 𝑀 — середина 𝐴𝐾. Докажите, что 𝐵, 𝑂, 𝑀 и 𝐶 лежат на одной окружности.
Задача. Окружность 𝜔 проходит через вершину 𝐴, пересекает вторично стороны 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 в точках 𝐿, 𝑁 и касается стороны 𝐵𝐶 в точке 𝐾 треугольника 𝐴𝐵𝐶. Известно, что 𝐿𝑁 ‖ 𝐵𝐶. Пусть 𝑂 — центр 𝜔, 𝑀 — середина 𝐴𝐾. Докажите, что 𝐵, 𝑂, 𝑀 и 𝐶 лежат на одной окружности.
#геом_разминка
Задача. Дан описанный около окружности 𝜔 четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Пусть 𝐸𝐹 — диаметр 𝜔 перпендикулярный 𝐴𝐶. Докажите, что 𝐵𝐸 и 𝐷𝐹 пересекаются на 𝐴𝐶.
Задача. Дан описанный около окружности 𝜔 четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Пусть 𝐸𝐹 — диаметр 𝜔 перпендикулярный 𝐴𝐶. Докажите, что 𝐵𝐸 и 𝐷𝐹 пересекаются на 𝐴𝐶.
#разминка
Задача. Какое наибольшее число ладей можно расставить на доске 9 × 9 так, чтобы каждая ладья находилась под боем не более одной ладьи?
Задача. Какое наибольшее число ладей можно расставить на доске 9 × 9 так, чтобы каждая ладья находилась под боем не более одной ладьи?
#геом_разминка
Задача. На отрезке 𝐴𝐶 отметили точку 𝐵. В одной полуплоскости относительно прямой 𝐴𝐶 построили два равносторонних треугольника: 𝐴𝐵𝐾 и 𝐵𝐶𝑁. 𝐵𝑀 – медиана треугольника 𝐵𝐾𝑁. Найдите отношение (𝐴𝑁 + 𝐶𝐾)/𝐵𝑀.
Задача. На отрезке 𝐴𝐶 отметили точку 𝐵. В одной полуплоскости относительно прямой 𝐴𝐶 построили два равносторонних треугольника: 𝐴𝐵𝐾 и 𝐵𝐶𝑁. 𝐵𝑀 – медиана треугольника 𝐵𝐾𝑁. Найдите отношение (𝐴𝑁 + 𝐶𝐾)/𝐵𝑀.
#на_ночь_глядя
Шок 🤯 Геометрам наконец удалось обнаружить задачу, которая не считается и не двигается 💣
Задача. Разместите приведенный комплект кораблей на поле так, чтобы клетки с кораблями не касались друг друга даже углом. Числа по сторонам сетки показывают количество клеток, занятых кораблями в соответствующей строке или столбце. В клетке с волной корабль находиться не может.
Шок 🤯 Геометрам наконец удалось обнаружить задачу, которая не считается и не двигается 💣
Задача. Разместите приведенный комплект кораблей на поле так, чтобы клетки с кораблями не касались друг друга даже углом. Числа по сторонам сетки показывают количество клеток, занятых кораблями в соответствующей строке или столбце. В клетке с волной корабль находиться не может.
#геом_разминка
Задача. Дан выпуклый четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Биссектрисы углов 𝐴𝐵𝐷 и 𝐴𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑃. Оказалось, что углы 𝐴𝑃𝐵 и 𝐶𝑃𝐷 равны. Докажите, что 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 + 𝐶𝐷.
Задача. Дан выпуклый четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷. Биссектрисы углов 𝐴𝐵𝐷 и 𝐴𝐶𝐷 пересекаются в точке 𝑃. Оказалось, что углы 𝐴𝑃𝐵 и 𝐶𝑃𝐷 равны. Докажите, что 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 + 𝐶𝐷.
#геом_разминка
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точка 𝑃 выбрана на окружности (𝐴𝐵𝐶), а точка 𝑄 — на отрезке 𝐴𝐶 так, что 𝐴𝑃 ⊥ 𝐵𝐶 и 𝐵𝑄 ⊥ 𝐴𝐶. Точка 𝑂 — центр описанной окружности треугольника 𝐴𝑃𝑄. Найдите угол 𝑂𝐵𝐶.
Сезгә тәмле өчпочмаклар телибез😋
Задача. Дан остроугольный треугольник 𝐴𝐵𝐶. Точка 𝑃 выбрана на окружности (𝐴𝐵𝐶), а точка 𝑄 — на отрезке 𝐴𝐶 так, что 𝐴𝑃 ⊥ 𝐵𝐶 и 𝐵𝑄 ⊥ 𝐴𝐶. Точка 𝑂 — центр описанной окружности треугольника 𝐴𝑃𝑄. Найдите угол 𝑂𝐵𝐶.
Сезгә тәмле өчпочмаклар телибез
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
#разминка
Задача. Девять чисел таковы, что сумма любых четырех из них меньше суммы пяти остальных. Докажите, что все числа положительные.
Задача. Девять чисел таковы, что сумма любых четырех из них меньше суммы пяти остальных. Докажите, что все числа положительные.