#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный неравнобедренный треугольник с центром описанной окружности 𝑂. Пусть 𝐷 — основание высоты из 𝐴 на сторону 𝐵𝐶. Прямые 𝐵𝐶 и 𝐴𝑂 пересекаются в точке 𝐸. Пусть 𝑠 — прямая, проходящая через 𝐸 перпендикулярно 𝐴𝑂. Прямая 𝑠 пересекает 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно. Обозначим через 𝜔 описанную окружность треугольника 𝐴𝐾𝐿. Прямая 𝐴𝐷 вторично пересекает 𝜔 в точке 𝑋. Докажите, что 𝜔 и описанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝐶 и 𝐷𝐸𝑋 имеют общую точку.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный неравнобедренный треугольник с центром описанной окружности 𝑂. Пусть 𝐷 — основание высоты из 𝐴 на сторону 𝐵𝐶. Прямые 𝐵𝐶 и 𝐴𝑂 пересекаются в точке 𝐸. Пусть 𝑠 — прямая, проходящая через 𝐸 перпендикулярно 𝐴𝑂. Прямая 𝑠 пересекает 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно. Обозначим через 𝜔 описанную окружность треугольника 𝐴𝐾𝐿. Прямая 𝐴𝐷 вторично пересекает 𝜔 в точке 𝑋. Докажите, что 𝜔 и описанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝐶 и 𝐷𝐸𝑋 имеют общую точку.
💘7❤3🔥3
#геом_разминка #красота_спасет_мир
Задача. В четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 с ∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐵𝐶𝐷 диагональ 𝐴𝐶 пересекает описанную окружность 𝐵𝐶𝐷 в точке 𝑃 отличной от 𝐶. Пусть 𝑄, 𝑅, 𝑆 и 𝑇 — симметрии 𝑃 относительно 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 и 𝐷𝐴 соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴𝑄𝑇 касается прямой 𝑅𝑆.
Задача. В четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 с ∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐵𝐶𝐷 диагональ 𝐴𝐶 пересекает описанную окружность 𝐵𝐶𝐷 в точке 𝑃 отличной от 𝐶. Пусть 𝑄, 𝑅, 𝑆 и 𝑇 — симметрии 𝑃 относительно 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 и 𝐷𝐴 соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴𝑄𝑇 касается прямой 𝑅𝑆.
🔥6❤4❤🔥3👍1👎1
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — треугольник с центром вписанной окружности 𝐼, а 𝑀 — середина 𝐵𝐶. Луч 𝑀𝐼 пересекает 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝑃 и 𝑄. Если 𝑁 — середина большей дуги 𝐵𝐶, докажите, что центр описанной окружности треугольника 𝑁𝑃𝑄 лежит на 𝐴𝐼.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — треугольник с центром вписанной окружности 𝐼, а 𝑀 — середина 𝐵𝐶. Луч 𝑀𝐼 пересекает 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝑃 и 𝑄. Если 𝑁 — середина большей дуги 𝐵𝐶, докажите, что центр описанной окружности треугольника 𝑁𝑃𝑄 лежит на 𝐴𝐼.
❤7👍4❤🔥2😢2
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник с 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Пусть 𝑃 — точка на описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, и пусть 𝑋 и 𝑌 — основания перпендикуляров из 𝑃 на 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶, соответственно. Пусть 𝐴′ — точка, диаметрально противоположная 𝐴 на описанной окружности 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝑇 — точка пересечения прямой 𝑃𝐴′ с прямой 𝐵𝐶, и пусть 𝐻 — ортоцентр треугольника 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что 𝑇𝐻 ‖ 𝑋𝑌.
Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник с 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Пусть 𝑃 — точка на описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, и пусть 𝑋 и 𝑌 — основания перпендикуляров из 𝑃 на 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶, соответственно. Пусть 𝐴′ — точка, диаметрально противоположная 𝐴 на описанной окружности 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝑇 — точка пересечения прямой 𝑃𝐴′ с прямой 𝐵𝐶, и пусть 𝐻 — ортоцентр треугольника 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что 𝑇𝐻 ‖ 𝑋𝑌.
❤8❤🔥3🔥1
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
#геом_разминка
Публикуем задачу с прошедшего вчера первого тура Туймаады 🐿
Задача. Окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ проходят через точку 𝐴 и касаются прямой ℓ в точках 𝐵₁ и 𝐵₂ соответственно. Переменная прямая 𝑚 проходит через точку 𝐴 и вторично пересекает окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ в (переменных) точках 𝑃₁ и 𝑃₂ соответственно. Лучи 𝑃₁𝐵₁ и 𝑃₂𝐵₂ пересекаются в точке 𝑃. Докажите, что касательная в точке 𝑃 к описанной окружности треугольника 𝑃𝑃₁𝑃₂ проходит через точку, не зависящую от выбора прямой 𝑚.
Публикуем задачу с прошедшего вчера первого тура Туймаады 🐿
Задача. Окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ проходят через точку 𝐴 и касаются прямой ℓ в точках 𝐵₁ и 𝐵₂ соответственно. Переменная прямая 𝑚 проходит через точку 𝐴 и вторично пересекает окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ в (переменных) точках 𝑃₁ и 𝑃₂ соответственно. Лучи 𝑃₁𝐵₁ и 𝑃₂𝐵₂ пересекаются в точке 𝑃. Докажите, что касательная в точке 𝑃 к описанной окружности треугольника 𝑃𝑃₁𝑃₂ проходит через точку, не зависящую от выбора прямой 𝑚.
🔥13❤🔥5❤4🤡1
Выбираем лучшую геому
Anonymous Poll
20%
Младшие №2. Равные диагонали
18%
Младшие №8. Центры на одной прямой
22%
Старшие №2. Фиксированная точка
41%
Старшие №7. Отражения относ. сторон
❤🔥4❤3🔥2🤡1
❤47❤🔥10🥰7🍓1
#геом_разминка
Предлагаем вашему вниманию упражнение, возникшее в качестве вспомогательного у одного из участников Туймаады. Как из него следует решение задачи мл-2?
Задача. Дан четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 с точкой пересечения диагоналей 𝑃. Окружность, проходящая через точку 𝐵 и касающаяся прямой 𝐴𝐶 в точке 𝐴, пересекает прямую 𝐵𝐷 вторично в точке 𝑋. Окружность, проходящая через точку 𝐶 и касающаяся прямой 𝐵𝐷 в точке 𝐷, пересекает прямую 𝐴𝐶 вторично в точке 𝑌. Пусть также 𝐴𝑍 и 𝐷𝑇 — биссектрисы треугольников 𝑋𝐴𝐵 и 𝑌𝐷𝐶 соответственно. Докажите, что 𝑍𝑇 = 𝐴𝐷.
Предлагаем вашему вниманию упражнение, возникшее в качестве вспомогательного у одного из участников Туймаады. Как из него следует решение задачи мл-2?
Задача. Дан четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 с точкой пересечения диагоналей 𝑃. Окружность, проходящая через точку 𝐵 и касающаяся прямой 𝐴𝐶 в точке 𝐴, пересекает прямую 𝐵𝐷 вторично в точке 𝑋. Окружность, проходящая через точку 𝐶 и касающаяся прямой 𝐵𝐷 в точке 𝐷, пересекает прямую 𝐴𝐶 вторично в точке 𝑌. Пусть также 𝐴𝑍 и 𝐷𝑇 — биссектрисы треугольников 𝑋𝐴𝐵 и 𝑌𝐷𝐶 соответственно. Докажите, что 𝑍𝑇 = 𝐴𝐷.
🔥7❤4❤🔥2👌2
#разминка
Задача. По кругу стоят 2025 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый из этих 2025 человек сказал: Среди меня, двух моих соседей слева и двух соседей справа ровно три рыцаря. Какое наибольшее количество рыцарей может быть среди этих людей?
Задача. По кругу стоят 2025 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый из этих 2025 человек сказал: Среди меня, двух моих соседей слева и двух соседей справа ровно три рыцаря. Какое наибольшее количество рыцарей может быть среди этих людей?
❤15😁12🔥4👍3🍓3
#геом_разминка
Задача. В пятиугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 углы 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝐸 равны. На 𝐶𝐷 взята точка 𝐹 такая, что 𝐴𝐹 — биссектриса угла 𝐴. Докажите, что 𝐴𝐵 +𝐷𝐹 = 𝐴𝐸 + 𝐶𝐹.
Задача. В пятиугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 углы 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝐸 равны. На 𝐶𝐷 взята точка 𝐹 такая, что 𝐴𝐹 — биссектриса угла 𝐴. Докажите, что 𝐴𝐵 +𝐷𝐹 = 𝐴𝐸 + 𝐶𝐹.
❤16❤🔥5
#на_ночь_глядя нам попалась советская газета 📰 с любопытной головоломкой 🧩 Мы пока не справились, справитесь ли вы?
Головоломка. Найдите на картинке 30 слов на букву С.
Ваши ответы пишете в комментах под спойлером👇
Головоломка. Найдите на картинке 30 слов на букву С.
Ваши ответы пишете в комментах под спойлером👇
❤8🔥5😐4❤🔥2🎅1
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
#геом_разминка
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. На дуге 𝐵𝐶 его описанной окружности, не содержащей точку 𝐴, выбирается переменная точка 𝑋, а на лучах 𝑋𝐵 и 𝑋𝐶 — переменные точки 𝑌 и 𝑍 соответственно так, что 𝑋𝐴 = 𝑋𝑌 = 𝑋𝑍. Докажите, что прямая 𝑌𝑍 проходит через фиксированную точку.
Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶. На дуге 𝐵𝐶 его описанной окружности, не содержащей точку 𝐴, выбирается переменная точка 𝑋, а на лучах 𝑋𝐵 и 𝑋𝐶 — переменные точки 𝑌 и 𝑍 соответственно так, что 𝑋𝐴 = 𝑋𝑌 = 𝑋𝑍. Докажите, что прямая 𝑌𝑍 проходит через фиксированную точку.
🔥11❤6❤🔥4
#геом_разминка
Задача. Пусть 𝐼 — инцентр остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Окружность, проходящая через 𝐵 и касающаяся 𝐴𝐼 в точке 𝐼, пересекает 𝐵𝐶 в точке 𝐷. Прямая 𝐷𝐼 пересекает 𝐴𝐶 в точке 𝐸. Докажите, что 𝐷𝐼 = 𝐼𝐸.
Задача. Пусть 𝐼 — инцентр остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶. Окружность, проходящая через 𝐵 и касающаяся 𝐴𝐼 в точке 𝐼, пересекает 𝐵𝐶 в точке 𝐷. Прямая 𝐷𝐼 пересекает 𝐴𝐶 в точке 𝐸. Докажите, что 𝐷𝐼 = 𝐼𝐸.
❤12😈5🔥3🤡2❤🔥1
#геом_разминка #красота_спасет_мир
Задача. Точку 𝑃 отразили относительно сторон 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 и получили точки 𝐷, 𝐸 и 𝐹 соответственно. Оказалось, что треугольник 𝐷𝐸𝐹 — правильный. Докажите, что 𝐶𝐷, 𝐴𝐸 и 𝐵𝐹 пересекаются в одной точке.
Задача. Точку 𝑃 отразили относительно сторон 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 и получили точки 𝐷, 𝐸 и 𝐹 соответственно. Оказалось, что треугольник 𝐷𝐸𝐹 — правильный. Докажите, что 𝐶𝐷, 𝐴𝐸 и 𝐵𝐹 пересекаются в одной точке.
❤🔥8❤2🔥2🤮1🤝1