#геом_разминка

Задача. Каждая из сторон 𝐴𝐵 и 𝐶𝐷 выпуклого четырёхугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 разделена на три равные части, 𝐴𝐸 = 𝐸𝐹 = 𝐹𝐵, 𝐷𝑃 = 𝑃𝑄 = 𝑄𝐶. Диагонали 𝐴𝐸𝑃𝐷 и 𝐹𝐵𝐶𝑄 пересекаются в точках 𝑀 и 𝑁 соответственно. Докажите, что сумма площадей треугольников 𝐴𝑀𝐷 и 𝐵𝑁𝐶 равна сумме площадей треугольников 𝐸𝑃𝑀 и 𝐹𝑁𝑄.

#геом_разминка

Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — прямоугольный треугольник с углом 𝐴 = 90°, точка 𝐷 — основание высоты из 𝐴 на 𝐵𝐶, а 𝐸 — средина 𝐷𝐶. Окружность 𝐴𝐵𝐷 вторично пересекает 𝐴𝐸 в точке 𝐹. Пусть 𝑋 — это пересечение прямых 𝐴𝐵 и 𝐷𝐹. Докажите, что 𝑋𝐷 = 𝑋𝐶.

#геом_разминка

Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — остроугольный неравнобедренный треугольник с центром описанной окружности 𝑂. Пусть 𝐷 — основание высоты из 𝐴 на сторону 𝐵𝐶. Прямые 𝐵𝐶 и 𝐴𝑂 пересекаются в точке 𝐸. Пусть 𝑠 — прямая, проходящая через 𝐸 перпендикулярно 𝐴𝑂. Прямая 𝑠 пересекает 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно. Обозначим через 𝜔 описанную окружность треугольника 𝐴𝐾𝐿. Прямая 𝐴𝐷 вторично пересекает 𝜔 в точке 𝑋. Докажите, что 𝜔 и описанные окружности треугольников 𝐴𝐵𝐶 и 𝐷𝐸𝑋 имеют общую точку.

#геом_разминка #красота_спасет_мир

Задача. В четырехугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 с ∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐵𝐶𝐷 диагональ 𝐴𝐶 пересекает описанную окружность 𝐵𝐶𝐷 в точке 𝑃 отличной от 𝐶. Пусть 𝑄, 𝑅, 𝑆 и 𝑇 — симметрии 𝑃 относительно 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 и 𝐷𝐴 соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника 𝐴𝑄𝑇 касается прямой 𝑅𝑆.

#геом_разминка

Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — треугольник с центром вписанной окружности 𝐼, а 𝑀 — середина 𝐵𝐶. Луч 𝑀𝐼 пересекает 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝑃 и 𝑄. Если 𝑁 — середина большей дуги 𝐵𝐶, докажите, что центр описанной окружности треугольника 𝑁𝑃𝑄 лежит на 𝐴𝐼.

#геом_разминка

Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный треугольник с 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Пусть 𝑃 — точка на описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶, и пусть 𝑋 и 𝑌 — основания перпендикуляров из 𝑃 на 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶, соответственно. Пусть 𝐴′ — точка, диаметрально противоположная 𝐴 на описанной окружности 𝐴𝐵𝐶. Пусть 𝑇 — точка пересечения прямой 𝑃𝐴′ с прямой 𝐵𝐶, и пусть 𝐻 — ортоцентр треугольника 𝐴𝐵𝐶. Докажите, что 𝑇𝐻 ‖ 𝑋𝑌.

#геом_разминка

Публикуем задачу с прошедшего вчера первого тура Туймаады 🐿

Задача. Окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ проходят через точку 𝐴 и касаются прямой ℓ в точках 𝐵₁ и 𝐵₂ соответственно. Переменная прямая 𝑚 проходит через точку 𝐴 и вторично пересекает окружности 𝜔₁ и 𝜔₂ в (переменных) точках 𝑃₁ и 𝑃₂ соответственно. Лучи 𝑃₁𝐵₁ и 𝑃₂𝐵₂ пересекаются в точке 𝑃. Докажите, что касательная в точке 𝑃 к описанной окружности треугольника 𝑃𝑃₁𝑃₂ проходит через точку, не зависящую от выбора прямой 𝑚.

#геом_разминка

Предлагаем вашему вниманию упражнение, возникшее в качестве вспомогательного у одного из участников Туймаады. Как из него следует решение задачи мл-2?

Задача. Дан четырехугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 с точкой пересечения диагоналей 𝑃. Окружность, проходящая через точку 𝐵 и касающаяся прямой 𝐴𝐶 в точке 𝐴, пересекает прямую 𝐵𝐷 вторично в точке 𝑋. Окружность, проходящая через точку 𝐶 и касающаяся прямой 𝐵𝐷 в точке 𝐷, пересекает прямую 𝐴𝐶 вторично в точке 𝑌. Пусть также 𝐴𝑍 и 𝐷𝑇 — биссектрисы треугольников 𝑋𝐴𝐵 и 𝑌𝐷𝐶 соответственно. Докажите, что 𝑍𝑇 = 𝐴𝐷.

#разминка

Задача. По кругу стоят 2025 человек, каждый из которых либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжёт. Каждый из этих 2025 человек сказал: Среди меня, двух моих соседей слева и двух соседей справа ровно три рыцаря. Какое наибольшее количество рыцарей может быть среди этих людей?

#геом_разминка

Задача. В пятиугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 углы 𝐵, 𝐶, 𝐷 и 𝐸 равны. На 𝐶𝐷 взята точка 𝐹 такая, что 𝐴𝐹 — биссектриса угла 𝐴. Докажите, что 𝐴𝐵 +𝐷𝐹 = 𝐴𝐸 + 𝐶𝐹.

#на_ночь_глядя нам попалась советская газета 📰 с любопытной головоломкой 🧩 Мы пока не справились, справитесь ли вы?

Головоломка. Найдите на картинке 30 слов на букву С.

Ваши ответы пишете в комментах под спойлером👇