Есть следующая простая (и хорошая) планиметрическая задача Микеля. На каждой стороне треугольника взята точка, отличная от вершин. Тогда три окружности, каждая из которых проходит через вершину треугольника и две точки, взятые на сторонах, выходящих из нее, пересекаются в одной точке.

Имеет место быть и такой трехмерный аналог. На каждом ребре тетраэдра взята точка, отличная от вершин. Тогда четыре сферы, каждая из которых проходит через вершину тетраэдра и три точки, взятые на ребрах, выходящих из нее, пересекаются в одной точке.

Листочек на инверсию. Наверное не сильно оригинальный.

Дан треугольник ABC из каждой вершины провели красную и синию прямые, которые симметричны относительно биссектрис соответствующих углов. Оказалось, что они образовали два не равных треугольника с общим ортоцентром. Докаите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку на описанной окружности исходного.

Дан треугольник ABC. Пусть K -- точка касания вписанной окружности со стороной AC. Докажите, что окружности, касающиеся описанной окружности треугольника ABC, луча BK и продолжений AC за точки A и С, равны.

Каким минимальным числом непрозрачных попарно непересекающихся шаров можно загородить точечный источник света? А если все шары равны?

Можно ли сцепить концы у каждой из трех мишур так, чтобы получились три кольца, которые нельзя разцепить, но при разрезании любого из них они расцеплялись бы? А если мишур больше, чем три?

Вторая часть статьи про сопряжение Клауса Клоусона от Миши Сидоренко!

Если синие дуги имеют равную градусную меру, то красные отрезки имеют равную длину.

P.S. на предыдущей картинке была ошибка, спасибо обратившим внимание!