#Геометрия #Задача

Внутри треугольника выбрана точка. Докажите, что площадь её педального треугольника не больше четверти площади исходного треугольника.

#Теория_чисел #Задача

вступайте в наш чат!

#комбинаторика #задача

Плоскость замощена выпуклыми семиугольниками (семиугольник выпуклый, если все его углы меньше развёрнутого) диаметра 1. Докажите, что любой круг радиуса 200 пересекает хотя бы миллиард семиугольников.

#алгебра #задача

Сегодня предлагаем вам свежее неравенство с проходящего прямо сейчас южного турнира!

#геометрия #задача

В треугольнике ABC угол C прямой, C_0 — основание высоты из C. На отрезке CC_0 выбрана произвольная точка X. Точки K и L на отрезках AX и BX соответственно выбраны так, что AL=AC, BK=BC. Точка M — пересечение отрезков AL и BK. Докажите, что MK=ML.

#теория_чисел #задача

сегодня предлагаем вам простую задачу на понимание очень полезных идей!

#комбинаторика #задача

новая задача про графы!

пишите ваши решения в комментарии!

#алгебра #задача

не забывайте делиться вашими решениями в комментариях и чате

#геометрия #задача

Докажите, что пунктирная окружность касается прямой BD.

#теория_чисел #задача

#комбинаторика #задача

На столе в ряд лежат 20 плюшек с сахаром и 20 с корицей в произвольном порядке. Биба и Боба берут их по очереди, начинает Биба. За ход можно взять одну плюшку с любого края. Биба хочет, чтобы ему в итоге досталось по десять плюшек каждого вида, а Боба пытается ему помешать. При любом ли начальном расположении плюшек Биба может достичь своей цели, как бы ни действовал Боба?

#алгебра #задача

Найдите все многочлены P(x) с вещественными коэффициентами, обладающие следующим свойством: если a^2-b^2 рационально, то P(a)-P(b) тоже рационально.

Не стесняйтесь делиться вашими решениями в комментариях)

#геометрия #задача

Докажите, что пунктирная прямая проходит через фиксированную точку.

#теория_чисел #задача

Существует ли натуральное число n, имеющее ровно 2024! различных простых делителей и делящее 2^n+1?

#комбинаторика #задача

Предлагаем вам сегодня задачу С.Л. Берлова, Д.В. Карпова с кубка Колмогорова 1999 года!


Не более 10% жителей государства Х — враги народа. На день рождения президента каждый гражданин государства сделал ему подарок: написал в ДГБ письмо со своей подписью, разоблачающее одного из знакомых ему врагов народа. При этом известно, что честные граждане разоблачали только истинных врагов, а враги могли как разоблачить других врагов, так и оклеветать честных граждан.
a) Известно, что у каждого гражданина этого государства менее 500 знакомых. Докажите, что на основании полученных данных ДГБ может посадить некоторое количество граждан так, чтобы больше половины посаженных была врагами народа.
b) Не читая этих доносов, президент приказал посадить всех граждан, на которых поступило не менее, чем 1998 доносов. Верно ли, что более половины посаженных обязательно являются врагами народа?

#алгебра #задача

#геометрия #задача

В остроугольном треугольнике ABC отметили центр описанной окружности O и ортоцентр H. Перпендикуляр из H на AO пересекает BC в точке X. Перпендикуляр в X к BC вместе с прямыми AB и AC ограничивает треугольник Δ. Точка S — центр описанной окружности треугольника Δ. Докажите, что SX касается окружности (ABC).

#теория_чисел #задача

Найдите все натуральные n со следующим свойством: все натуральные делители n можно расположить в таком порядке d1, d2, d3, ..., dk, что для любого i ⩽ k число d1 + d2 + ... + di является полным квадратом.