#теория_чисел #задача
Найдите все натуральные n со следующим свойством: все натуральные делители n можно расположить в таком порядке d1, d2, d3, ..., dk, что для любого i ⩽ k число d1 + d2 + ... + di является полным квадратом.
Найдите все натуральные n со следующим свойством: все натуральные делители n можно расположить в таком порядке d1, d2, d3, ..., dk, что для любого i ⩽ k число d1 + d2 + ... + di является полным квадратом.
#комбинаторика #задача
По контуру каждой грани выпуклого многогранника ползает муха (то есть, мух столько же, сколько граней), и все они двигаются, обходя свою грань по часовой стрелке. Известно, что их скорости в любой момент времени не меньше 1мм в час. Докажите, что рано или поздно какие-то две мухи столкнутся.
По контуру каждой грани выпуклого многогранника ползает муха (то есть, мух столько же, сколько граней), и все они двигаются, обходя свою грань по часовой стрелке. Известно, что их скорости в любой момент времени не меньше 1мм в час. Докажите, что рано или поздно какие-то две мухи столкнутся.
#геометрия #задача
Точка P — произвольная внутри треугольника ABC. Докажите, что среди точек A2, B2, C2 хотя бы одна лежит вне окружности или на ней.
А нас уже больше 1к❤️
Точка P — произвольная внутри треугольника ABC. Докажите, что среди точек A2, B2, C2 хотя бы одна лежит вне окружности или на ней.
А нас уже больше 1к❤️
#задача #теория_чисел
Найдите все конечные множества натуральных чисел, у которых не меньше двух элементов, и для любых двух чисел a и b (a > b) множества, число b^2 / (a - b) тоже лежит а множестве.
Найдите все конечные множества натуральных чисел, у которых не меньше двух элементов, и для любых двух чисел a и b (a > b) множества, число b^2 / (a - b) тоже лежит а множестве.
#комбинаторика #задача
Назовём левым путём последовательность клеток, в которой каждая следующая — соседняя слева или снизу с предыдущей, правым путём – то же, но клетка соседняя снизу или справа. Клетчатый квадрат n × n разбит на левые и правые пути. Докажите, что их хотя бы n.
Назовём левым путём последовательность клеток, в которой каждая следующая — соседняя слева или снизу с предыдущей, правым путём – то же, но клетка соседняя снизу или справа. Клетчатый квадрат n × n разбит на левые и правые пути. Докажите, что их хотя бы n.
#геометрия #задача
В неравностороннем треугольнике ABC I – центр вписанной, O – центр описанной окружностей. Прямая λ проходит через точку I перпендикулярно OI. Прямая, симметричная прямой BC относительно λ пересекает AB и AC а точках K и L. Докажите, что центр окружности AKL лежит на прямой OI.
В неравностороннем треугольнике ABC I – центр вписанной, O – центр описанной окружностей. Прямая λ проходит через точку I перпендикулярно OI. Прямая, симметричная прямой BC относительно λ пересекает AB и AC а точках K и L. Докажите, что центр окружности AKL лежит на прямой OI.
#комбинаторика #задача
Муравей ползает по поверхности куба по замкнутому маршруту. Оказалось, что он всегда ползёт параллельно какому-то ребру куба, поворачивает только под прямым углом и, попадая на ребро куба, поворачивает так, чтобы ползти по следующей грани, но не по ребру. Рассмотрим прямолинейные отрезки его маршрута (от поворота до следующего поворота). Для каждой грани посчитали количество таких отрезков. Могло ли так случиться, что эти шесть количеств образуют шесть последовательных натуральных чисел в каком-то порядке?
Муравей ползает по поверхности куба по замкнутому маршруту. Оказалось, что он всегда ползёт параллельно какому-то ребру куба, поворачивает только под прямым углом и, попадая на ребро куба, поворачивает так, чтобы ползти по следующей грани, но не по ребру. Рассмотрим прямолинейные отрезки его маршрута (от поворота до следующего поворота). Для каждой грани посчитали количество таких отрезков. Могло ли так случиться, что эти шесть количеств образуют шесть последовательных натуральных чисел в каком-то порядке?
#геометрия #задача
Пусть ABC — неравнобедренный треугольник с ортоцентром H и описанной окружностью Ω. Прямая, проходящая через H пересекает отрезки AB и AC в точках E и F соответственно. Пусть K — центр окружности (AEF), и пусть прямая AK вторично пересекает Ω в точке D. Докажите, что прямая HK и прямая, проходящая через D перпендикулярно BC, пересекаются на Ω.
Пусть ABC — неравнобедренный треугольник с ортоцентром H и описанной окружностью Ω. Прямая, проходящая через H пересекает отрезки AB и AC в точках E и F соответственно. Пусть K — центр окружности (AEF), и пусть прямая AK вторично пересекает Ω в точке D. Докажите, что прямая HK и прямая, проходящая через D перпендикулярно BC, пересекаются на Ω.
#комбинаторика #геометрия #алгебра #задача
Предлагаем вам задачу с командной олимпиады проходящего прямо сейчас турнира Колмогорова!
Дано простое число p, пусть n=p^2+p+1. Рассмотрим семейство F из (p+1)-элементных подмножеств в n-элементном множестве X такое, что никакая пара подмножеств из F не пересекается ровно по одному элементу. Найдите максимальный размер такого семейства F.
Предлагаем вам задачу с командной олимпиады проходящего прямо сейчас турнира Колмогорова!
Дано простое число p, пусть n=p^2+p+1. Рассмотрим семейство F из (p+1)-элементных подмножеств в n-элементном множестве X такое, что никакая пара подмножеств из F не пересекается ровно по одному элементу. Найдите максимальный размер такого семейства F.
Forwarded from Jacob Shubin
А так, это же просто Erdos-Sos problem, частный случай
В общем виде то открытая проблема, обычно ее решают для больших n, но если n определенного вида, то результаты бывают и для всех n
Например, вот тут похожее было
https://arxiv.org/pdf/2408.00484
В общем виде то открытая проблема, обычно ее решают для больших n, но если n определенного вида, то результаты бывают и для всех n
Например, вот тут похожее было
https://arxiv.org/pdf/2408.00484
#геометрия #задача
Прямая, проходящая через ортоцентр треугольника ABC пересекает его стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Сторона BC, перпендикуляр к AB в точке D и перпендикуляр к AC в точке E образуют треугольник T. Докажите, что описанные окружности треугольников T и ABC касаются.
Прямая, проходящая через ортоцентр треугольника ABC пересекает его стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Сторона BC, перпендикуляр к AB в точке D и перпендикуляр к AC в точке E образуют треугольник T. Докажите, что описанные окружности треугольников T и ABC касаются.
#комбинаторика #задача
N олигархов построили себе страну c N городами, каждый олигарх владеет ровно одним городом. Кроме того, каждый олигарх построил несколько дорог между городами: любая пара городов соединена максимум одной дорогой каждого из олигархов (между двумя городами может быть несколько дорог, принадлежащих разным олигархам). Суммарно было построено d дорог. Некоторые олигархи хотели бы создать корпорацию, объединив свои города и дороги, так чтобы при этом из любого города корпорации можно было доехать до любого другого ее города по дорогам этой корпорации, возможно, заезжая по дороге в города других олигархов. Но оказалось, что никакая группа, в которой меньше N олигархов создать корпорацию не может! При каком наибольшем d это возможно?
N олигархов построили себе страну c N городами, каждый олигарх владеет ровно одним городом. Кроме того, каждый олигарх построил несколько дорог между городами: любая пара городов соединена максимум одной дорогой каждого из олигархов (между двумя городами может быть несколько дорог, принадлежащих разным олигархам). Суммарно было построено d дорог. Некоторые олигархи хотели бы создать корпорацию, объединив свои города и дороги, так чтобы при этом из любого города корпорации можно было доехать до любого другого ее города по дорогам этой корпорации, возможно, заезжая по дороге в города других олигархов. Но оказалось, что никакая группа, в которой меньше N олигархов создать корпорацию не может! При каком наибольшем d это возможно?