#ModusPonens
Напомним, что при построении исчисления высказываний в теории доказательств (доказательно-теоретическом построении исчисления высказываний; или дедуктивной логики высказываний, как этот раздел исчисления высказываний называют Гильберт и Бернайс) Modus Ponens оказывается единственным правилом вывода, а его схема обычно изображается, например, так:

Сегодня - ровно год существования нашего канала. С Новым годом! 🎄

Мы, таким образом, сделаем правило вывода более строгим, добавив в посылки условие, что вместо В нельзя подставлять Неверно, что А.

Для иллюстрации нашей концепции правила вывода, не допускающего получения ложного высказывания в теории моделей или противоречия аксиоме в теории доказательств, воспользуемся методом оценок, применяемым Гильбертом и Бернайсом в "Основаниях математики": будем обозначать желаемые значения, аналогичные значению истина, выделенными значениями и обозначать их символом α, аналогичные значению ложь -- символом β, а вместо нежелательного для нас значения истина в том случае, когда вместо B подставлено Неверно, что А, будем писать значение γ.

Тогда таблица истинности в теории моделей примет следующий вид:

в исчислении высказываний с более строгим правилом вывода

Такое более строгое правило вывода позволит реализовать следующие свойства в содержательных теориях: 1) из тождественно истинных выражений правильным считалось бы получение только тождественно истинных выражений; 2) из тождественно ложных -- любых; 3) из нейтральных, истинных в соответствующих предметных областях -- тождественно истинных и истинных в соответствующих областях; 4) из нейтральных, ложных в данной предметной области -- любые, кроме тождественно ложных.

Давайте разберм пример, на котором станет более ясной разница в подходах:

Умозаключение "Если число делится на 6 (без остатка), то оно делится на 2 (без остатка). 12 делится на 6. Следовательно, 12 делится на 2" построено правильно, так как оно имеет форму "Если А, то В. А. Следовательно, В" (это форма Modus Ponens), а для этой формы невозможно подобрать умозаключение, в котором каждая посылка была бы истинной, а заключение - ложным.

Отметим следующий нюанс. В вышеприведенном примере в процессе умозаключения мы также делаем подстановку "12" вместо "число, делящееся на 6" и "число, делящееся на 2", тогда как, например, в умозаключении "Если идёт дождь, то асфальт мокрый. Идёт дождь. Следовательно, асфальт мокрый" подстановку, как отдельное действие, производить не требуется.

Умозаключение "Если число делится на 6, то оно делится на 2. Данное число делится на 2. Следовательно, оно делится на 6" построено неправильно. Его форма имеет вид: Если А, то В. В. Следовательно, А. Контрпример: пусть таким числом будет 4, тогда каждая посылка истинна, а заключение ложно.

Умозаключение "Если число делится на 2, то оно - нечётное. 4 делится на 2. Следовательно, 4 - нечётное число" считается построенным правильно (в исчислении высказываний с традиционным правилом вывода Modus Ponens), при этом первая посылка и заключение - ложны.

Посмотрим, как работает ChatGPT 4o: