Когда Гегель в 83 параграфе Энциклопедии философских наук говорит о делении логики на учения о бытии, о сущности и о понятии и идее, то он замечает следующее: "доказать означает в философии показать, как предмет через самого себя и из самого себя делает себя тем, что он есть".

В Гегелевской системе абсолютного знания, которая начинается с Логики, предмет, делающий себя из самого себя - это мыслящее само себя мышление. В нашем случае - это мышление, изучающее себя в логических теориях и возвращающееся в заключении рассуждения к своим исходным высказываниям - посылкам. Можно сказать, рекурсивно мыслящее само себя мышление.

О счислениях и исчислениях. Система счисления - это перечень символов, используемых для записи чисел, а также совокупность правил, по которым числа будут записываться. В школе, прежде чем приступить к изучению арифметики, мы знакомимся именно со системой счисления - цифрами, которые в дальнейшем будем использовать для записи чисел. Арифметические операторы (например, +, -, :, *) не относятся к системе счисления. При построении исчисления нам также прежде всего предстоит явным образом показать (перечислить) каждый символ, составляющий строящееся исчисление. Если в системах счисления это цифры, то в логических теориях это логические операторы, символы для обозначения выражений, от содержания которых мы отвлекаемся, а также скобки.

В грамматике мы также поступаем подобным образом, начиная её изучение с алфавита. С точки зрения образовательного процесса это означает, что изучение логических теорий вряд ли целесообразно предпосылать знакомству с алфавитом и цифрами.

Составление логических задач. Ранее мы установили, что одно из оснований построения логических теорий - доказательство правильности либо неправильности умозаключения (рассуждения). При чем если для доказательства неправильности произвольного умозаключений достаточно привести контрпример умозаключения той же формы, где каждая посылка была бы истинной, а заключение - ложным, то для доказательства правильности требуется построить теорию, в которой будут сформированы определения, положения и приёмы, позволяющие это сделать.

Такие теории в логике делятся на формальные и содержательные в зависимости от того, обозначают ли их значимые выражения, соответственно, сами себя или объекты любой другой природы.

Задачи в формальных теориях сводятся к следующим типам: 1) установить, являются ли рассматриваемые в задаче предметы (объекты, символы) значимыми в данной теории - задача на распознавание путём установления тождества совокупности отличительных признаков образцов значимых выражений и рассматриваемых в задаче объектов; например, при построении исчисления предикатов мы говорим, что "предметная константа - это малая (строчная) буква латинского алфавита с числовым индексом в правом нижнем углу" и затем спрашиваем:

Пусть предметная переменная - это малая (строчная) буква без числовых индексов в правом нижнем углу. Тогда:

Почему нам так важно особое внимание уделить предметным константам, или индивидным символам, как их называет Клини? Потому, что они обозначают отдельные объекты рассматриваемых предметных областей, которые в рамках соответствующих теорий в дальнейшем не детализируются на другие объекты. Таковы: натуральное число в арифметике, точка в геометрии, материальная точка в классической механике, пропозициональная буква в логике высказываний, уникальные собственные имена в грамматике и особи в теории онтогенеза.

В теории множеств - это элементы, которые сами не являются множествами; в анкетных опросах - это каждый опрашиваемый, а в реляционных базах данных - это отдельная строка с уникальным идентификационным индексом (обычно - порядковым номером в данной таблице).

Особенность исчисления предикатов с многосортными предметными переменными - наличие разных предметных переменных в разных областях

Определения и логические формы в виде формул исчисления высказываний наиболее распространенных видов умозаключений (условно-категорических, разделительно-категорических и условно-разделительных) здесь: #РазделительноКатегорическиеУмозаключения #УсловноКатегорическиеУмозаключения #УсловноРазделительныеУмозаключения

В связи с тем, что в исчислении предикатов с многосортными предметными переменными существуют различные универсумы рассуждения (предметные области) действие принципа исключённого третьего (tertium non datur) будет распространяться только на ту предметную область, на которой задаётся предикат.

Например. В отношении предикатов "позвоночное" и "беспозвоночное" на универсуме животных действует принцип исключённого третьего: животное может быть тем либо другим, но не может не быть ни тем, ни другим; тогда как, скажем, о растениях мы не говорим ни "позвоночное", ни "беспозвоночное". То есть в отношении растений оба высказывания "Это растение есть позвоночное" и "Это растение есть беспозвоночное" окажутся ложными.

Где Х - животные, Y - растения, A - позвоночные