Операция объединения множеств А и В

Операция пересечения множеств А и В

Уважаемые дамы и господа! Приглашаю на прямой эфир в нашем Телеграм-канале в 18.00 (мск). Тема: формализация принципов тождества и противоречия в исчислении предикатов с многосортными предметными переменными.

Тождественная истинность и доказуемость разными методами

Уважаемые дамы и господа! Приглашаю на прямой эфир в нашем Телеграм-канале завтра 05.01.2025 в 12.00 мск. Тема: Использование разных методов для определения вида формулы.

О 4-х группах повествовательных предложений и их формализации в исчислении предикатов. Аристотель в Первой и Второй аналитиках говорит о трёх типах простых категорических высказываний: общих, частных и неопределенных.
Например, если мы скажем "Птицы умеют летать", то, в зависимости от того, как мы будем рассуждать, считая, что все птицы умеют летать или некоторые (то есть, хотя бы одна или все) птицы умеют летать, наше высказывание окажется, соответственно, ложным или истинным.

Когда мы проверяем умозаключение на предмет его правильности в элементарной логике высказываний (исчислении высказываний в теории моделей) мы вполне можем обозначить неопределенное высказывание пропозициональной буквой, поскольку для этого нам вовсе не обязательно знать, каким именно (истинным или ложным) является наше предложение. Этого, однако, нам окажется вовсе не достаточно в том случае, когда данное предложение мы захотим использовать в контрпримере для доказательства неправильности какого-либо умозаключения, поскольку в этом случае нам нужно точно знать, является ли наше высказывание истинным либо ложным. Это одно из обстоятельств, которые побуждают нас не ограничиваться построением исчисления высказываний, а приступить к исчислению предикатов.

Другая коллизия у нас возникает при формализации единичных высказываний (о которых Аристотель не говорит особым образом, наряду с другими). Дело в том, что когда мы рассматриваем истинные единичноутвердительные высказывания, то в них субъект оказывается распределенным (т.е. взятым в полном объеме), как в соответствующих общих. Но в этом случае противоречащее (контрадикторное) ему частноотрицательное высказывание должно оказаться ложным, чего однако, не происходит.
Вместе с тем нам существенно важно выразить и изучить свойства единичных высказываний, поскольку именно высказывания этого вида используются в качестве контрпримеров метода семантических (аналитических) таблиц и секвенциальных деревьев.

И поэтому, для того, чтобы учесть и использовать специфику единичных высказываний, мы в нашем построении исчисления предикатов будем использовать предметные константы. В теоретическом метаматематическом плане это даст нам более наглядную возможность провести различие между теорией множеств Кантора и аксиоматической теорией множеств с аксиомой выбора Цермело, Френкеля и фон Неймана (признаваемой сегодня большинством математиков, тогда как канторовская теория называется многими "наивной"): для нас существенно то, что все элементы любого множества попарно различны (один и тот же элемент не может более одного раза входить во множество).

Предметные константы и области значений предметных переменных. При построении исчисления предикатов (как в теории моделей, так и в теории доказательств) нам следует точно определить, предметы (иными словами: отдельно взятые объекты, индивиды, единичные предметы (у Гегеля), первые сущности (у Аристотеля)) какого рода, какой природы будут выступать в качестве значений предметных переменных. Нам необходимо это, ближайшим образом для того, чтобы определять истинностные значения высказываний о данной предметной области. С этой точки зрения, мы можем сформулировать следующее определение: предметная константа - это собственное имя отдельного предмета рассматриваемой предметной области, которое подставляется вместо предметной переменной в предикат с данной переменной в именной форме для получения выражения (разновидности формул), допускающего интерпретации истинностного значения, т.е. выступает в качестве значения предметной переменной рассматриваемой предметной области.