О 4-х группах повествовательных предложений и их формализации в исчислении предикатов. Аристотель в Первой и Второй аналитиках говорит о трёх типах простых категорических высказываний: общих, частных и неопределенных.
Например, если мы скажем "Птицы умеют летать", то, в зависимости от того, как мы будем рассуждать, считая, что все птицы умеют летать или некоторые (то есть, хотя бы одна или все) птицы умеют летать, наше высказывание окажется, соответственно, ложным или истинным.

Когда мы проверяем умозаключение на предмет его правильности в элементарной логике высказываний (исчислении высказываний в теории моделей) мы вполне можем обозначить неопределенное высказывание пропозициональной буквой, поскольку для этого нам вовсе не обязательно знать, каким именно (истинным или ложным) является наше предложение. Этого, однако, нам окажется вовсе не достаточно в том случае, когда данное предложение мы захотим использовать в контрпримере для доказательства неправильности какого-либо умозаключения, поскольку в этом случае нам нужно точно знать, является ли наше высказывание истинным либо ложным. Это одно из обстоятельств, которые побуждают нас не ограничиваться построением исчисления высказываний, а приступить к исчислению предикатов.

Другая коллизия у нас возникает при формализации единичных высказываний (о которых Аристотель не говорит особым образом, наряду с другими). Дело в том, что когда мы рассматриваем истинные единичноутвердительные высказывания, то в них субъект оказывается распределенным (т.е. взятым в полном объеме), как в соответствующих общих. Но в этом случае противоречащее (контрадикторное) ему частноотрицательное высказывание должно оказаться ложным, чего однако, не происходит.
Вместе с тем нам существенно важно выразить и изучить свойства единичных высказываний, поскольку именно высказывания этого вида используются в качестве контрпримеров метода семантических (аналитических) таблиц и секвенциальных деревьев.

И поэтому, для того, чтобы учесть и использовать специфику единичных высказываний, мы в нашем построении исчисления предикатов будем использовать предметные константы. В теоретическом метаматематическом плане это даст нам более наглядную возможность провести различие между теорией множеств Кантора и аксиоматической теорией множеств с аксиомой выбора Цермело, Френкеля и фон Неймана (признаваемой сегодня большинством математиков, тогда как канторовская теория называется многими "наивной"): для нас существенно то, что все элементы любого множества попарно различны (один и тот же элемент не может более одного раза входить во множество).

Предметные константы и области значений предметных переменных. При построении исчисления предикатов (как в теории моделей, так и в теории доказательств) нам следует точно определить, предметы (иными словами: отдельно взятые объекты, индивиды, единичные предметы (у Гегеля), первые сущности (у Аристотеля)) какого рода, какой природы будут выступать в качестве значений предметных переменных. Нам необходимо это, ближайшим образом для того, чтобы определять истинностные значения высказываний о данной предметной области. С этой точки зрения, мы можем сформулировать следующее определение: предметная константа - это собственное имя отдельного предмета рассматриваемой предметной области, которое подставляется вместо предметной переменной в предикат с данной переменной в именной форме для получения выражения (разновидности формул), допускающего интерпретации истинностного значения, т.е. выступает в качестве значения предметной переменной рассматриваемой предметной области.

Исчисления. Слово «исчисление» ещё не встречается в «Толковом словаре живого великорусского языка» (1863-1866) Владимира Даля в качестве отдельной статьи, хотя слово «исчислить» встречается несколько раз. В «Толковом словаре русского языка» (2006) С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой также встречается слово «исчислить» в общепринятом «вычислить», «высчитать», а слово «исчисление» рассматривается как существительное, используемое в специальной математической терминологии для обозначения дифференциального и интегрального исчислений, например. Можно заметить, что толковый словарь Ожегова и Шведовой продолжает линию трактовки данного термина, заложенную уже в «Энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона» (1890-1907), где он определяется как название «отдельных частей математики» (вариационного исчисления, дифференциального и интегрального исчислений и исчисления конечных разностей).

Развернутое пояснение общеупотребимого содержания понятия исчисление дается только в третьем издании «Большой Советской Энциклопедии» (1972), в статье, написанной Ю.А. Гастевым – известным ученым, логиком, осуществившим, в частности, в 1973 году перевод на русский язык «Математической логики» С.К. Клини. Гастев определяет исчисление, как «основанный на чётко сформулированных правилах формальный аппарат оперирования со знаками определённого вида, позволяющий дать исчерпывающе точное описание некоторого класса задач, а для некоторых подклассов этого класса (лишь для наиболее простых исчислений, совпадающих с ним) — и алгоритмы решения». Примерами исчислений выступают: совокупность правил оперирования с цифрами, т.е. числовыми символами в арифметике, «буквенное» исчисление в элементарной алгебре, вышеупомянутые дифференциальное и интегральное исчисления, а также вариационное и другие направления математического анализа и теории функций.

Как справедливо отмечает Ю.А. Гастев, несмотря на раннее происхождение, термин «исчисление» употреблялся в математике до последней трети двадцатого века без строгого общего определения. Необходимость в формулировке подобного определения, как и общей теории исчислений, возникла с развитием математической логики, когда данный термин стал подвергаться «более последовательной формализации». С этого момента исчисление стало пониматься как некое целое, система, включающая, главным образом, три следующих составляющих: 1) некоторый алфавит – совокупность простейших, элементарных символов, которые, по аналогии с алфавитом естественного языка, могут быть названы буквами; однако, в отличие от естественного языка, количество таких букв может считаться (в различных исчислениях) бесконечным – несмотря на то, что число таких букв конечно; 2) любая последовательность таких простейших символов объявляется словом, но при построении исчисления нас интересуют не все возможные слова, которые из данных символов могут быть построены, а только те, которые построены по определенным правилам – правилам образования; такие, построенные по точно сформулированным правилам образования последовательности элементарных знаков называются формулами (если снова воспользоваться аналогией с естественным языком, то можно считать их «словами»); 3) некоторые из таких «правильно построенных» выражений объявляются аксиомами, а из них с помощью правил преобразования (или, иначе, правил вывода) «выводятся» новые формулы, которые называются теоремами данного исчисления.

Исчисления, понимаемые подобным образом, могут быть отождествлены с формальными теориями, или формальными системами, поэтому многие ученые считают выражения «исчисление» и «формальная теория» тождественными по смыслу и значению. Особенностью исчислений, понимаемых исключительно как формальные системы, является то, что все три вышеуказанные группы выражений – простейшие знаки (формальные символы), выражения, построенные из этих знаков по правилам образования (формулы), и последовательности формул, построенные по правилам преобразования, рассматриваются как автонимные – то есть обозначающие самих себя. Поэтому о подобном способе построения теорий также часто говорят, что это – синтаксис, а семантикой называют такой способ построения исчислений, при котором все группы вышеуказанных выражений допускают интерпретацию – то есть какое-либо приписывание им значений. Представление содержательных логических и математических теорий в виде формализованных языков и исчислений составляет характерную особенность современной математической логики.

О формальных и дедуктивных системах, как синонимах исчислений, говорят и авторы статьи «Исчисление» в «Большой Российской Энциклопедии» (2008) весьма авторитетные специалисты – С.И. Адян и Л.Д. Беклемишев. Они рассматривают понятие исчисление как столь же фундаментальное, сколь и понятие алгоритма, поскольку «в частности, класс множеств, которые могут быть заданы с помощью исчисления, совпадает с классом алгоритмически перечислимых множеств». Специальные виды исчислений широко используются в математике для задания алгебраических систем (групп, полугрупп и др.), в математической лингвистике – для описания грамматик формальных языков, а в информатике – для описания синтаксиса языков программирования. Примерами полностью разработанных формализованных систем были логические системы Готлоба Фреге и Давида Гильберта.

В чем же особенность исчисления высказываний и исчисления предикатов по сравнению с дифференциальным, интегральным, вариационным и другими математическими исчислениями? Они считаются логическими, и это совершенно справедливо, и именно об этом нам сообщают авторы "Словаря по логике" и "Краткого словаря по логике" - Д.П. Горский, А.А. Ивин и А.Л. Никифоров.

«Логическое исчисление строится на базе некоторого формализованного языка, [в котором] задается набор исходных символов, из которых c помощью четко определенных правил строятся формулы рассматриваемого исчисления. Некоторые из этих формул выбираются в качестве аксиом, из которых с помощью правил преобразования получают новые формулы, называемые теоремами. После того как к исчислению добавляется интерпретация, придающая значение ее исходным символам и формулам, исчисление превращается в язык, описывающий некоторую предметную область».

Обратим внимание на такой забавный нюанс: в словарях Горского, Ивина и Никифорова в обеих версиях в статьях Исчисление присутствует ссылка на статьи "См. Исчисление высказываний" и "См. Исчисление предикатов" в этих словарях, которые в действительности отсутствуют.

Выводом (или доказательством) в данном исчислении называют конечную последовательность формул, всякий элемент которой либо является аксиомой, либо получается из предшествующих ему элементов по одному из правил вывода. Последние формулы вывода называют выводимыми формулами или теоремами данного исчисления. Для логического исчисления указанного типа часто используется термин «формальная (аксиоматическая) теория». Иногда этот термин относят не только к чисто синтаксису исчислений, описывающему формальный процесс порождения определённых цепочек символов, но и к исчислению, снабжённому семантикой, т. е. интерпретацией, определяющей смысл формул рассматриваемого языка.

В исчислении высказываний формально-аксиоматическим методом изучаются сложные (составные) высказывания, составленные из простых (элементарных, не анализируемых) высказываний с помощью логических связок «и», «или», «если..., то» и «неверно, что». При этом ставится цель охарактеризовать общезначимые в том или ином смысле высказывательные формы, т. е. те формулы, которые при любой подстановке высказываний вместо переменных дают высказывания, верные в соответствующем смысле. Теоремами этого исчисления являются в точности все тавтологии – формулы, отвечающие тождественно истинным булевым функциям. Отсюда следует алгоритмическая разрешимость, т.е. существование алгоритма, распознающего теоремы данного исчисления.

За формальную точность в исчислении высказываний и в исчислении предикатов приходится расплачиваться подробностью и объемом доказательств.

Например, в гильбертовом (классическом) исчислении высказываний в его представлении Клини: