Дополнительный семинар по решению задач для юристов, а также предъявления тетрадей с заданиями, будет 3.06.24 в 11.30, ауд. 705.

От сопредседателя секции "Теория вычислимости" Международной научной конференции «Алгебра и математическая логика: теория и приложения», проводимой Казанским федеральным университетом, Академией наук Республики Татарстан и Научно образовательный математическим центром Приволжского федерального округа, пришло письмо об отклонении доклада Вашего покорного слуги: "Уважаемый Вячеслав Владимирович! Сообщаем Вам, что тезисы Вашего доклада на тему «О счетности бесконечных множеств» не принимаются к публикации в сборнике тезисов конференции «Алгебра и математическая логика: теория и приложения 2024», а сам доклад не может быть включен в программу ее работы, поскольку сформулированный в его тезисах результат противоречит известным классическим результатам. С уважением, соруководитель секции
М. Файзрахманов".

Итак, #ОСчетностиБесконечныхМножеств. Канторовский диагональный метод сегодня столь прочно разместился в образовательных парадигмах математической логики, теории множеств, теории вычислимости и теории алгоритмов, что его релокация из образовательной в научно-исследовательскую плоскость многими учеными считается моветоном.

С помощью этого метода Кантор доказывает теорему: "Если E1, E2, ... , En, ... -- какая-либо просто бесконечная последовательность элементов многообразия M, то всегда существует такой элемент E0 многообразия M, который не совпадает ни с каким Ei. И доказательство этой теоремы приводит к утверждению о существовании несчетно бесконечных множеств.

Как замечает Клини в "Математической логике'' существование таких множеств могло бы остаться не замеченным в истории науки или замеченным, но вскоре забытым, если бы не те следствия, к которым это утверждение приводит.

Следствиями этого, в частности, являются решения трех проблем Гильберта: 1) неразрешимости континуум-гипотезы в аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля в случае принятия аксиомы выбора; 2) невозможности одновременного доказательства полноты и непротиворечивости формальной арифметики средствами самой формальной арифметической системы; 3) отрицательный ответ на вопрос о наличии универсального способа разрешимости диофантова уравнения в целых рациональных числах.

Давайте присмотримся к нашим действиям в процедуре диагонального метода. Прежде всего отметим, что в начальный момент, до применения диагональной процедуры, наше многообразие M состоит в точности из бесконечных последовательностей E1, E2, ... , En, ... записанных символами m и w. Мы можем поступить даже проще, чем Кантор, и заменить все символы диагональной последовательности на символ «0». Тогда окажется, что бесконечная последовательность E0={0,0,...,0,...} не совпадает ни с каким En, и теорема Кантора верна.

В этом случае, однако, наша логическая интуиция, пожалуй, может возразить, что при замене символов в записи бесконечных последовательностей мы перешли на другую систему счисления и наша процедура не достаточно корректна. Что произойдет, если для записи наших бесконечных многообразий мы выберем унарную или беконечнозначную системы счисления?

И в той, и в другой системах счисления диагональный метод Кантора, очевидно, не будет работать: в первом случае, бесконечные последовательности единиц будут неразличимы друг от друга, а во втором расположение уникального знака в бесконечной последовательности подобных знаков не имеет значения.

Теорема. Всякое бесконечное множество счетно в унарной или бесконечнозначной системах счисления. Несчетно бесконечных множеств не существует.

Доказательство. 1) Если всякая последовательность Eν из набора E1,E2,...,Eν,… записана в унарной системе счисления, то эти последовательности попарно неотличимы друг от друга, а значит такая последовательность Eν единственна, а значит многообразие M счетно.

2) Если всякая последовательность Eν из набора E1,E2,...,Eν,… записана в непозиционной системе счисления, в которой каждый знак – цифра, то любая произвольная пара Eν и Eμ будет всегда содержать одни и те же цифры, чтобы быть бесконечной, а поскольку не существует параметра, по которому пара будет различима, то такая последовательность Eν единственна, а значит многообразие M счетно.

Если всякая последовательность Eν из набора E1,E2,...,Eν,… записана в позиционной системе счисления (можно ограничиться двоичной), то для доказательства счетности используем следующий прием, заменяя канторовские координаты x1,x2,...,xν,..., каждая из которых, в свою очередь, есть m или w («исключающие друг друга признаки Charaktere») на 0 и 1:

В результате применения диагонального метода получаем: E0 становится E2, E2 становится E6, E4 становится E12, E6- E14 и т.д., что, подобно парадоксу Галилея о взаимно однозначном соответствии натуральных чисел и их квадратов, свидетельствует о пересчете. Аналогичным образом и для бесконечных последовательностей Eν с нечетными индексами.

На вышеприведенное доказательство теоремы о счетности множеств пришел ответ и с санкт-петербургской конференции "Современная логика"

Уважаемые, дорогие подписчики! 13.07.24 будет год существования нашего канала. Я планирую обнулить историю чата, чтобы продолжить наше движение дальше. Поэтому прошу, если у кого-то есть необходимость, скопировать интересующие материалы.

Цитата из книги Стюарта Рассела "Совместимость. Как контролировать искусственный интеллект"

Это я к тому, что, похоже, интеллектуальные битвы логиков Санкт-Петербурга и математиков Казани не очень привлекают...

Обнуление содержимого нашего канала отменяется: решил прислушаться к мнению старшего сына и дочери и учесть ваши эмодзи под соответствующим постом.