В теории множеств - это элементы, которые сами не являются множествами; в анкетных опросах - это каждый опрашиваемый, а в реляционных базах данных - это отдельная строка с уникальным идентификационным индексом (обычно - порядковым номером в данной таблице).

Особенность исчисления предикатов с многосортными предметными переменными - наличие разных предметных переменных в разных областях

Определения и логические формы в виде формул исчисления высказываний наиболее распространенных видов умозаключений (условно-категорических, разделительно-категорических и условно-разделительных) здесь: #РазделительноКатегорическиеУмозаключения #УсловноКатегорическиеУмозаключения #УсловноРазделительныеУмозаключения

В связи с тем, что в исчислении предикатов с многосортными предметными переменными существуют различные универсумы рассуждения (предметные области) действие принципа исключённого третьего (tertium non datur) будет распространяться только на ту предметную область, на которой задаётся предикат.

Например. В отношении предикатов "позвоночное" и "беспозвоночное" на универсуме животных действует принцип исключённого третьего: животное может быть тем либо другим, но не может не быть ни тем, ни другим; тогда как, скажем, о растениях мы не говорим ни "позвоночное", ни "беспозвоночное". То есть в отношении растений оба высказывания "Это растение есть позвоночное" и "Это растение есть беспозвоночное" окажутся ложными.

Где Х - животные, Y - растения, A - позвоночные

Такой подход, как я рассчитываю, позволит нам при построении исчисления предикатов с многосортными предметными переменными (т.е. логической теории в которой только один тип переменных - предметные переменные) в теории моделей изложить и классическое, и интуиционистское исчисления предикатов первого порядка , и в добавок, "бонусом", представить особым образом миры, модели и шкалы Крипке - одной из самых популярных разновидностей других неклассических (помимо интуиционистской) логик.

Так это выглядит в символизме исчисления предикатов с многосортными предметными переменными

Для свойства А из универсума рассуждения X, по которому, как ещё говорят, "пробегает" предметная переменная x, выполняется принцип tertium non datur, а для универсума рассуждения Y - не выполняется, поскольку утверждения об обоих отрицаниях оказываются неверными (ложными). При этом принцип противоречия мы не нарушаем, так как никакому объекту не приписываем и не отрицаем одновременно никаких свойств (в данном примере - свойство А) - на модельной схеме это обстоятельство выражается тем, что не существует точек, символизирующих отдельные объекты, которые располагались бы на окружности А.

Мы отмечаем, что при записи предметной переменной добавление к ней числового индекса в правом нижнем углу образует предметную константу. Индексация предметных констант осуществляется с помощью определенной выбранной системы счисления. Например, мы можем выбрать единичную (унарную) систему счисления, в которой каждый предмет рассматриваемой предметной области будет отличаться от другого при записи своего индивидуального символа количеством единиц в наборе - его уникальном собственном имени (proper name).

Вопрос о возможности выражения уникального собственного имени в формальной системе, где все значимые выражения представляют исключительно самих себя (т.е. используются автонимно), решается таким образом утвердительно и сравнительно несложно. Однако в естественном языке у нас возникают проблемы: либо уникальное собственное имя - это результат соглашения (возможно, молчаливого и не выраженного в утвердительной форме), либо уникальность имени выражает уникальность обозначаемого этим именем предмета вне зависимости от каких-либо соглашений пользователей языка. Один из самых ранних (и лучших) философских текстов по этому вопросу - диалог Платона "Кратил".

Приложение к теории познания (гносеологии). Представим себе, что универсум рассуждения Y на вышеуказанной схеме - это предметная область пяти-мерного мира (в котором 4-ое измерение (4-ая переменная) - это время), где 5-ый параметр - способность, например, зрительного восприятия 4-х мерного объекта в 3-х измерениях пространства. То есть, каждому объекту предметной области X мы сопоставляем 3 пространственных характеристики, которые считаются уникальными для любого объекта чувственно воспринимаемого мира (поскольку два тела не могут одновременно занимать одно и то же место), а 4-ая характеристика - время, т.е. параметр посредством которого фиксируются изменения положения объекта относительно других объектов или изменение его других (не пространственных) признаков.

Приложение к теории знания (эпистемологии) и философии науки. Один из приемов, существенный для понимания постулата общей теории относительности Эйнштейна об эквивалентности как инерциальных, так и неинерциальных систем отсчёта - мысленный эксперимент с наблюдателем в лифте с непрозрачными стенками, равноудаленном от источников гравитационной и электромагнитной сил. Оказывается, что именно такому наблюдателю невозможно определить истинную причину перехода от состояния невесомости к состоянию ощущения массы собственного тела и соприкосновения с одной из стенок лифта (условным "полом"): это равным образом может быть как внезапное возникновение источника тяготения (скажем, появление сверхновой звезды), так и движение в противоположном направлении с ускорением, причиной которого будет внешний по отношению к лифту источник тяги.

Ключевой момент для нашей задачи здесь в невозможности наблюдателя отличить одну систему отсчёта от другой: неинерциальную систему отсчёта, движущуюся с ускорением, от системы отсчёта, переходящую в зону действия поля тяготения. Подобным образом, мы утверждаем невозможность отличить визуальное восприятие без дополнительных ощущений (например, осязания) двухмерных объектов виртуального мира от трёхмерных объектов мира, который мы считаем реальным.

В изобразительном искусстве трёхмерность объектов на двухмерной плоскости передается посредством изображения источника света и тени, отбрасываемой обьектом. Заметим, что отличить тени в двухмерном мире от теней в трехмерном невозможно в принципе (возможно, поэтому им придется особое значение в искусстве и магии).

Итак, если первой особенностью исчисления предикатов с многосортными предметными переменными является ограниченное действие принципа исключённого третьего, так этот принцип будет строго действовать для всех предикатов на тех предметных областях, где они заданы, и не будет действовать на всех остальных, то другой необычной особенностью будет возможность существования различных пустых понятий, так как обозначаемые ими объекты могут существовать на других (возможно различных) предметных областях.

В связи с этим можно утверждать, что и тезис о единственности пустого множества также не будет справедлив для исчисления предикатов с многосортными предметными переменными. Множества, являющиеся пустыми на одних предметных областях, вполне могут оказаться непустыми в других: классический пример из дискуссии Рассела, представителей неопозитивизма, философии языка и аналитической философии - "зелёные единороги" 🦄 (это пустое понятие, с их точки зрения, поскольку единорогов не существует). Наша же теория позволяет рассматривать подобные понятия как не пустые (например, на предметной области мифов и сказок) и, кроме того как отличающиеся друг от друга, так как быть единорогом 🦄 отнюдь не тоже самое, что не быть, ведьмаком.