Как пишут Гильберт и Бернайс в "Основаниях математики", нам бы хотелось построить логическую теорию таким образом, чтобы исключительно по внешнему виду выражения без обращения к его интерпретациям определять, является ли оно формой правильного рассуждения или нет.
И действительно, в исчислении высказываний в теории моделей мы обнаруживаем, что совершенная дизъюнктивная форма формулы, которая содержит 2 в степени n (где n - количество пропозициональных букв) попарно различных элементарных конъюнкций, выражает форму правильного рассуждения (в теории моделей представленную тождественно истинной формулой).
Разнообразие методов. Подобно любой другой научной дисциплине логика обладает набором собственных, специфичных только для неё методов. В элементарной логике высказываний (теории истинностных функций), или построении исчисления высказываний в теории моделей мы используем метод таблиц истинности, несомненным преимуществом которого является наглядность его представления полноты и попарной различенности допустимых интерпретаций. Как совершенно справедливо замечает Клини, этим методом нужно пользоваться без колебаний, когда возникают сомнения в правильности других решений.
Задачу сведения формул к совершенным дизъюнктивным и конъюнктивным нормальным формам можно считать общей для элементарной логики высказываний и алгебры высказываний (Булевой алгебры). Однако, если в первой построение СДНФ или СКНФ завершает предшествующее построение таблицы истинности, то во второй оно выступает результатом метода эквивалентных преобразований.
Задача определения вида формулы (тождественно истинной, тождественно ложной или нейтральной в теории моделей и теоремы (не-теоремы) в теории доказательств) по её форме является общей, в свою очередь, для алгебры высказываний и для дедуктивной логики высказываний (исчисления высказываний в теории доказательств). В теории доказательств теорема - это последняя формула в последовательности формул, каждая из которых является аксиомой или формулой, полученной из двух предыдущих по правилу вывода Modus Ponens (в исчислении высказываний).
До следующего уровня нашего канала (и новых возможностей) осталось всего 2 голоса! Поддержим, у кого есть такая возможность: https://www.tgoop.com/boost/logic_metamathematics (Особое Спасибо Анфисе, которая уже отдала свой голос за наш канал!)
Всем проголосовавшим - огромное спасибо, шагнули на следующий уровень! Теперь с меня сторис 😊
Цвет фона обоев (пурпурный, RGB, 128×0×128) выбран не случайно (возможны изменения темнее-светлее), мотивы проясню попозже...
Формат и контент обоев буду постепенно изменять: в абстрактно-идеальной ситуации в соответствии с темой постов.
Анонсирую свою открытую лекцию "Формальные системы и их значение в истории наук" (Волгоград, ул. Герцена, 10, ауд. 702) 20 ноября в 16.10 (мск). Приглашаю всех, у кого будет желание и возможность.
P.S. Сторис прикрепить к каналу пока не получается, к аккаунту - пожалуйста, а каналу - не понятно, как. Написал волонтерам в поддержку - молчат... Если кто знает, напишите, пожалуйста, в чат
Вроде разобрался - спасибо за подсказку Анфисе и Anastasia! 🙏
https://www.mathnet.ru/links/4d9fc3e250cf1a00b87bcf677f8bf192/sm7425.pdf Великий А.Н. Колмогоров о принципе исключенного третьего. Статья рекомендуется к прочтению сама по себе, и, в частности, к Открытой лекции 20.11. Выстраиваемое нами исчисление предикатов с многосортными предметными переменными будет иметь расхождение с установками Колмогорова об истинных и ложных формулах.
Социологов поздравляю с профессиональным праздником! Пожелания творческих успехов и исследовательской удачи!
На Открытой лекции 20.11 планирую в качестве отпавных пунктов рассмотреня эпистемологического значения изучения формальных систем взять статью Курта Гёделя "О формально недоказуемых высказываниях Principia Mathematica и подобных ей систем" (1930) и "Введение в метаматематику" Стефана Клини (1952).
Правила "от перемены мест слагаемых сумма не изменяется" и "от перемены мест множителей произведение не изменяется" обычно изучаются в начальной школе. Но на простой детский вопрос: "Почему так?" ответ находится только в теории доказательств (метаматематике).
В логике и метаматематике мы изучаем основания любых других наук, включая математику (не наоборот, как считают некоторые, например, Брауэр - основопожник интуиционистской математики и логики).