Умозаключение (рассуждение) - это последовательность высказываний, соединённых посредством слов следовательно, значит, поэтому и тому подобных.
Высказывания, предшествующие слову "следовательно" и ему подобным, называются посылками, а следующие за ним - заключением.
Если в совокупности предложений нет вышеприведенных слов, явным образом указывающих на переход от посылок к заключению, то будем говорить, что такая последовательность высказываний не является умозаключением.

Способ связи высказываний в умозаключении или также способ связи понятий в посылках и заключении называется формой (или логической формой) умозаключения. Способ связи высказываний в умозаключении выражается союзами (логическими союзами, propositional connectives, пропозициональными связками): 1) И (конъюнкция), 2) ИЛИ (дизъюнкция), 3) ЕСЛИ..., ТО... (импликация), 4) ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА (эквиваленция) и другими. Способ связи понятий в высказывании выражается связками ЕСТЬ и НЕ ЕСТЬ.

С точки зрения обыденного сознания или с точки зрения человека только приступающего к изучению логики, она может быть представлена двояким образом: во-первых, как наука о порядке в рассуждениях (в последовательности высказываний о некоторых событиях); во-вторых, как наука о порядке в последовательности самих этих событий.
Например, утверждение основания условного высказывания, выступающего посылкой умозаключения, с такой же достоверностью приведет к утверждению высказывания-следствия условной посылки в заключении, с какой мы вправе ожидать наступления следствия-события после осуществления причины.

С философской точки зрения, наука логики (Гегель) или общее наукоучение (Фихте) должны начинаться, соответственно, с бытия и небытия или с тождества чистого Я себе самому. Напомним, что по Гегелю "Логика - это тот план, по которому Бог строит мир".

В истории науки и эпистемологии сверхпристальное внимание к логике проявляется в рамках изучения оснований математики вообще и отдельных математических теорий в частности, начиная с 1910 года (выход первого тома Principia Mathematica Уайтхеда и Рассела) и до 40-х годов того же столетия. Фундаментальный вопрос здесь: что выступает основанием чего - логика математики (Рассел, Уайтхед, Гильберт и другие) или, наоборот, математика логики (Брауэр и его адепты). Примерно в этот период в научный словооброт и входит понятие Математическая логика, которое впоследствии станет названием одноименной специальности. Здесь изучается логика, теснейшим образом связанная с математическими теориями.

Предметные области и интерпретации в теории моделей.

Для обозначения количества объектов (предметов) рассматриваемой предметной области мы используем количественные числительные - в естественном языке это слова, обозначающие количество предметов, а в арифметике - это символы, их заменяющие - натуральные числа. Представление об определенном количестве предметов рассматриваемой предметной области мы получаем обычно благодаря их пересчету. При пересчёте мы используем порядковые числительные, для записи которых также используем натуральные числа.

Заметим, что символизм записи натуральных чисел с помощью цифр выбранных систем счисления, в отличие от естественного языка, не отражает вышеуказанного различия числительных.

Например. Количественные числительные: один, два, три, ..., две тысячи двадцать пять и тому подобные.
Порядковые числительные: первый, второй, третий, ..., две тысячи двадцать пятый и тому подобные.

В теории множеств количество элементов, входящих в данное множество, выраженное количественным числительным, называется мощностью множества. Можно также сказать, что количественное числительное - это ответ на вопрос: "Сколько...?", в нашем случае: "Сколько элементов входит во множество?"

Гильберт и Бернайс Основания математики. Т.1, М.: Наука 1979

В оригинале на немецком, первое издание 1934 год

Методы, используемые для доказательства правильности и неправильности умозаключений.

Мы выяснили, что критерий неправильности умозаключения, состоящий в том, что умозаключение является неправильным тогда и только тогда, когда оно имеет неправильную форму (логическую форму), а форма умозаключения является неправильной, тогда и только тогда, когда существует такое умозаключение данной формы, где каждая посылка истинна, а заключение ложно, не может быть использован для доказательства правильности умозаключений, поскольку невозможно рассмотреть (проверить) всё бесконечное множество содержательно различных умозаключений, которые могут быть построены по данной форме.

Это - одна из причин, по которым мы строим логические теории: нам нужны средства (инструменты, методы), для того, чтобы доказывать правильность умозаключений. К таким методам относятся, в частности: таблицы истинности, семантические (аналитические) таблицы, секвенциальные деревья, эквивалентные преобразования и формальные выводы и доказательства.

Мотивы для изучения логики: 1) проверка рассуждений на предмет их правильности и формирование способности доказывать правильность либо неправильность произвольного рассуждения - Аристотель определяет логику как науку о доказательстве; 2) умение строить правильные или правдоподобные умозаключения; 3) уверенность в полноте рассмотрения возможных вариантов достижения цели и их всевозможных сочетаний; 4) выбор наилучшего, наиболее приемлемого пути достижения цели или решения задачи - Колмогоров определяет логику как науку о решении задач; 5) объяснение определённой последовательности событий, ответ на вопрос: почему из всех возможных вариантов развития событий случился именно этот? - тезис Лейбница о том, что мы живём в лучшем из возможных миров Mathesis Universalis - предпосылкой выступает уверенность в том, что "порядок и связь идей те же, что порядок и связь вещей"; 6) реализация высшей духовной потребности - пребывание духа в своей собственной стихии - стихии мышления, так утверждает Гегель; 7) удовольствие мышления от свободы пребывания в себе самом - эпикурейцы, Кант.

Соответственно: 1) для доказательства неправильности произвольного умозаключения мы можем воспользоваться поиском контрпримера (разумеется, если оно не является очевидно неправильным - с истинными посылками и ложным заключением), а для доказательства правильности - воспользоваться каким-либо методом логической теории. Простейшей такой теорией является теория истинностных функций, или элементарная логика высказываний, или исчисление высказываний в теории моделей, а метод, которым обычно пользуются для определения правильности рассматриваемых рассуждений - таблицы истинности. 2) Умению строить правильные или правдоподобные умозаключения наилучшими образом помогают изучение формальных систем дедуктивной логики, т.е. построение исчисления высказываний и исчисления предикатов в теории доказательств и упражнения по формальному доказательству теорем или выводу определенных формул из заранее определенных посылок.

3) Уверенность в том, что, разбирая возможные варианты развития событий или возможные способы решения задачи, мы не пропустили никакой из них (свойство полноты), приобретается, пожалуй, наилучшим образом в булевой алгебре, или алгебре высказываний при доказательстве теоремы Поста о полноте системы булевых функций с помощью концепции замкнутых классов. Вопрос же о совместимости и несовместимости вариантов решается методом оценок в теории доказательств (метаматематике) и изучением специфики n-местных отношений в исчислении предикатов.

Определения и примеры совершенной дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной нормальной форм формулы

Одна из основных причин изучения совершенных дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной нормальной форм формул - возможность по внешнему виду формулы решить вопрос, является ли она тождественно истинной или нет. Формула, совершенная дизъюнктивная нормальная форма которой содержит 2 в степени n (где n - количество различных собственных пропозициональных букв данной формулы) элементарных конъюнкций, является тождественно истинной. Таким образом, сведение формулы, выражающей форму умозаключения к совершенной дизъюнктивной нормальной форме, является методом алгебры высказываний, который может быть использован для определения правильности рассуждений.

Завтра в 12.00 мск здесь на канале онлайн-трансляция по дедуктивной логике высказываний (исчислению высказываний в теории доказательств): определения формул исчисления высказываний, правила преобразования формул - схемы аксиом и правило вывода, понятия формального доказательства и формального вывода.

Сегодня попробуем трансляцию с чатом - задавайте, пожалуйста, вопросы, пишите комментарии...

Сейчас я попробую запустить трансляцию, чтобы проверить обратную связь и возможности такого формата. У кого есть возможность - подключайтесь!