От себя замечу, что с эпистемологической и историко-научной точек зрения это учебное издание воплощает исходные принципы конструктивистского направления новосибирской школы математической логики.

О целях науки о доказательстве. Аристотель - один из величайших философов Древней Греции, по праву считающийся отцом-основателем логики, в дошедших до нас сочинениях не использует слово логика, но всегда говорит о науке о доказательстве или доказывающей науке. Термин логика для обозначения одного из разделов философии, наряду с физикой и этикой, впервые используют более молодые современники Аристотеля - философы-стоики, часть из которых были его учениками. Это обстоятельство свидетельствует о том, что изначально наука о доказательстве создавалась для того, чтобы изучающий ее приобрел знания о том, какие рассуждения являются правильными, а какие - нет, умел отличать правильные умозаключения от неправильных и приобрел способность целенаправлено, а не случайным образом, строить правильные или правдоподобные рассуждения.

Доказательство - это умозаключение, или рассуждение, то есть Всякое доказательство - это умозаключение, но Существуют такие умозаключения, которые не являются доказательствами. Предварительно заметим (поскольку, возможно, в ходе дальнейшего изложения нижеследующее утверждение потребует детализации и уточнения), что доказательством будем называть правильно построенное умозаключение (рассуждение), а неправильно построенное умозаключение (рассуждение) доказательством называть не будем.

Мы используем здесь приём, который называется явным родо-видовым определением - мы говорим: Доказательство - это правильно построенное умозаключение, и наоборот, правильно построенное умозаключение - это доказательство. Слова "доказательство" и "правильно построенное умозаключение (рассуждение)", как говорят, находятся в отношении тождества - то есть они имеют одно и то же значение, иными словами, обозначают одни и те же предметы. Используя грекоязычное заимствование из лингвистики, мы могли бы сказать, что это - синонимы, но с той поправкой, что они не имеют никаких различий.

Наше определение доказательства (того, что такое доказательство, или того, что называется доказательством) содержит определяемую часть - слово доказательство, и определяющую – словосочетание правильное умозаключение. И определяемая, и определяющая части определения выражаются понятиями. Кроме того, нужно заметить, что определение не является умозаключением, а представляет собой отдельно взятое утверждение, которое мы можем рассматривать как: 1) высказывание, истинное на некоторой предметной области; 2) допущение, необходимое для построения дальнейших рассуждений.

Сложносочинённые предложения «Всякое доказательство – умозаключение, но Существуют умозаключения, не являющиеся доказательствами» и «Доказательство – это правильно построенное умозаключение, и наоборот, правильно построенное умозаключение – это доказательство» не являются умозаключениями: в них нет тех предложений, которые выводились бы («получались») из других – в естественном языке на наличие умозаключения явным образом показывают выражения типа «следовательно», «значит», «поэтому». Предложения, предшествующие выражениям указанного типа называются посылками, а то предложение, которое следует за ним – заключением. В дальнейшем последовательность предложений естественного языка, в которых не встречается выражение, явным образом указывающее на наличие перехода от посылок к заключению (т.е. умозаключения), считать умозаключениями (или рассуждениями) не будем.

Другой особенностью посылок и заключения рассуждений является то, что они должны быть повествовательными предложениями – из побудительных предложений, выражающих эмоции или призыв к действию, или из вопросительных, выражающих заинтересованное ожидание разрешения некоторого неопределенного положения дел в известной предметной области, выводов делать не будем (разве что косвенным, как сказал бы Аристотель, «привходящим» образом) – например, призыв «Все на борьбу с Деникиным» может рассматриваться как свидетельство нехватки красноармейцев на фронте, а риторический вопрос: «Разве Волгоград не является городом-героем?» – как утверждение в форме вопросительного предложения.

"Виртуальная экскурсия"

О правильности и неправильности умозаключений и истинности и ложности высказываний.

Об умозаключениях (рассуждениях) мы будем говорить как о правильных либо как о неправильных - умозаключения не бывают истинными либо ложными (!).

О высказываниях, наоборот, говориться как об истинных либо ложных, но высказывания не бывают правильными либо неправильными (!).

Говорить на русском иначе - значит не обладать достаточным для науки о доказательстве знанием различий слов современного русского языка.
Слова "верно" и "неверно" (которые мы, например, часто использовали в школе при проверке правильности решения уравнений) двусмысленны - они могут употребляться и в значении правильно и истинно, и в значении неправильно и ложно (соответственно), поэтому их не следует использовать, чтобы избежать двусмысленности в строгих рассуждениях, в других случаях (например, когда двусмысленность целесообразна или контекст допускает очевидно однозначное прочтение) они окажутся вполне уместными и своевременными.

Когда мы говорим о высказываниях, то требуем, чтобы: во-первых, ни одно из них не могло быть одновременно и в одном и том же смысле истинным и ложным, то есть соответствующим и не соответствующим положению дел в рассматриваемой предметной области - это принцип противоречия; во-вторых, никакое высказывание не могло бы иметь какое-либо другое значение, кроме истина и ложь, иными словами, содержание высказывания может либо соответствовать реальному положению дел либо не соответствовать ему, и третьего не дано - tertium non datur - принцип исключённого третьего.

Когда мы говорим об умозаключениях (рассуждениях), то утверждаем, что: во-первых, одно и то же умозаключение в одном и том же отношении не может быть одновременно правильным и неправильным - в этом принцип противоречия; во-вторых, одно и то же умозаключение может быть либо правильным либо неправильным, третьего не дано - в этом принцип исключённого третьего.

Итак, мы определили доказательство как правильное умозаключение (рассуждение). В нашем случае сказать так всё равно, что сказать: "Мы определили понятие "доказательство" ". Заметим, что сегодня определения первого вида обычно называются реальными, а вторые - номинальными.
Примечание. Иногда в ходе занятий учителя ставят задачу, например: "дать понятие доказательству". Конечно, задачи подобного рода следует понимать в смысле предписания "дать определение понятию доказательство", поскольку буквально немыслящей сущности нельзя передать форму мышления.

Умозаключение (рассуждение) - это последовательность высказываний, соединённых посредством слов следовательно, значит, поэтому и тому подобных.
Высказывания, предшествующие слову "следовательно" и ему подобным, называются посылками, а следующие за ним - заключением.
Если в совокупности предложений нет вышеприведенных слов, явным образом указывающих на переход от посылок к заключению, то будем говорить, что такая последовательность высказываний не является умозаключением.

Способ связи высказываний в умозаключении или также способ связи понятий в посылках и заключении называется формой (или логической формой) умозаключения. Способ связи высказываний в умозаключении выражается союзами (логическими союзами, propositional connectives, пропозициональными связками): 1) И (конъюнкция), 2) ИЛИ (дизъюнкция), 3) ЕСЛИ..., ТО... (импликация), 4) ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА (эквиваленция) и другими. Способ связи понятий в высказывании выражается связками ЕСТЬ и НЕ ЕСТЬ.

С точки зрения обыденного сознания или с точки зрения человека только приступающего к изучению логики, она может быть представлена двояким образом: во-первых, как наука о порядке в рассуждениях (в последовательности высказываний о некоторых событиях); во-вторых, как наука о порядке в последовательности самих этих событий.
Например, утверждение основания условного высказывания, выступающего посылкой умозаключения, с такой же достоверностью приведет к утверждению высказывания-следствия условной посылки в заключении, с какой мы вправе ожидать наступления следствия-события после осуществления причины.

С философской точки зрения, наука логики (Гегель) или общее наукоучение (Фихте) должны начинаться, соответственно, с бытия и небытия или с тождества чистого Я себе самому. Напомним, что по Гегелю "Логика - это тот план, по которому Бог строит мир".

В истории науки и эпистемологии сверхпристальное внимание к логике проявляется в рамках изучения оснований математики вообще и отдельных математических теорий в частности, начиная с 1910 года (выход первого тома Principia Mathematica Уайтхеда и Рассела) и до 40-х годов того же столетия. Фундаментальный вопрос здесь: что выступает основанием чего - логика математики (Рассел, Уайтхед, Гильберт и другие) или, наоборот, математика логики (Брауэр и его адепты). Примерно в этот период в научный словооброт и входит понятие Математическая логика, которое впоследствии станет названием одноименной специальности. Здесь изучается логика, теснейшим образом связанная с математическими теориями.

Предметные области и интерпретации в теории моделей.

Для обозначения количества объектов (предметов) рассматриваемой предметной области мы используем количественные числительные - в естественном языке это слова, обозначающие количество предметов, а в арифметике - это символы, их заменяющие - натуральные числа. Представление об определенном количестве предметов рассматриваемой предметной области мы получаем обычно благодаря их пересчету. При пересчёте мы используем порядковые числительные, для записи которых также используем натуральные числа.

Заметим, что символизм записи натуральных чисел с помощью цифр выбранных систем счисления, в отличие от естественного языка, не отражает вышеуказанного различия числительных.

Например. Количественные числительные: один, два, три, ..., две тысячи двадцать пять и тому подобные.
Порядковые числительные: первый, второй, третий, ..., две тысячи двадцать пятый и тому подобные.

В теории множеств количество элементов, входящих в данное множество, выраженное количественным числительным, называется мощностью множества. Можно также сказать, что количественное числительное - это ответ на вопрос: "Сколько...?", в нашем случае: "Сколько элементов входит во множество?"

Гильберт и Бернайс Основания математики. Т.1, М.: Наука 1979

В оригинале на немецком, первое издание 1934 год