Здравствуйте, дорогие читатели!
Всё чаще и чаще мне приходила мысль сделать что-нибудь по топологии, но типичный формат "небольшой статьи" казался для этого слишком ненужным: чем слушать мои объяснения, гораздо лучше самому прочитать какой-либо учебник по теме, ведь там и автор - больший специалист в области, и нет цели сжать материал до "небольшой статьи". Кроме топологии, в планах накопилось уже довольно много тем слишком глубоких для небольших статей.
Потому, чтобы не создавать статьи, в которых я, по сути, буду заниматься переливанием материала из параграфа учебника в статью примерно того же объёма и содержания, будет "испытан" новый формат материала: своеобразный "сжатый коспект" темы, в котором будет всё прямо самое-самое важное или интересное по теме. Думаю, это было бы неплохо назвать "#Сжато" по сути подачи материала.
Всё чаще и чаще мне приходила мысль сделать что-нибудь по топологии, но типичный формат "небольшой статьи" казался для этого слишком ненужным: чем слушать мои объяснения, гораздо лучше самому прочитать какой-либо учебник по теме, ведь там и автор - больший специалист в области, и нет цели сжать материал до "небольшой статьи". Кроме топологии, в планах накопилось уже довольно много тем слишком глубоких для небольших статей.
Потому, чтобы не создавать статьи, в которых я, по сути, буду заниматься переливанием материала из параграфа учебника в статью примерно того же объёма и содержания, будет "испытан" новый формат материала: своеобразный "сжатый коспект" темы, в котором будет всё прямо самое-самое важное или интересное по теме. Думаю, это было бы неплохо назвать "#Сжато" по сути подачи материала.
Сам себе мехмат
#Сжато, Первая публикация из цикла #Единство_В_Разнообразии #Топология #Теория_множеств
Упражнения для закрепления:
1*) Докажите, что множество в топологическом пространстве может быть как одновременно замкнуто и открыто, так и одновременно не открыто и не замкнуто.
2) Может ли топологическое пространство иметь ровно одно одновременно замкнутое и открытое множество?
3) Опираясь на аксиомы топологического пространства, докажите, что стандартная топология R действительно является топологией в R.
4) Докажите, что совокупность из пустого множества, всевозможных правых (или левых) лучей и всего множества R действительно является топологией в R.
5) Докажите, что совокупность из пустого множества, всевозможных интервалов и всевозможных лучей действительной прямой является базой стандартной топологии в R.
6) Докажите, что совокупность из всевозможных правых и левых лучей является предбазой стандартной топологии в R.
7) Какая топология будет тоньше, а какая - грубее в R: стандартная топология или топология правых/левых лучей?
1*) Докажите, что множество в топологическом пространстве может быть как одновременно замкнуто и открыто, так и одновременно не открыто и не замкнуто.
2) Может ли топологическое пространство иметь ровно одно одновременно замкнутое и открытое множество?
3) Опираясь на аксиомы топологического пространства, докажите, что стандартная топология R действительно является топологией в R.
4) Докажите, что совокупность из пустого множества, всевозможных правых (или левых) лучей и всего множества R действительно является топологией в R.
5) Докажите, что совокупность из пустого множества, всевозможных интервалов и всевозможных лучей действительной прямой является базой стандартной топологии в R.
6) Докажите, что совокупность из всевозможных правых и левых лучей является предбазой стандартной топологии в R.
7) Какая топология будет тоньше, а какая - грубее в R: стандартная топология или топология правых/левых лучей?
#Сжато, Вторая публикация из цикла #Единство_В_Разнообразии
Упражнения для закрепления:
1) Как можно представить внешность множества через само множество, всё пространство и операции Int и Cl?
2) Выведите как можно больше выражений Int A, Cl A, Fr A и внешности A друг через друга и пространство X.
3) Докажите утверждения, отмеченные на слайдах буквой "Т".
4*) Как связано понятие предела последовательности и определение предельной точки?
5) Докажите, что Cl Cl A = Cl A и Int Int A = Int A.
6) Докажите, что для любого множества A в любом пространстве верно Int A⊆A и A⊆Cl A.
7*) Задача Куратовского: какое наибольшее число попарно различных множеств можно получить путём последовательного применения операций Int и Cl?
8) Докажите, что Q и R\Q всюду плотны в R. Чему притом равны Int Q и Int (R\Q) в R?
9) Докажите, что любое конечное множество точек в R нигде не плотно.
10) Являются ли нигде не плотными границы замкнутых, открытых и произвольных множеств?
#Топология #Теория_множеств #Математический_анализ
Упражнения для закрепления:
1) Как можно представить внешность множества через само множество, всё пространство и операции Int и Cl?
2) Выведите как можно больше выражений Int A, Cl A, Fr A и внешности A друг через друга и пространство X.
3) Докажите утверждения, отмеченные на слайдах буквой "Т".
4*) Как связано понятие предела последовательности и определение предельной точки?
5) Докажите, что Cl Cl A = Cl A и Int Int A = Int A.
6) Докажите, что для любого множества A в любом пространстве верно Int A⊆A и A⊆Cl A.
7*) Задача Куратовского: какое наибольшее число попарно различных множеств можно получить путём последовательного применения операций Int и Cl?
8) Докажите, что Q и R\Q всюду плотны в R. Чему притом равны Int Q и Int (R\Q) в R?
9) Докажите, что любое конечное множество точек в R нигде не плотно.
10) Являются ли нигде не плотными границы замкнутых, открытых и произвольных множеств?
#Топология #Теория_множеств #Математический_анализ
#Сжато, Третья публикация из цикла #Единство_В_Разнообразии
Упражнения для закрепления:
1) Докажите, что указанные виды топологий для линейно упорядоченных множеств действительно являются топологиями
2) Докажите, что топологии для R как для метрического пространства и линейно упорядоченного множества действительно совпадают со стандартной топологией в R
Со следующей статьи, думаю, мы начнём рассматривать то, ради чего мы все собрались вокруг топологии: явление непрерывности
#Топология #Теория_множеств #Математические_отношения
Упражнения для закрепления:
1) Докажите, что указанные виды топологий для линейно упорядоченных множеств действительно являются топологиями
2) Докажите, что топологии для R как для метрического пространства и линейно упорядоченного множества действительно совпадают со стандартной топологией в R
Со следующей статьи, думаю, мы начнём рассматривать то, ради чего мы все собрались вокруг топологии: явление непрерывности
#Топология #Теория_множеств #Математические_отношения
Сам себе мехмат
Photo
Поправка: топологии левых и правых лучей в определении на третьем слайде следует поменять местами, ведь в топологию правых лучей входят верхние конусы, а в топологию левых - нижние. Для запоминания можно помнить, что (см. после решения упражнений) лучи "вправо" в R верхние конусы, а лучи "влево" - нижние
#Сжато, Четвёртая публикация из цикла #Единство_В_Разнообразии
Упражнения для закрепления:
1) Докажите утверждения, отмеченные буквой "Т" на слайдах
2) Покажите, почему функция, непрерывная по определениям из математического анализа, является непрерывным отображением в метрической топологии
3) Покажите, почему отображения, показанные на слайде 2, непрерывны или не непрерывны.
4.1) Докажите, что отображение, обратное гомеоморфизму, есть гомеоморфизм
4.2) Докажите, что композиция гомеоморфизмов есть гомеоморфизм
4.3) Докажите, что гомеоморфность - отношение эквивалентности на множестве топологических пространств.
Наверное, вскоре выйдет отдельная публикация с упражнениями на гомеоморфизмы, ведь тема требует практики.
#Топология #Теория_множеств #Математические_отношения #Математический_анализ
Упражнения для закрепления:
1) Докажите утверждения, отмеченные буквой "Т" на слайдах
2) Покажите, почему функция, непрерывная по определениям из математического анализа, является непрерывным отображением в метрической топологии
3) Покажите, почему отображения, показанные на слайде 2, непрерывны или не непрерывны.
4.1) Докажите, что отображение, обратное гомеоморфизму, есть гомеоморфизм
4.2) Докажите, что композиция гомеоморфизмов есть гомеоморфизм
4.3) Докажите, что гомеоморфность - отношение эквивалентности на множестве топологических пространств.
Наверное, вскоре выйдет отдельная публикация с упражнениями на гомеоморфизмы, ведь тема требует практики.
#Топология #Теория_множеств #Математические_отношения #Математический_анализ