Чевианы AD, BE и CF пересекаются в точке P на описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и DEF и окружность девяти точек треугольника DEF имеют общую радикальную ось.

В R^n существуют n+2 точки с целыми нечетными попарными расстояниями только если n имеет отстаток 14 от деления на 16. Об этом рассказывает Дима Крачун (см пересланное сообщение)

A tale of many distances:

Let us start from the very end, from the answer, the ultimate law of nature if you wish, and then gradually descend from the summit observing the views around.

Theorem: There exists a set of n+2 points in \R^n such that all pairwise distances between them are odd integers if and only if n is congruent to 14 modulo 16.

Arguably, looking at fourteen dimensions is somewhat justifiable given this is the answer, yet same cannot be said of distances being odd integers, for this restriction is, you know, odd. Hence, one might wonder if similar laws of nature exist in the realms less artificial, perhaps where all integers are treated with equal respect. It so happens that the answer is no, such a realm has infinitely many possibilities and virtually no restrictions, as seen by the following theorem.

Theorem: There exist arbitrary large non-trivial finite sets of points on the plane with all pairwise distances being integer. No such infinite set of points exists.

There is no cheating allowed, one could, of course, take all the points on the same line and claim the victory, so we deem all such examples trivial and concentrate on non-trivial ones. Ruling out the possibility of an infinite number of points is left to the reader and we briefly discuss the first half of the theorem.

The key to the construction lies in the famous theorem of Ptolemy giving a relation between the four sides and two diagonals of a cyclic quadrilateral and hence ensuring that if five distances between four points on a circle are rational, then so is the sixth one. We note in passing that by scaling we can indeed think of rational distances rather than integer ones. With such a hint we are naturally lead to consider a circle with diameter AB of unit length and an infinitude of points C_k on the circle at rational distances both from A and B given by various Pythagorean triples. Then |AC_k|, |BC_k|, |AB| are all rational by construction and |C_iC_j| are rational by the aforementioned theorem of Ptolemy. There are reasons to believe that possibilities are rather limited without Ptolemy, see [1, Theorem 1.1].

Having observed how dull the world of integer distances is, we return to the artificial world of odd restrictions to see how this world works. In spaces such as \R^n one has the benefit of scalar products, and so one natural step is to look at scalar products rather than distances: With n+2 points at odd distances in \R^n in mind we harmlessly assume that one of them, say A_0, is at the origin and look at scalar products <A_0A_i, A_0A_j>. Matrix with such entries, called Gramm matrix, has rank at most n (since all points are in \R^n) and hence zero determinant. Multiplying all entries by 2 and using the identity 2<a, b>=|a|^2+|b^2|-|a-b|^2, we see that 2<A_0A_i, A_0A_j> is congruent to 1 modulo 8 (recall that odd squares are congruent to 1 modulo 8 ) when i and j are distinct, whereas 2<A_0A_i, A_0A_i> = 2|A_0A_i|^2 is congruent to 2 modulo 16.

Claim: A symmetric m by m matrix with entries 2 on the diagonal and all other entries equal to 1 has determinant m+1. Modulo 16 the determinant does not change if one adds a symmetric matrix with all off-diagonal entries divisible by 8 and all diagonal entries divisible by 16.

Классная задача. Автор Van Khea из Камбоджи

Треугольник ABC вписан в окружность ω, на которой выбрана точка P. Окружность Ω касается ω в некоторой точке. Лучи PA, PB и PC пересекают Ω в точках D, E и F. Прямые D'E', E'F' и F'D' симметричны прямым DE, EF и FD относительно прямых AB, BC и CA соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника D'E'F' касается ω.

День красивых задач. Эта задача от Григория Борисовича Филипповского.

Источник www.tgoop.com/geometry_ukraine

В треугольнике ABC проведена высота AD. Точки H и O — ортоцентр и центр описанной окружности треугольника ABC. Центр описанной окружности треугольника DHO отразили относительно HO. Докажите, что результат лежит на средней линии треугольника.

Листик про квадраты для начинающих геометров

Поддержим волну! Листок этой недели про квадраты для вчерашних семиклассников на основе замечательной книги А.Д. Блинкова «Геометрия стандартная и не очень». Для решения задач достаточно материала седьмого класса!

Гайз, лет ми спик фром май харт! Но не про геометрию.

Пока я тут немного болел, коллеги как раз подготовили основу для этой вот новости. Дело в том, что JetBrains решил организовать абсолютно бесплатные онлайн кружки клубы по математике, программированию и AI. Цели этих кружков клубов я бы обозначил как подготовить неокрепшие школьные умы к обучению в университете, а заодно и посеять доброе, вечное и бесплатное.

Я не вполне знаю, как устроены кружки клубы по программированию и AI, но преподаватели там супер-пупер классные, так что, думаю, что очень хорошо устроены. Но я точно знаю, как устроен математический кружок клуб, поскольку преподавателем в нем буду я.

1. Раз в неделю будет стрим-лекция с разбором избранных задач и теоретическим материалом. Это будет по субботам ориентировочно в 16:00 по московскому времени (ориентировочно, потому что в какой-то момент часовые пояса разъедутся в разных странах в разные стороны).

2. На неделю участникам будет предлагаться 15 задач по теме от самых простых упражнений до вполне себе хороших олимпиадных задач. В первом полугодии задачи будут с автоматической проверкой ответов.

3. Тематически в первом полугодии речь пойдет о многочленах, комбинаторике, дискретной вероятности, теории чисел и графах. То есть ни слова о геометрии (ну почти))) Уровень предполагает самые-самые базовые знания, то есть если вы крутой олимпиадник, то вам скорее всего это будет не по уровню. А если вам не хватает базы, то вам как раз сюда.

4. Особенность курса состоит в том, что он будет проходить на английском языке. Но зато при хорошей успеваемости баллы, полученные на курсе, можно будет конвертировать во вступительные баллы на бакалаврскую программу от JetBrains.

5. Технически все будет происходить на платформе Cogniterra с группой поддержки и общения в Дискорде.

Всем привет! В этом году JetBrains Youth Challenge (устная командная олимпиада) будет проходить осенью, во второй половине ноября. Нам бы хотелось подобрать чуть более авторские и, на самом деле, чуть более сложные задачи для соревнования в этом году, в частности, по геометрии.

Если вы уже не школьник и придумали задачу, которая кажется вам интересной, и которую вы не афишировали, то вы можете прислать ее мне на адрес [email protected] с пометкой JetBrains Youth Challenge в теме. Мы постараемся оперативно ее оценить и сообщить вам, вошла ли задача в шортлист (на случай, если вы хотели бы ее предложить еще куда-то). Я буду вам очень благодарен))

Продолжаем традицию! Листик для начинающих геометров. Немного посложнее — про правильные многоугольники.

#красота_спасет_мир #ЮМТ

Команда авторов канала сейчас на Южном математическом турнире 🙂

Мы будем держать вас в курсе событий 😉 Ожидается очень много крутых геометрий 🔥

А вот и первая — своеобразный тест на профессионала с довольно изящной формулировкой от Павла Александровича 🤗

Задача. Трапеция 𝐴𝐵𝐶𝐷 (𝐴𝐵 ‖ 𝐶𝐷) вписана в окружность Ω. Рассмотрим всевозможные окружности Γ, которые касаются отрезка 𝐶𝐷 и той дуги 𝐶𝐷 окружности Ω, что не содержит точек 𝐴 и 𝐵. Пусть Γ касается сторон некоторого угла ∠𝐴𝑃𝐵 в точках 𝐾 и 𝐿 соответственно. Докажите, что сумма 𝐴𝐾 + 𝐵𝐿 постоянна (то есть не зависит от выбора окружности Γ).

На командной олимпиаде в старшей лиге была еще одна прикольная геометрия от нашего подписчика Вовы Конышева. С ней справилась всего одна команда! 🤯

Условие и картинку к сложной задачке вы сможете найти в комментариях к посту 👇
Там же лежит неподвижная картинка к задаче от Павла Александровича 💜

Добавляйтесь в наш чат, чтобы ничего не пропустить!

В начале этого учебного года у разных своих старшеклассников провел занятия про параболы. Мне кажется, это интересно и есть много тем для обсуждения. Получился довольно длинный листочек... Думаю, запишу видео-разбор скоро

Автор 13-ой задачи Ф. Нилов

к эллипсографу, конечно, предыдущая анимация имеет отношение...

#красота_спасет_мир #ЮМТ

Снова шедевр от нашего подписчика Кирилла Бельского 💪

Несмотря на то, что формулировка очень простая и изящная, задачу не решила ни одна команда турнира 🤯
Она не бьется никакой техникой и при том имеет идейное геометрическое решение 🔥

Кроме того, есть и другое читерское решение, которое задумал автор. Но до этого чита никто не догадался 🙂

Задача. Пусть Ω — вневписанная окружность треугольника 𝐴𝐵𝐶, которая касается продолжений сторон 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶 в точках 𝐸 и 𝐹 соответственно. Докажите, что касательные к (𝐴𝐵𝐶), проведенные в 𝐵 и 𝐶 пересекаются на Ω тогда и только тогда, когда 𝐸𝐹 касается (𝐴𝐵𝐶).

Классная задача! Мне когда-то Кирилл ее прислал, а я ее не решил)

Сегодня последний день Южного математического турнира. А это значит, что пришла пора финальных боев ! 🔥

И, конечно, наше внимание было приковано к финалу лиги Гранд, где сражались команды Саранска и Московской области.

Борьба была столь напряженной, что в одном из раундов команда Саранска использовала все свои полминутные тайм-ауты, дабы поддержать своего докладчика на проверке корректности 🤯

Вызов оказался корреткным, но с определнными дырками в решении, которые стоили явно не одного седого волоса участникам команды Саранска 😓

Кроме того, в бою сыграли обе геометрии, причем с нетривиальным счетом. Подробности боя вы можете узнать в комментариях, посмотрев протокол, а мы представляем вашему вниманию одну из этих прекрасных планиметрических задач — уже третью в нашем канале от одного и того же автора — Кирилла Бельского 😎

Задача. Дан треугольник 𝐴𝐵𝐶 и на его описанной окружности на меньшей дуге 𝐵𝐶 выбраны точки 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆. Точки 𝑃′, 𝑄′, 𝑅′, 𝑆′ лежат на прямых 𝐴𝑃, 𝐴𝑄, 𝐴𝑅, 𝐴𝑆 так, что середины отрезков 𝑃𝑃′, 𝑄𝑄′, 𝑅𝑅′, 𝑆𝑆′ лежат на прямой 𝐵𝐶. Оказалось, что 𝐵, 𝑃′, 𝑄′ — одна прямая и 𝐶, 𝑅′, 𝑆′ — одна прямая. Докажите, что точки 𝑃′, 𝑄′, 𝑅′, 𝑆′ лежат на одной окружности.

Напряженный поединок завершился уже после начала закрытия турнира ! Победила команда Саранска, с чем мы ее и поздравляем 👏👏👏

Отдельно хотим отметить нашего подписчика, капитана команды Саранск и автора замечательного канала по геометрии Нагуманова Юсуфа. Юсуф удостоен высшей личной награды Южного турнира — диплома имени Дмитрия Германовича Фон-дер-Флаасса

УРА ! 👏🔥🥳

Продолжаю публиковать листики для начинающих геометров. Сегодня про параллелограммы, и даже точнее: если параллелограмма нет, то может стоит его нарисовать...

раз уж нарисовал — грех пропадать такой красоте. вычисление суммы кубов натуральных чисел методом пристального вглядывания. (для JB Math Club)

продолжаю публиковать листочки для начинающих геометров. вот листик про осевую симметрию, в котором знать почти ничего и не надо.