⚙️ График, который получается в результате таких манипуляций — трохоида, у которой опорная поверхность не плоская, а имеет переменный радиус кривизны. По сути это совокупность эпитрохоид, построенных на поверхности с переменным радиусом кривизны.

Для понимания процесса нужно записать на черновике два параметрических уравнения, которые получаются, когда кругл «катится» по плоскости:

x = r⋅t - h⋅sin(t)
y = r - h⋅cos(t)

Для эпициклоиды уже сложнее:

x = R⋅(m+1)⋅cos(m⋅t) - h⋅cos((m+1)⋅t)
y = R⋅(m+1)⋅sin(m⋅t) - h⋅sin((m+1)⋅t)

где m = r/R , R — радиус неподвижной окружности (опорная поверхность), r — радиус катящейся окружности. h — расстояние от центра катящейся окружности до точки маркера (за которой мы следим, точка, которая рисует).
Ну а если тут положить R → ∞ и h → R , то мы получаем уравнения классической циклоиды, график которой описывает крайняя точка на колесе машины, которая едет с постоянной скоростью и без проскальзывания.

❓Математические вопросы для наших подписчиков:
▪️ Попробуйте выразить явную зависимость y(x). Получится у вас это сделать?
▪️ На видео видно, что мы получаем семейство кривых, которые после каждого полного «круга» немного смещаются. Для этого смещения обязательно ли число зубьев на маленьком колесе и число зубьев на опорной кривой должны быть взаимно простыми числами? Или достаточно лишь того, чтобы они отличались хотя бы на 1 ?

➰ Красота параметрических кривых

⭕️ Точки пересечения кругов на воде движутся по гиперболе

🕑 Экстремальная задача на смекалку

#математика #mathematics #animation #math #геометрия #geometry #gif

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

💡 «Эффект Паули» — почему известному учёному запрещали появляться в лабораториях

Эффект назван по фамилии швейцарского физика Вольфганга Эрнста Паули, который был стопроцентным теоретиком. Он работал в области физики элементарных частиц и стал лауреатом Нобелевской премии 1945 года. Большинству из нас он известен благодаря "принципу Паули". Но прошу не путать "принцип Паули" с "эффектом Паули".

Принцип Паули — это квантово-механический принцип, который гласит, что два или более идентичных фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоянии в квантовой системе. Но в статье речь не об этом, так что не пугайтесь.

Эффект же Паули заключается в том, что при появлении теоретика рядом с экспериментальной установкой результаты могут получиться неверными или эксперимент не удастся вовсе. Этот эффект не имеет никакого теоретического подтверждения и обоснования, но неоднократно наблюдался на практике разными людьми.

Известно, что Паули был стопроцентным теоретиком и при его появлении в лабораториях и на экспериментах, почти каждый раз что-то шло не так. Хотите верьте, хотите нет, но даже его друг Нобелевский лауреат Отто Штерн запрещал Паули находится в лаборатории во время проведения экспериментов.

Всё началось с того, что коллеги Паули начали замечать, что как только Паули входил в комнату, где проводились эксперименты, приборы тут же начинали показывать неверные значения и "сходили с ума". Сначала это называли "эффектом Паули" только те, кто непосредственно работал с Паули всё время. Но вскоре "слава" о Нобелевском лауреате вышла далеко за пределы его личных знакомств.

🕰 Эксперимент с часами: Проверить этот эффект взялись студенты Паули. Они соединили настенные часы с дверью через реле таким образом, что, когда открывается дверь, часы замедляли свой ход. Ничего не подозревающий Паули, зашёл в аудиторию, провел, как и планировал лекцию, а время сверял по тем самым часам, с которыми студенты связали реле. Как оказалось потом, часы так и не замедлили ход, вышло из строя реле.

Позже студенты сделали другой механизм. Они связали дверь с люстрой. Когда дверь открывалась, люстра должна была падать. Но когда дверь открыл Паули, ничего не произошло. В механизме что-то сломалось. Сам Паули увидел сложную конструкцию и сказал: "Как я понимаю, вы только что доказали эффект Паули".

🚂 Странный случай на железной дороге: Но самый невероятный случай произошел, когда Паули ехал из Цюриха в Копенгаген навестить и обсудить последние новости физики со своим небезызвестными приятелем Нобелевским лауреатом Нильсом Бором. Известный физик и ещё один Нобелевский лауреат Джеймс Франк работал в лаборатории в городке Геттинген. В Геттингенский университет как раз привезли самое современное и дорогое оборудование от передовых производителей для проведения сложных экспериментов по изучению атомов. Но когда Франк начал проводить эксперимент, что-то пошло не так и установка вышла из строя. Время происшествия было точно известно и, как позже выяснилось, как раз в эти минуты поезд, на котором ехал Паули, сделал короткую семиминутную остановку на станции в Геттингене.

Как я уже сказал, доказанных подтверждений эффекта или того, что Паули каким-то образом влиял на экспериментальные установки, нет. Возможно, всё это не более чем совпадения и стечения обстоятельств. Но и сейчас находятся люди, которые уверены, что встречались с такими людьми или сами являются ими. #физика #physics #science #наука

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

⚡️ С чего начать моделирование электрических полей?

Задумывались ли вы, как «увидеть» невидимое? Электрическое поле окружает нас повсюду, от розетки до экрана смартфона. Давайте разберемся, как смоделировать его для точечных зарядов и сложных поверхностей и получить эти завораживающие картинки силовых линий и эквипотенциалей.

1. Фундамент: Главные Уравнения
▪️ Закон Кулона для точечного заряда: F = k * (q₁ * q₂) / r² . Но для поля удобнее работать с напряженностью E = F / q.
▪️ Принцип суперпозиции: Поле системы зарядов — это просто векторная сумма полей от каждого заряда в отдельности. Это наше главное оружие в моделировании.

2. Силовые Линии и Эквипотенциали
Поле можно описывать по-разному, и это ключ к красивой визуализации.
▪️Силовые линии (Графическое отображение напряженности E):
— Воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором E.
— Свойства: Начинаются на «+» зарядах, заканчиваются на «-» или уходят в бесконечность. Никогда не пересекаются!
— Густота линий пропорциональна величине напряженности.
▪️Эквипотенциальные поверхности (Графическое отображение потенциала φ):
— Что это? Поверхности, где потенциал постоянен (φ = const).
— Свойства: Всегда перпендикулярны силовым линиям. Работа по перемещению заряда вдоль такой поверхности равна нулю.

3. Как Строить Уравнения?
Для точечного заряда q в точке (x₀, y₀):
— Потенциал: φ(x, y) = k * q / sqrt( (x - x₀)² + (y - y₀)² )
— Вектор напряженности E: Eₓ = -∂φ/∂x, Eᵧ = -∂φ/∂y (это просто частные производные, градиент со знаком минус).
А как получить уравнение силовой линии? Это уже сложнее. Силовая линия — это кривая, которая в каждой точке направлена вдоль E. Математически это решается через дифференциальное уравнение: dx / Eₓ(x, y) = dy / Eᵧ(x, y). Решая его (часто численно!), мы получаем траектории для наших визуализаций.

4. Инструменты для Моделирования и Визуализации
▪️Python — король научной визуализации: Библиотеки: matplotlib, numpy, scipy.
▪️Как: Задаете сетку точек (x, y), для каждой считаете Eₓ и Eᵧ (суммируя вклады от всех зарядов). Затем:
— Для силовых линий: используйте matplotlib.streamplot
— Для эквипотенциалей: matplotlib.contour или contourf для потенциала φ.

🖥 Простой пример кода для двух зарядов:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Создаем сетку
x = np.linspace(-2, 2, 100)
y = np.linspace(-2, 2, 100)
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# Задаем заряды (q, x, y)
charges = [(1, -0.5, 0), (-1, 0.5, 0)]

# Вычисляем полные Eₓ и Eᵧ на сетке
Ex = np.zeros(X.shape)
Ey = np.zeros(Y.shape)
k = 9e9
for q, xq, yq in charges:
    R = np.sqrt((X - xq)**2 + (Y - yq)**2)
    Ex += k * q * (X - xq) / R**3
    Ey += k * q * (Y - yq) / R**3

# Рисуем силовые линии
plt.streamplot(X, Y, Ex, Ey, color='blue', linewidth=1, density=2)
plt.show()

Готовые симуляторы:
— PhET Interactive Simulations (отлично для начального понимания).
— Falstad's E&M Simulator (очень наглядно).
— Comsol Multiphysics, Ansys — для серьезного моделирования сложных поверхностей.

🔴 А что с Крупными Заряженными Поверхностями? Здесь принцип суперпозиции остается, но суммирование становится интегрированием. Каждую поверхность разбиваете на маленькие точечные заряды dq и интегрируете их вклад в поле. На практике для сложных форм это почти всегда делается численными методами (например, методом конечных элементов), которые и используют пакеты вроде Comsol. Начните с Python и пары точечных зарядов. Поймите связь между φ и E, научитесь строить streamplot и contour. #электричество #физика #моделирование #визуализация #python #наука #образование #электрическоеполе #программирование

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🔥 Заводим мотор! Почему маленький ДВС для RC-машинки — это технологическое чудо?

Все мы видели мощные радиоуправляемые машинки с ДВС, которые ревут как настоящие звери. Казалось бы, возьми большой мотор, уменьши его — и готово. Но на деле создать такой «малютку» невероятно сложно. Вот почему ⬇️

▪️ Факт 1: В мире маленьких моторов трение — главный враг.

Представьте: при уменьшении размера мотора в 10 раз его объем (и мощность) уменьшаются в 1000 раз (!), а площадь поверхностей, создающих трение, — только в 100 раз. Это значит, что в относительном выражении трение в маленьком моторе в 10 раз значимее, чем в большом. Из-за этого крошечные двигатели без тщательной обработки могут просто не провернуться под нагрузкой.

▪️ Факт 2: Им не хватает инерции.

Массивный маховик большого мотора помогает поршню проходить «мертвые точки». В микро-ДВС маховик легкий, и ему не хватает инерции. Поэтому такие моторы невероятно сложно завести «с толкача» — нужна специальная система заводки (обычно роторная, с пружиной).

▪️ Факт 3: Скорость — их единственный путь к мощности.

Поскольку увеличить рабочий объем нельзя, инженеры выжимают мощность другим способом — оборотами. Типичный RC-ДВС легко раскручивается до 30 000–40 000 об/мин. Для сравнения, мотор спортивного автомобиля редко превышает 10 000 об/мин. Эта сумасшедшая скорость требует идеальной балансировки и создает чудовищные нагрузки на детали.

▪️ Факт 4: У них нет свечи зажигания (в привычном виде).

Во многих маленьких калильных двигателях нет электрической системы зажигания! Вместо нее в камере сгорания стоит калильная свеча — с платиновой нитью накаливания. Сначала ее разогревают от внешнего источника, а дальше она поддерживает температуру за счет циклов сгорания. Топливо воспламеняется от контакта с раскаленной свечой. Просто и гениально!

▪️ Факт 5: Термодинамика сходит с ума.

В маленьком объеме соотношение площади к объему растет. Камера сгорания быстро отдает тепло, что мешает эффективному сгоранию топлива. А из-за миниатюрных размеров сложно сделать эффективное охлаждение (обычно это просто алюминиевый радиатор, обдуваемый воздухом). Перегрев — постоянная головная боль.

🔥Вывод: Сделать маленький мощный ДВС — это не просто масштабировать чертеж. Это постоянная борьба с законами физики, которые не любят миниатюризацию. Каждый такой мотор — это шедевр инженерной мысли, где точность изготовления измеряется в микронах, а за мощность приходится платить умопомрачительными оборотами.

А вы знали о таких сложностях? #ДВС #радиоуправление #физика #механика #инженерия #RCмодели #технологии

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

⚡️ Опыты Фарадея 🧲

29 августа 1831 года знаменитый английский физик Майкл Фарадей после 10 лет экспериментов открыл явление электромагнитной индукции. Это явление состоит в возникновении ЭДС индукции в замкнутом контуре при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром.

Некоторые опыты Майкла Фарадея, которые имеют наибольшее значение для теории электромагнетизма:

🔸 Опыт с катушкой и магнитом. Взаимодействие движущегося магнита и катушки, намотанной из проводника, порождает электрический ток. При введении магнита в катушку в цепи возникает электрический ток одного направления (стрелка гальванометра отклоняется, например, вправо), при выведении магнита из катушки стрелка отклоняется в противоположную сторону.

🔸 Опыт с двумя катушками. По одной из них пропускали ток, к другой был подключён гальванометр. В момент начала или окончания пропускания тока по первой катушке стрелка гальванометра, подключённого ко второй, колебалась. Этот опыт показывал, что не только магнетизм можно превратить в электричество, но и электричество в магнетизм.

Видеопримеры по теме:

🔥 Индукционный нагрев

💫 «Гроб Мухаммеда»

🧲 Как работают трансформаторы?

⚡️ Основные физические понятия электродинамики (Леннаучфильм)

✨ Взаимодействие зарядов. Электростатическая индукция

💫 Исследование электрических полей. Опыт по физике

⚡️ Уравнения Максвелла ✨

⚙️ Электромагнитная подвеска 🧲

#видеоуроки #physics #физика #опыты #электродинамика #электричество #магнетизм #эксперименты #научные_фильмы

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

🔥 Термическая обработка стальных деталей ⚙️

Скорее всего, на видео показывают индукционную печь. Разберем принцип работы:

1. Вокруг установки создается мощное высокочастотное электромагнитное поле. Когда в это поле помещают металлическую (ферромагнитную) деталь, в ней возникают вихревые токи, которые разогревают ее изнутри. Это очень быстрый, эффективный и чистый способ нагрева. В канале уже были видео по теме индукционного нагрева здесь. Чаще всего в современных цехах используют индукционные печи, потому что они обладают рядом существенных преимуществ:
— Быстрые: Деталь раскаляется за минуты.
— Контролируемые: Температуру можно точно регулировать.
— Чистые (химически): Нет продуктов сгорания, как в газовых печах.
— Локальный нагрев: Можно нагреть только определенную часть детали (например, зубья шестерни).

2. Далее детали опускают в закалочную жидкость. Это нужно для того, чтобы резко охладить раскаленную деталь для придания ей высокой твердости и износостойкости. Конкретная жидкость зависит от марки стали и требуемых свойств детали. Основные варианты:
🔸 Закалочное масло (Наиболее вероятный вариант для шестерен): Обеспечивает достаточно быстрое, но не экстремально резкое охлаждение. Это предотвращает появление трещин и коробление детали, что особенно важно для сложных изделий таких как шестерни.
🔸 Полимерные растворы (Специальные составы): Водные растворы полимеров (например, полиалкенилгликоля). Они охлаждают почти как масло, но не горят, что безопаснее. Похожи на мутную воду. Широко используются в современных производствах.
🔸 Вода: Очень быстрое и резкое охлаждение (вспомните теплоемкость и теплопроводность воды). Используется для углеродистых сталей, но для больших и ответственных шестерен рискованно, так как может привести к трещинам.
🔸 Расплавленные соли или щелочи: Обеспечивают очень равномерное охлаждение для достижения особых свойств. Используются реже, для высоколегированных сталей.

3. После закалки сталь становится не только твердой, но и хрупкой. Поэтому следующим этапом всегда следует отпуск. Деталь снова нагревают, но до гораздо более низкой температуры (200-400°C), и медленно охлаждают. Это снимает внутренние напряжения и уменьшает хрупкость, сохраняя при этом высокую твердость. В итоге получается прочная, износостойкая и не ломкая шестерня. На видео вы наблюдали процесс закалки стальных шестерен. Их нагревают в индукционной печи до температуры около 800-900°C, а затем погружают в закалочную жидкость (чаще всего масло), чтобы придать им высокую твердость для надежной работы в механизмах.

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib

⚛️ Законы Вселенной:уравнения, которые изменили всё 💤

1. Уравнение Эйнштейна: Общая теория относительности : G_μν = 8πG/c⁴ * T_μν
Что оно значит: Материя и энергия говорят пространству-времени, как искривляться, а искривлённое пространство-время говорит материи, как двигаться.
Почему это красиво: Оно связывает геометрию Вселенной с её содержимым. Без него не работали бы GPS, и мы не знали бы о чёрных дырах. Это уравнение — квинтэссенция идеи «геометрия как физика».

2. Стандартная модель (Лагранжиан)
Что он значит: Это полная теория трёх из четырёх фундаментальных взаимодействий (электромагнитного, сильного и слабого) и всех известных элементарных частиц.
Почему это красиво: Это вершина человеческого понимания микромира. Оно с пугающей точностью предсказывает поведение квантовой вселенной. Его экспериментальное подтверждение на БАКе — триумф человеческого разума.

3. Второй закон Ньютона: F = ma
Что он значит: Сила, действующая на тело, равна произведению его массы на ускорение.
Почему это красиво: Гениальная простота. Это основа всей классической механики. От полёта ракет до качения мяча — всё описывается этим лаконичным уравнением. Оно научило нас предсказывать движение.

4. Уравнения Максвелла:
∇·E = ρ/ε₀, ∇×E = -∂B/∂t, ∇·B = 0, ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t
Что они значат: Эти четыре уравнения — полное описание всего электричества и магнетизма. Они объединили их в единое явление — электромагнетизм.
Почему это красиво: Из них, как следствие, вытекает существование электромагнитных волн (свет, радиоволны, рентген). Мы поняли, что свет — это и есть колебания электромагнитного поля. Фундамент современной цивилизации.

5. Уравнение Шрёдингера: iℏ ∂/∂t |Ψ> = Ĥ |Ψ>
Что оно значит: Оно описывает, как со временем изменяется квантовая состояние частицы (волновая функция Ψ).
Почему это красиво: Это сердце квантовой механики. Оно отбросило детерминизм Ньютона и ввело нас в мир вероятностей и фундаментальной неопределённости. Мир на самом маленьком уровне устроен именно так, как диктует это уравнение.

Эти уравнения — не просто символы на доске. Это архитектура нашей реальности. Они — доказательство того, что человеческий разум способен постигать самые сокровенные секреты Вселенной. ✨

А какое уравнение нравится больше всего вам? Какое самое сложное для вас? #science #physics #физика #опыты #наука #квантовая_физика #квантовая_механика #эксперименты

💡 Physics.Math.Code // @physics_lib