Эти системы применяются в разработке игр, криптографии, биологии, моделировании физических процессов и даже поведения людей. И, конечно, они красивы с точки зрения математики.

Волшебник А: «У меня положительное целое число детей. Их возрасты — положительные целые числа. Сумма возрастов равна номеру автобуса, на котором мы едем, а произведение возрастов — это мой собственный возраст».

Волшебник B: «Как интересно! Может быть, если бы вы сказали мне ваш возраст и количество детей, я смог бы выяснить их индивидуальные возрасты?»

Волшебник А: «Нет».

Волшебник B: «Ага! Наконец-то я знаю, сколько вам лет!»

Волшебник B изначально знает только, что сумма равна S. Когда он спрашивает про возраст волшебника А (P) и число его детей (k), он подразумевает, что пара (P, k) однозначно определяет разбиение суммы S на k положительных целых частей.

Волшебник А отвечает: «Нет». Значит, для реальной пары (P, k), соответствующей словам А, существует более одного набора k положительных целых чисел с суммой S и произведением P. Другими словами, даже зная P и k, возраста детей всё ещё неоднозначны.

среди всех возможных разбиений суммы S на положительные целые с разными произведениями ровно одно произведение P даёт такую «внутреннюю» неоднозначность по числу детей.

То есть ровно один P для данного S имеет свойство: «существует хотя бы два разных разбиения с той же парой (P, k)». Тогда волшебник B, зная только S и услышав «Нет», может однозначно выбрать это единственное P.

Перебирая возможные суммы, видно, что единственная сумма S, для которой существует ровно одно произведение P, дающее описанную неоднозначность, — это 12. Для S = 12 есть ровно одно проблемное произведение P = 48 с k = 4, потому что:

Два разных набора из 4 положительных целых чисел, сумма которых 12, дают одинаковое произведение 48:

🔸1, 3, 4, 4 (сумма 1 + 3 + 4 + 4 = 12, произведение 1 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 4 = 48)
🔸2, 2, 2, 6 (сумма 2 + 2 + 2 + 6 = 12, произведение 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 6 = 48).