فضا ۱
+ می‌دانی فضا چی ه؟
* نه، ولی دو تا تعریف برای ش شنیده ام. تعریف اول این ه که فضا صرفا ابزاری ه که ما برای توصیف فاصله‌ی نسبی چیزها از هم به کار می‌بریم. مثلا بگوییم که فاصله‌ی بین من و تو، کم‌تر یا بیش‌تر از فاصله‌ی آن دو تا درخت از هم ه.
+ چه طوری فاصله‌ها را با هم مقایسه می‌کنی؟
* آنها را اندازه می‌گیرم. تبدیل شان می‌کنم به عدد و عددها را با هم مقایسه می‌کنم.
+ خب. چه طوری فاصله‌ها را اندازه می‌گیری؟
* از خود م می‌پرسم که بین ما دو نفر چند تا از این صندلی‌ها جا می‌شود و بین آن دو درخت چند تا.
+ آن وقت با چه قاعده‌ای صندلی‌ها را بین ما می‌چینی؟
* منظور ت چی ه؟
+ فرض کن من و تو جایی که هستیم را روی زمین علامت بزنیم و بعد من بیایم تا به کمک ت صندلی‌ها را بچینیم. اولین صندلی را می‌گذاریم جایی که تو ایستاده بودی. و بعد؟ صندلی دوم را کجا می‌گذاریم؟
* تو باید مسیری را که به سمت من می‌آیی روی زمین علامت بزنی تا ما صندلی‌ها را روی همان مسیر بچینیم.
+ ولی ممکن ه من از هر مسیری به سمت تو بیایم. مثلا اول بروم جایی و از آن‌جا برگردم به طرف تو.
* درست ه. چاره‌ای نداریم جز این که بارها و بارها آزمایش کنیم. تو هر بار مسیری را انتخاب می‌کنی و ما روی آن مسیر صندلی می‌گذاریم. در بعضی از مسیرها تعداد کم‌تر و در بعضی از مسیرها تعداد بیش‌تری صندلی لازم ه. فاصله‌ی بین من و تو می‌شود تعداد صندلی‌ها، در آن مسیری که کم‌ترین تعداد صندلی را به کار برده‌ایم. اسم آن مسیر را هم می‌گذاریم خط راست یا ژئودزیک.
+ چی؟
* ژئودزیک. اسم فنی ش ه. توی این مسئله‌ی ما معادل کوتاه‌ترین مسیر ه. یعنی مسیری که کم‌ترین تعداد صندلی را به فاصله‌ی من و تو نسبت می‌دهد.
+ تعریف عالمانه‌ای ه ولی به درد نمی‌خورد! چون هیچ وقت نمی‌دانی که ژئودزیک را پیدا کرده‌ای یا نه؛ در عمل که نمی‌توانی همه‌ی مسیرها را انتخاب کنی! حتی نمی‌دانی که ژئودزیکی وجود دارد یا نه. یا اگر هست فقط یکی هست یا چند تا.
* من نکته‌ی اول ت را می‌فهمم. تعداد آزمایش‌های لازم برای پیدا کردن کوتاه‌ترین مسیر عملا بی‌شمار ه. باید هر جور مسیری که بین ما دو نفر رسم می‌شود را در نظر بگیریم و روی همه‌ی آنها صندلی بچینیم. روشن ه که این کار شدنی نیست. اما بقیه‌ی حرف ت را نفهمیدم. مگر ممکن ه که بین دو نقطه هیچ ژئودزیکی وجود نداشته باشد؟
+ منطقا که محال نیست. برای پیدا کردن ژئودزیک، باید کوتاه‌ترین مسیر را پیدا کنیم. فرض کن که می‌خواستی کوچک‌ترین عدد مثبت را پیدا کنی. صفر از همه‌ی عددهای مثبت کوچک‌تر است اما خود ش مثبت نیست. پس باید اولین عدد بزرگ‌تر از صفر را تعیین کنی. چنین عددی وجود ندارد.
* جالب ه! و چرا ممکن ه بیش‌تر از یک ژئودزیک وجود داشته باشد؟
+ چون طول همه‌ی نصف‌النهارهای زمین، دست کم روی کره‌ی جغرافیایی، با هم برابر ه و در نتیجه بی‌شمار ژئودزیک هست که شمالگان و جنوبگان را به هم وصل کند.
* درست ه. ولی اگر می‌خواستیم که روی کره‌ی جغرافیایی، کوتاه‌ترین مسیر بین قطب شمال و مثلا اصفهان را پیدا کنیم، فقط یک جواب داشت و آن هم نصف‌النهاری بود که از اصفهان می‌گذشت. برای هر شهر دیگری هم همین‌طور بود. اما همه‌ی نصف‌النهارها به قطب جنوب ختم می‌شوند. چون نصف‌النهار، دایره‌ی عظیمه‌ای ه که از قطب‌ها می‌گذرد. می‌خواهم بگویم که قطب جنوب در نسبت با قطب شمال، جای خاصی ه و این وضعیتی که درباره ش صحبت می‌کنی، احتمالا نادر ه.
+ می‌دانی فضا چی ه؟
* نه، ولی دو تا تعریف برای ش شنیده ام. تعریف اول این ه که فضا صرفا ابزاری ه که ما برای توصیف فاصله‌ی نسبی چیزها از هم به کار می‌بریم. مثلا بگوییم که فاصله‌ی بین من و تو، کم‌تر یا بیش‌تر از فاصله‌ی آن دو تا درخت از هم ه.
+ چه طوری فاصله‌ها را با هم مقایسه می‌کنی؟
* آنها را اندازه می‌گیرم. تبدیل شان می‌کنم به عدد و عددها را با هم مقایسه می‌کنم.
+ خب. چه طوری فاصله‌ها را اندازه می‌گیری؟
* از خود م می‌پرسم که بین ما دو نفر چند تا از این صندلی‌ها جا می‌شود و بین آن دو درخت چند تا.
+ آن وقت با چه قاعده‌ای صندلی‌ها را بین ما می‌چینی؟
* منظور ت چی ه؟
+ فرض کن من و تو جایی که هستیم را روی زمین علامت بزنیم و بعد من بیایم تا به کمک ت صندلی‌ها را بچینیم. اولین صندلی را می‌گذاریم جایی که تو ایستاده بودی. و بعد؟ صندلی دوم را کجا می‌گذاریم؟
* تو باید مسیری را که به سمت من می‌آیی روی زمین علامت بزنی تا ما صندلی‌ها را روی همان مسیر بچینیم.
+ ولی ممکن ه من از هر مسیری به سمت تو بیایم. مثلا اول بروم جایی و از آن‌جا برگردم به طرف تو.
* درست ه. چاره‌ای نداریم جز این که بارها و بارها آزمایش کنیم. تو هر بار مسیری را انتخاب می‌کنی و ما روی آن مسیر صندلی می‌گذاریم. در بعضی از مسیرها تعداد کم‌تر و در بعضی از مسیرها تعداد بیش‌تری صندلی لازم ه. فاصله‌ی بین من و تو می‌شود تعداد صندلی‌ها، در آن مسیری که کم‌ترین تعداد صندلی را به کار برده‌ایم. اسم آن مسیر را هم می‌گذاریم خط راست یا ژئودزیک.
+ چی؟
* ژئودزیک. اسم فنی ش ه. توی این مسئله‌ی ما معادل کوتاه‌ترین مسیر ه. یعنی مسیری که کم‌ترین تعداد صندلی را به فاصله‌ی من و تو نسبت می‌دهد.
+ تعریف عالمانه‌ای ه ولی به درد نمی‌خورد! چون هیچ وقت نمی‌دانی که ژئودزیک را پیدا کرده‌ای یا نه؛ در عمل که نمی‌توانی همه‌ی مسیرها را انتخاب کنی! حتی نمی‌دانی که ژئودزیکی وجود دارد یا نه. یا اگر هست فقط یکی هست یا چند تا.
* من نکته‌ی اول ت را می‌فهمم. تعداد آزمایش‌های لازم برای پیدا کردن کوتاه‌ترین مسیر عملا بی‌شمار ه. باید هر جور مسیری که بین ما دو نفر رسم می‌شود را در نظر بگیریم و روی همه‌ی آنها صندلی بچینیم. روشن ه که این کار شدنی نیست. اما بقیه‌ی حرف ت را نفهمیدم. مگر ممکن ه که بین دو نقطه هیچ ژئودزیکی وجود نداشته باشد؟
+ منطقا که محال نیست. برای پیدا کردن ژئودزیک، باید کوتاه‌ترین مسیر را پیدا کنیم. فرض کن که می‌خواستی کوچک‌ترین عدد مثبت را پیدا کنی. صفر از همه‌ی عددهای مثبت کوچک‌تر است اما خود ش مثبت نیست. پس باید اولین عدد بزرگ‌تر از صفر را تعیین کنی. چنین عددی وجود ندارد.
* جالب ه! و چرا ممکن ه بیش‌تر از یک ژئودزیک وجود داشته باشد؟
+ چون طول همه‌ی نصف‌النهارهای زمین، دست کم روی کره‌ی جغرافیایی، با هم برابر ه و در نتیجه بی‌شمار ژئودزیک هست که شمالگان و جنوبگان را به هم وصل کند.
* درست ه. ولی اگر می‌خواستیم که روی کره‌ی جغرافیایی، کوتاه‌ترین مسیر بین قطب شمال و مثلا اصفهان را پیدا کنیم، فقط یک جواب داشت و آن هم نصف‌النهاری بود که از اصفهان می‌گذشت. برای هر شهر دیگری هم همین‌طور بود. اما همه‌ی نصف‌النهارها به قطب جنوب ختم می‌شوند. چون نصف‌النهار، دایره‌ی عظیمه‌ای ه که از قطب‌ها می‌گذرد. می‌خواهم بگویم که قطب جنوب در نسبت با قطب شمال، جای خاصی ه و این وضعیتی که درباره ش صحبت می‌کنی، احتمالا نادر ه.
فضا ۲
+ چه‌طوری باید کوتاه‌ترین مسیر بین دو تا درخت را پیدا کنیم؟
* راه عملی نمی‌شناسم. چون واقعا نمی‌شود بی‌شمار مسیر ممکن را بسنجیم. باید چیزی به بحث اضافه کنیم. چیزی مثل اصل فرما یا اصل نسبیت گالیله. بپذیریم که پرتو نوری که از یکی از درخت‌ها به دیگری می‌تابد از کوتاه‌ترین مسیر بین آنها رد می‌شود.
+ و نپرسیم نور چراغ از کجا می‌داند که به کدام طرف برود؟
* نه! یا از اصل گالیله استفاده کنیم که می‌گوید اگر سنگی را پرتاب کنیم، روی خط راست می‌رود.
+ جاذبه‌ی زمین را نادیده می‌گیری؟
* بله. در واقع تغییر ارتفاع سنگ را نادیده می‌گیرم. مثلا فرض می‌کنم که آزمایش را سر ظهر انجام می‌دهیم؛ سایه‌ی سنگ روی زمین به خط راست می‌رود.
+ و باز هم از خود ت نمی‌پرسی که قلوه سنگ، جواب مسئله‌ای که تو با همه‌ی سواد فنی ت نمی‌دانی را از کجا می‌داند.
* نه. نمی‌پرسم. و نمی‌پرسم که چرا کوتاه‌ترین مسیر از این درخت تا آن درخت، همان کوتاه‌ترین مسیر از آن درخت به این درخت ه!
+ شاید با این روش‌ها بتوانی کوتاه‌ترین مسیر بین آن دو تا درخت را پیدا کنی اما هیچ کدام آنها به کار تعیین کوتاه‌ترین فاصله‌ی بین دو تا شهر نمی‌آید.
* چرا؟
چون عملا ممکن نیست.
* چرا ممکن نیست؟ می‌ایستم رو به سمت آن شهر. یک سنگ را با همه‌ی توان م پرت می‌کنم. بالاخره جایی می‌خورد زمین. از همان جا بر ش می‌دارم و دوباره به سمت شهر پرت می‌کنم.
+ دو بار گفتی به سمت شهر پرت ش می‌کنم. اما از کجا بدانی که سنگ را به کدام طرف پرتاب کنی؟ این کار مثل چیدن صندلی روی مسیرهای دل‌بخواهی بین دو درخت ه. هر بار که سنگ را پرت می‌کنی مثل گذاشتن یک صندلی ه. و از هر طرف هم که تصمیم بگیری دوباره پرت ش کنی، مثل این ه که تصمیم بگیری صندلی دوم را کدام طرف صندلی اول بگذاری.
* نمی‌دانم چه بگویم.
+ تو که حاضر ای اصل فرما و اصل گالیله را بپذیری، چرا اصول هندسه‌ی اقلیدسی را نمی‌پذیری؟
* چون همه جا برقرار نیست. مثلا به کار تعیین فاصله‌ی بین دو شهر نمی‌آید. اگر بخواهم با نسخه‌ی اقلیدس کوتاه‌ترین فاصله‌ی بین دو شهر را طی کنم باید تونلی از دل زمین بکنم که دو تا شهر را به هم وصل کند. روی کره‌ی جغرافیایی، کوتاه‌ترین فاصله‌ی بین دو تا شهر با دایره‌ی عظیمه‌ای که آن دو تا شهر را به هم وصل می‌کند داده می‌شود. دایره‌ی عظیمه، ربطی به خط راست اقلیدسی ندارد.
+ خب چرا از نقشه‌ی جغرافیایی استفاده نکنی؟ با خط‌کش یک خط راست روی نقشه بکش و طول ش را اندازه بگیر.
* اگر زمین تخت بود، آن وقت این روش تو به کار می‌آمد. ولی زمین که تخت نیست. با تقریب خوبی شبیه به کره است.
+ از کجا می‌دانی؟
* از آزمایش ابوریحان. از دریانوردی. از عکس‌های ماهواره‌ای.
+ آهان. پس باید از جای دیگری می‌دانستی که از چه هندسه‌ای استفاده کنی.
* درست ه. ولی اگر نمی‌دانستم هم می‌توانستم اصول هندسه را حدس بزنم. بعد با کمک اصل فرما و اصل گالیله، درستی حدس م را بسنجم.
+ به شرط آن که به درستی خود آن دو تا اصل شک نکنی.
* البته.
+ خود این کار شبیه به چیدن صندلی روی همه‌ی مسیرهای ممکن نیست؟
* چرا؟
+ چون فکر نکنم که تعداد هندسه‌هایی که بتوانی با حدس و گمان بسازی محدود باشد.
* نه نیست.
پس؟
* نمی‌دانم.
+ چه‌طوری باید کوتاه‌ترین مسیر بین دو تا درخت را پیدا کنیم؟
* راه عملی نمی‌شناسم. چون واقعا نمی‌شود بی‌شمار مسیر ممکن را بسنجیم. باید چیزی به بحث اضافه کنیم. چیزی مثل اصل فرما یا اصل نسبیت گالیله. بپذیریم که پرتو نوری که از یکی از درخت‌ها به دیگری می‌تابد از کوتاه‌ترین مسیر بین آنها رد می‌شود.
+ و نپرسیم نور چراغ از کجا می‌داند که به کدام طرف برود؟
* نه! یا از اصل گالیله استفاده کنیم که می‌گوید اگر سنگی را پرتاب کنیم، روی خط راست می‌رود.
+ جاذبه‌ی زمین را نادیده می‌گیری؟
* بله. در واقع تغییر ارتفاع سنگ را نادیده می‌گیرم. مثلا فرض می‌کنم که آزمایش را سر ظهر انجام می‌دهیم؛ سایه‌ی سنگ روی زمین به خط راست می‌رود.
+ و باز هم از خود ت نمی‌پرسی که قلوه سنگ، جواب مسئله‌ای که تو با همه‌ی سواد فنی ت نمی‌دانی را از کجا می‌داند.
* نه. نمی‌پرسم. و نمی‌پرسم که چرا کوتاه‌ترین مسیر از این درخت تا آن درخت، همان کوتاه‌ترین مسیر از آن درخت به این درخت ه!
+ شاید با این روش‌ها بتوانی کوتاه‌ترین مسیر بین آن دو تا درخت را پیدا کنی اما هیچ کدام آنها به کار تعیین کوتاه‌ترین فاصله‌ی بین دو تا شهر نمی‌آید.
* چرا؟
چون عملا ممکن نیست.
* چرا ممکن نیست؟ می‌ایستم رو به سمت آن شهر. یک سنگ را با همه‌ی توان م پرت می‌کنم. بالاخره جایی می‌خورد زمین. از همان جا بر ش می‌دارم و دوباره به سمت شهر پرت می‌کنم.
+ دو بار گفتی به سمت شهر پرت ش می‌کنم. اما از کجا بدانی که سنگ را به کدام طرف پرتاب کنی؟ این کار مثل چیدن صندلی روی مسیرهای دل‌بخواهی بین دو درخت ه. هر بار که سنگ را پرت می‌کنی مثل گذاشتن یک صندلی ه. و از هر طرف هم که تصمیم بگیری دوباره پرت ش کنی، مثل این ه که تصمیم بگیری صندلی دوم را کدام طرف صندلی اول بگذاری.
* نمی‌دانم چه بگویم.
+ تو که حاضر ای اصل فرما و اصل گالیله را بپذیری، چرا اصول هندسه‌ی اقلیدسی را نمی‌پذیری؟
* چون همه جا برقرار نیست. مثلا به کار تعیین فاصله‌ی بین دو شهر نمی‌آید. اگر بخواهم با نسخه‌ی اقلیدس کوتاه‌ترین فاصله‌ی بین دو شهر را طی کنم باید تونلی از دل زمین بکنم که دو تا شهر را به هم وصل کند. روی کره‌ی جغرافیایی، کوتاه‌ترین فاصله‌ی بین دو تا شهر با دایره‌ی عظیمه‌ای که آن دو تا شهر را به هم وصل می‌کند داده می‌شود. دایره‌ی عظیمه، ربطی به خط راست اقلیدسی ندارد.
+ خب چرا از نقشه‌ی جغرافیایی استفاده نکنی؟ با خط‌کش یک خط راست روی نقشه بکش و طول ش را اندازه بگیر.
* اگر زمین تخت بود، آن وقت این روش تو به کار می‌آمد. ولی زمین که تخت نیست. با تقریب خوبی شبیه به کره است.
+ از کجا می‌دانی؟
* از آزمایش ابوریحان. از دریانوردی. از عکس‌های ماهواره‌ای.
+ آهان. پس باید از جای دیگری می‌دانستی که از چه هندسه‌ای استفاده کنی.
* درست ه. ولی اگر نمی‌دانستم هم می‌توانستم اصول هندسه را حدس بزنم. بعد با کمک اصل فرما و اصل گالیله، درستی حدس م را بسنجم.
+ به شرط آن که به درستی خود آن دو تا اصل شک نکنی.
* البته.
+ خود این کار شبیه به چیدن صندلی روی همه‌ی مسیرهای ممکن نیست؟
* چرا؟
+ چون فکر نکنم که تعداد هندسه‌هایی که بتوانی با حدس و گمان بسازی محدود باشد.
* نه نیست.
پس؟
* نمی‌دانم.
Wikipedia
Al-Biruni
11th-century Persian scholar and polymath (973–1048)