سلام دوستان!
به جهت ایجاد انگیزه‌ی بیشتر در دنبال کردن موضوعاتی که در این دوره درباره‌ی آن‌ها بحث می‌کنیم از این به بعد هر از گاهی مقاله‌ای مقدماتی و توضیحی معرفی می‌کنیم که برای اکثریت مخاطبانمان دسترس‌پذیر باشد. هدف٬ معرفی گوشه‌هایی جذاب در این حوزه است که در این دوره می‌کوشیم مقدمات بحث دقیق درباره‌ی آن‌ها را فراهم کنیم.
به جهت ایجاد انگیزه‌ی بیشتر در دنبال کردن موضوعاتی که در این دوره درباره‌ی آن‌ها بحث می‌کنیم از این به بعد هر از گاهی مقاله‌ای مقدماتی و توضیحی معرفی می‌کنیم که برای اکثریت مخاطبانمان دسترس‌پذیر باشد. هدف٬ معرفی گوشه‌هایی جذاب در این حوزه است که در این دوره می‌کوشیم مقدمات بحث دقیق درباره‌ی آن‌ها را فراهم کنیم.
کانال ریاضیات ساختارگرایانه pinned «سلام دوستان! به جهت ایجاد انگیزه‌ی بیشتر در دنبال کردن موضوعاتی که در این دوره درباره‌ی آن‌ها بحث می‌کنیم از این به بعد هر از گاهی مقاله‌ای مقدماتی و توضیحی معرفی می‌کنیم که برای اکثریت مخاطبانمان دسترس‌پذیر باشد. هدف٬ معرفی گوشه‌هایی جذاب در این حوزه است…»
SYNTHETIC DIFFERENTIAL GEOMETR.pdf
169.2 KB
آیا ممکن است به نحوی معنی‌دار آنالیز را بر اعداد حقیقی‌ای استوار کرد که در آن اعداد "مثبت" و بینهایت کوچکی وجود دارند که مربع آن‌ها نه تنها کوچک بلکه دقيقا صفر است؟ #معرفی‌مقاله
کانال ریاضیات ساختارگرایانه
SYNTHETIC DIFFERENTIAL GEOMETR.pdf
برای کسانی که با آنالیز نااستاندارد آشنایی دارند خوب است تاکید کنیم که از چیزی ورای آنالیز نااستاندارد حرف می‌زنیم.
کانال ریاضیات ساختارگرایانه
SYNTHETIC DIFFERENTIAL GEOMETR.pdf
جواب این سوال بستگی داره به منطق زمینه‌ای که ریاضیاتمون ازش استفاده می‌کنه. بذارین یه کوچیک توضیح بدم چطور.
در سناریوی اول، اگر مثلا به واقع‌گرایی افلاطونی معتقد باشیم که درش جهان ریاضی مستقل از ما وجود داره، لاجرم منطق استدلال‌های ما منطق کلاسیک خواهد بود که درش هر گزاره‌ای مستقل از ما و شناختمون یا درسته یا غلط. در چنین دنیایی وجود چنین عدد حقیقی‌ای غیرممکنه. (در چند صفحه‌ی اول مقاله می‌تونین ببینین چرا). این چیزیه که انتظارش رو هم داریم که نشه آنالیز به این تمیزی رو بدون هیچ هزینه‌ای توسعه داد.
اما حالا سناریوی دوم. اگر به جای واقع‌گرایی افلاطونی به ضدواقع‌گرایی شهودگرایانه اعتقاد داشته باشیم که درش ریاضیات تنها قصه‌ایه که ذهن ما داره تعریف می‌کنه و اشیا و روابطش اون‌هایین که تا این لحظه در قصه‌مون ساخته شدن، اون وقت منطق ما محدود می‌شه به منطق شهودگرایانه که از منطق کلاسیک ضعیف‌تره و مثلا اصل طرد شق ثالث (یا A یا نقیض A) رو قبول نداره چون دلیلی نداره که هر حکمی یا در قصه‌ی ما ذکر شده باشه یا با قصه‌مون در تضاد باشه. در چنین ریاضیاتی اما، چنین آنالیزی که مبناش این بینهایت کوچک‌هان کاملا ممکنه. دقیق‌تر این که این نظریه سازگاره و مدل‌های ملموس چنین آنالیزی رو باید در نظریه‌ی توپوس جستجو کرد.
ممکنه پیش خودتون بگین این که ما از فلسفه‌های دست‌بازتر و منطق‌های قوی‌تری استفاده کنیم در نهایت توان ما رو بیشتر می‌کنن و هر کس در بین احکام اثبات شده می‌تونه احکام و دنیای ضعیف‌تر خودشو پیدا کنه. این مثال نشون می‌ده کار به این سادگی‌ها هم نیست. نکته اینه که وقتی از فلسفه‌ی دست‌بازتری مثل واقع‌گرایی استفاده می‌کنین فقط این طور نیست که نتایج بیشتری می‌گیرین. گاهی امکاناتی که می‌تونستین داشته باشین رو به خاطر توان بیشتر و قدرت تفکیک کمتر کاملا از بین می‌برین. فلسفه و منطقی که مبانی رو تشکیل می‌دن برعکس چیزی که به نظر می‌رسه فقط ابزار دقت زیاد و وسواس‌گونه یا اموری مطلقا تزیینی نیستن. این‌ها جزئیات بی‌ربطی نیستن که فقط در مبانی ریاضیات پیدا می‌شن. مساله اینه که اونی که امروز در مبانی می‌کارین همون‌جا حبس نمی‌شه و دیر یا زود به جای‌جای ریاضیات روزمره هم نشت می‌کنه.
در سناریوی اول، اگر مثلا به واقع‌گرایی افلاطونی معتقد باشیم که درش جهان ریاضی مستقل از ما وجود داره، لاجرم منطق استدلال‌های ما منطق کلاسیک خواهد بود که درش هر گزاره‌ای مستقل از ما و شناختمون یا درسته یا غلط. در چنین دنیایی وجود چنین عدد حقیقی‌ای غیرممکنه. (در چند صفحه‌ی اول مقاله می‌تونین ببینین چرا). این چیزیه که انتظارش رو هم داریم که نشه آنالیز به این تمیزی رو بدون هیچ هزینه‌ای توسعه داد.
اما حالا سناریوی دوم. اگر به جای واقع‌گرایی افلاطونی به ضدواقع‌گرایی شهودگرایانه اعتقاد داشته باشیم که درش ریاضیات تنها قصه‌ایه که ذهن ما داره تعریف می‌کنه و اشیا و روابطش اون‌هایین که تا این لحظه در قصه‌مون ساخته شدن، اون وقت منطق ما محدود می‌شه به منطق شهودگرایانه که از منطق کلاسیک ضعیف‌تره و مثلا اصل طرد شق ثالث (یا A یا نقیض A) رو قبول نداره چون دلیلی نداره که هر حکمی یا در قصه‌ی ما ذکر شده باشه یا با قصه‌مون در تضاد باشه. در چنین ریاضیاتی اما، چنین آنالیزی که مبناش این بینهایت کوچک‌هان کاملا ممکنه. دقیق‌تر این که این نظریه سازگاره و مدل‌های ملموس چنین آنالیزی رو باید در نظریه‌ی توپوس جستجو کرد.
ممکنه پیش خودتون بگین این که ما از فلسفه‌های دست‌بازتر و منطق‌های قوی‌تری استفاده کنیم در نهایت توان ما رو بیشتر می‌کنن و هر کس در بین احکام اثبات شده می‌تونه احکام و دنیای ضعیف‌تر خودشو پیدا کنه. این مثال نشون می‌ده کار به این سادگی‌ها هم نیست. نکته اینه که وقتی از فلسفه‌ی دست‌بازتری مثل واقع‌گرایی استفاده می‌کنین فقط این طور نیست که نتایج بیشتری می‌گیرین. گاهی امکاناتی که می‌تونستین داشته باشین رو به خاطر توان بیشتر و قدرت تفکیک کمتر کاملا از بین می‌برین. فلسفه و منطقی که مبانی رو تشکیل می‌دن برعکس چیزی که به نظر می‌رسه فقط ابزار دقت زیاد و وسواس‌گونه یا اموری مطلقا تزیینی نیستن. این‌ها جزئیات بی‌ربطی نیستن که فقط در مبانی ریاضیات پیدا می‌شن. مساله اینه که اونی که امروز در مبانی می‌کارین همون‌جا حبس نمی‌شه و دیر یا زود به جای‌جای ریاضیات روزمره هم نشت می‌کنه.
Forwarded from انجمن منطق ایران
انجمن منطق ایران
نخستین مدرسه‌ی سالانه‌ی انجمن منطق. https://ialogic.ir @IranLogic
دوستان عزیز علاقمند به منطق و علوم نظری کامپیوتر٬ برای ثبت‌نام در اولین مدرسه‌ی بهاره‌ی منطق به این آدرس مراجعه کرده فرم مشخص شده را پر کنید.
Google Docs
First Annual Spring School of the Iranian Association for Logic
Date: May 17th-21st, 2021