Сделал подборку фактов про одну точку без названия (тут все что вспомнил/придумал, если какой то факт забыл напишите в лс я добавлю).
👍5❤🔥2
Довольно интересная конструкция, исследованная Милорадом Стевановичем. Все эти факты связанны с конструкцией инцентра треугольника BCI_A. Пока что я знаю только решения со счетом в синусах, однако предположу, что есть и без счета (особенно во второй, где эта точка является трилинейным полюсом прямой Монжа вписанных окружностей ABI, BCI, ACI)
Дан треугольник ABC, точки I_A, I_B, I_C - эксцентры, I - инцентр. I_1 - инцентр BCI_A, I_2, I_3 определяются аналогично.
1. Пусть BI_1 и AI_2 пересекаются в точке C'. Аналогично определим A' и B' Докажите, что AA', BB', CC' пересекаются в 1 точке.
2. Пусть II_3 пересекает AB в точке C' определим A' и B' аналогично. Докажите, что AA',BB', CC' пересекаются в 1 точке.
3. Пусть A', B', C' - инцентры BCI, ACI, ABI. I_1A' пересекает BC в точке A''. B'' и C'' определим аналогично. Докажите, что AA", BB'', CC'' пересекаются в 1 точке.
Дан треугольник ABC, точки I_A, I_B, I_C - эксцентры, I - инцентр. I_1 - инцентр BCI_A, I_2, I_3 определяются аналогично.
1. Пусть BI_1 и AI_2 пересекаются в точке C'. Аналогично определим A' и B' Докажите, что AA', BB', CC' пересекаются в 1 точке.
2. Пусть II_3 пересекает AB в точке C' определим A' и B' аналогично. Докажите, что AA',BB', CC' пересекаются в 1 точке.
3. Пусть A', B', C' - инцентры BCI, ACI, ABI. I_1A' пересекает BC в точке A''. B'' и C'' определим аналогично. Докажите, что AA", BB'', CC'' пересекаются в 1 точке.
👍3
Интересный факт, связанный с антигональным сопряжением .
Дан треугольник ABC. Коника описанная около него в четвертый раз пересекает описанную окружность в точке D. D' - диаметрально противоположна точке D в описанной окружности, а X - симметрична D относительно центра конике. Тогда ABCXD' - равнобокая гипербола.
Результат получен совместно с @SaikenQA , @YHome245
Дан треугольник ABC. Коника описанная около него в четвертый раз пересекает описанную окружность в точке D. D' - диаметрально противоположна точке D в описанной окружности, а X - симметрична D относительно центра конике. Тогда ABCXD' - равнобокая гипербола.
Результат получен совместно с @SaikenQA , @YHome245
❤🔥4
Ну и ещё вот такой фактик, довольно близкий к предыдущему. Доказывать мы его не умеем.
Дан треугольник ABC. P - произвольная точка на OI. P_A, P_B, P_C - отражения P относительно соответственных биссектрис. Q - изогонально сопряженная к P в ABC. Докажите, что Q лежит на гиперболе Жерабека (изогонально сопряженной к прямой эйлера) треугольника P_AP_BP_C.
Дан треугольник ABC. P - произвольная точка на OI. P_A, P_B, P_C - отражения P относительно соответственных биссектрис. Q - изогонально сопряженная к P в ABC. Докажите, что Q лежит на гиперболе Жерабека (изогонально сопряженной к прямой эйлера) треугольника P_AP_BP_C.
❤🔥7
Forwarded from Станислав Кузнецов
Действительно. Очевидно, PaPbPc, ABC ортолигичны (теорема и принцип карно, а также линейное уравнение OI). Если S точка пересечения перпендкуирлв из Pa, Pb, Pc на BC, CA, AB, то Pa, Pb, Pc, Q, S лежат на пр. гиперболе (известно). Ну то есть проверяем что S лежит на гиперболе Джарабека. Остаётся заметить что S, I антигонально сопряжены относителньо PaPbPc
🤯8