Сейчас, изучая разностный треугольник, нашел такую задачу:

Iran MO 2013:
Дан треугольник ABC, в котором M и N - середины дуг AB и BC, а M' и N' - точки касания вписанной. X и Y - проекции B на MM' и NN'. Докажите, что BXYI вписанный тогда и только тогда когда ABC - разностный (разностный треугольник это треугольник в котором AB+BC=2AC).

Листая forum geometrycorum обнаружил вот такое замечательное утверждение, которое там называют Теоремой Тебо. Решение предложенное к статье - счет в бариках, однако мы с @YHome245 обнаружили красивое геом решение, которым поделюсь в следующем посте.

Дан треугольник ABC. A_1, C_1 - основания высот. Докажите, что прямая эйлера A_1BC_1 проходит через центр гиперболы жерабека.

Уперся в лимит текста поэтому скинул в комменты

Продолжая листать forum geometrycorum я нашел вот это замечательное обобщение теоремы тебо. Идея вчерашнего решения работает и для него, но там получается более сложная лемма, её доказательство без движа я пока не придумал.

Пусть точки P и Q изогонально сопряжены в ABC, A_1,B_1,C_1 - основания высот, D - центр равнобокой гиперболы изогональной OP. O_B центр описанной BA_1C_1, P_B такая точка что P_BA_1C_1 подобен PAC. Тогда D лежит на прямой O_BP_B.

Просто пришло в голову по мотивам одного факта. Это известная штука.

И снова CRL

Классная задача про коники. Акопян геометрия в картинках 4.9.31

В шестиугольнике противоположные углы равны. Докажите, что прямые соединяющие середины противоположных сторон пересекаются в 1 точке.

Очередная красота на 18 точек от @YHome245. Как всегда решается через Cool Ratio Lemma.

Дан треугольник ABC. Прямая через точки касания вневписанной окружности с продолжениями AB и AC пересекает сторону BC в точке A_1. B_1 и C_1 определены аналогично. Произвольная прямая через A_1 пересекает вневписанную окружность в точках A_2 и A_3. B_2, B_3, С_2, С_3 определены аналогично. Докажите, что AA_2, BB_2, CC_2 пересекаются в 1 точке тогда и только тогда, когда AA_3, BB_3, CC_3 пересекаются в 1 точке.

Довольно добрая задача для своего номера. Олимпиада шарыгина 2014 9.4.

Ортоцентр H треугольника ABC лежит на вписанной в треугольник окружности. Докажите, что три окружности с центрами A, B, C, проходящие через H, имеют общую касательную.

Красивая, но простая задача.

В ряд лежат 20 шариков: 10 красных и 10 синих в некотором порядке. За один ход можно поменять местами два соседних шарика или два шарика лежащих через один. Докажите, что есть такое расположение шариков (тоже 10 красных и 10 синих в ряд некотором порядке), которое невозможно получить из исходного быстрее, чем за 25 ходов.

Относительно добрая задача с Кубка Колмогорова 2019.

Дан вписанный четырехугольник ABCD. Прямая, проходящая через точку D
параллельно прямой AC, пересекает лучи BA и BC в точках A0 и C0
соответственно. Луч CD вторично пересекает описанную окружность
треугольника A0CC0 в точке C1. Луч AD вторично пересекает описанную
окружность треугольника A0AC0 в точке A1. Докажите, что прямая A1C1 касается
окружности, описанной около
треугольника A0BC0.

Еще 2 задачи на CRL