Знаете ли вы какие то хорошие приложения для построения чертежей на телефоне кроме мобильной геогебры (которая откровенно так себе)?

Очень интересная лемма.

Поляры фиксированной точки относительно коник одного пучка пересекаются в одной точке.

Ну а теперь вот такое невероятно красивое применение этой леммы для доказательства существования изогонально сопряженной точки, которое придумал @bilka_dibilka, а рассказал мне @Savva694.

3 коники на рисунке - пары прямых одного цвета - биссектрисы углов треугольника - α, β, γ.

наблюдение: α, β, γ лежат в одном пучке коник, т.к. имеют 4 общие точки

что такое поляра точки P относительно α? Это гмт таких точек X, что (P, X, Y, Z) = -1, где PX пересекает α в Z и Y. Но т.к. α - пара перпендикулярных прямых, то гмт(X) - прямая симметричная AP относительно биссектрисы угла BAC, т.е. это поляра P относительно α.

а значит по лемме о полярах относительно пучка коник все 3 изогонально сопряженные прямые пересекаются в одной точке Q

Странно, что я раньше не знал этот факт.

Интересный файлик про конструкцию выше.
Файликом поделился @AlanZar07

Поделюсь интересным доказательством, того что медианы пересекаются в 1 точке методом спуска, которое 2 года назад придумали мы с @sayheykid.

Рассмотрим треугольник ABC, с площадью S. Пусть середины сторон этого треугольника: A_1, B_1, C_1. Предположим, что медианы не пересекаются в 1 точке, тогда они образуют треугольник с площадью T. Но заметим, что медианы исходного треугольника содержат медианы половинного. Тогда перейдем от исходного треугольника к половинному. Площадь треугольника при этом уменьшилась в 4 раза, а площадь треугольника на мединанах не изменилась. Продолжая такой процесс получим треугольник, площадь которого меньше площади его треугольника на медианах. Но медианы находятся целиком внутри треугольника, следовательно и точки пересечения медиан так же находятся внутри треугольника. Но тогда треугольник содержится внутри треугольника меньшей площади, а такое не возможно.

Еще одно экзотическое доказательство, которое если я не ошибаюсь придумал И. С. Рубанов. Доказательство того, что серперы пересекаются в 1 точке при помощи принципа Дирихле:


«Очевидно, они не могут быть параллельными. Допустим, они не пересекаются в одной точке. Тогда они делят плоскость на 7 частей, в каждой из которых своё упорядочение расстояний от точки, принадлежащей этой части, до вершин треугольника (если две точки в разных частях, то они отличаются порядком расстояний до двух вершин треугольника, задающих разделяющий эти точки серпер). Но возможных упорядочений трёх величин только шесть. Противоречие.»

Задача, которая гораздо проще чем кажется с первого взгляда. 9.3 с олимпиады Шарыгина.

P,P' и Q,Q' - пары изогонально сопряженных точек в треугольнике ABC. PQ и P'Q' пересекаются в точке R. Докажите, что педальные окружности P,Q,R соосны.

По мотивам одного из упражнений из проекта ЛКТГ про точку Шиффлера.

Пусть точки P и P' изогонально сопряжены в треугольнике ABC. Пусть PI_A пересекает BC A_1, аналогично определим точки B_1, C_1. Тогда AA_1, BB_1, CC_1 пересекаются в 1 точке на прямой PP'

Проект ЛКТГ по точке Шиффлера официально завершился, так что выкладываю решения первых 4 частей, которые мы писали с @alexanderrou, @claws0n, @nectookstr

А, да в первом допе лажа в первом положении, но его можно заменить на положение, где T на описанной

Источник: USAMO 2023, P6

Точка D выбрана на (ABC) произвольным образом (при этом не лежит на прямых II_a, I_bI_c, BC), (I_bI_cD) и (II_aD) пересекаются в точках D и F, прямые DF и BC пересекаются в точке E. Тогда равны углы BAE и DAC.

Дан треугольник ABC. X, Y - на AB и AC соответственно. XY пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что середины XY, PQ, CX, BY на 1 окружности.

Дан треугольник ABC и прямая l, которая касается его описанной окружности. прямые полученные при отражении l относительно AB и AC пересекаются в точке A'. Аналогично получаются B' и C'. Докажите, что (ABC) касается (A'B'C').

Обобщение теоремы Менелая

a) кубика пересекает сторону AB треугольника ABC в точках C_1,C_2,C_3, сторону BC в точках A_1,A_2,A_3, сторону AC в точках B_1, B_2, B_3. Тогда AC_1/C_1B * AC_2/C_2B * AC_3/C_3B * BA_1/A_1C * BA_2/A_2C * BA_3/A_3C * CB_1/B_1A * CB_2/B_2A * CB_3/B_3A = 1

б) алгебраическая кривая степени d пересекает сторону AB треугольника ABC в точках C_1,...,C_d, сторону BC в точках A_1,...,A_d, сторону AC в точках B_1,...,B_d. Тогда AC_1/C_1B * ... * AC_d/C_dB * BA_1/A_1C * ... * BA_d/A_dC * CB_1/B_1A * ... * CB_d/B_dA = 1

Обобщение CRL

а) кубика пересекает окружность в точках A_1,.., A_6, а прямую в точках B_1, B_2, B_3. Тогда f(A_1)*... f(A_6) = f(B_1)*...*f(B_3).

б) алгебраическая кривая степени d пересекает окружность в точках A_1,..., A_2d, а прямую в B_1,..., B_d.
Тогда f(A_1)*...*f(A_2d)=f(B_1)*...*f(B_d)

Я уже постил эту задачу от @YHome245 как задачу на CRL. Но сегодня я осознал, что это сопряжение - обобщенное изогональное сопряжение относительно четверки из точки нагеля и вершин её античевианного треугольника (см. Проект ЛКТГ "Точка Шифлера" часть 5). Доказательство приложу в комментариях.


Дан треугольник ABC. Прямая через точки касания вневписанной окружности с продолжениями AB и AC пересекает сторону BC в точке A_1. B_1 и C_1 определены аналогично. Произвольная прямая через A_1 пересекает вневписанную окружность в точках A_2 и A_3. B_2, B_3, С_2, С_3 определены аналогично. Докажите, что AA_2, BB_2, CC_2 пересекаются в 1 точке тогда и только тогда, когда AA_3, BB_3, CC_3 пересекаются в 1 точке.

Ну и наконец Обобщение обоих предыдущих фактов, которое я смог выдвинуть лишь как гипотезу, однако благодаря @zl0deus_zley она теперь доказана.

Алгебраическая кривая степени d пересекает кубику в 3d точках. Тогда сумма этих 3d точек на кубике - 0.

Обобщение это потому, что Менелай задает структуру сложения точек на 3 прямых, а crl на прямая + окружность.

Произвольная окружность проходит через A, C и пересекает AH и CH в точках P и Q. M - середина дуги PQ. Доказать, что существует окружность, которая касается (ABH), (BCH), (ACPQ) и проходит через M.

Довольно добрая и красивая задача (теорема Велдкампа).

A', B', C' - отражения A, B, C относительно соответственных сторон. Тогда A'B'C' подобен педальному треугольнику центра окружности 9 точек.

Мало того они гомотетичны в центроиде с коэффициентом 4!