Разминка дня №11

Разминка дня №12

Разминка дня №13 (Одна из переформулировок P5 с олимпиады НИУ ВШЭ)

Разминка дня №14

Разминка дня №15:

Середина хорды PQ попала на окружность девяти точек ABC. Докажите, что окружности девяти точек APQ касаются фиксированной окружности (не зависящей от PQ).

Разминка дня №16:

Разминка №17(окружности Лукаса). Синие четырёхугольники - квадраты:

Разминка дня №18:

Разминка №19.

Дана пирамида PABC. H - основание перпендикуляра из P на (ABC). D,E,F - проекции H на PA, PB, PC соответственно. O - центр описанной окружности ABC. Докажите, что OH перпендикулярна прямой пересечения (ABC) и (DEF).

Прикольная задача к которой рисунок будет излишним.

Дан треугольник ABC и точка P на его описанной окружности. Докажите, что её триполяра, ортотрансверсаль и прямая Штейнера пересекаются в одной точке.

Разминка дня №20:

Должно быть баян, но админы не видели.

Разминка дня №21:

Разминка дня №22. Докажите, что PEQS гармонический.

Разминка дня №23:

Разминка дня №24

Разминка дня №25

Мы когда-нибудь планируем записать разбор разминок. Пока не знаем, будем ли мы разбирать их все или только избранные, но нам интересно услышать ваше мнение: разбор каких разминок вы хотели бы увидеть (напишите в комментариях номера)

Разминка дня №26 (теорема Харкута):

Дан треугольник ABC. Прямая l касается его вписанной окружности.
Докажите, что ax+by+cz=2S, где a, b, c - стороны треугольника, x, y, z - ориентированные расстояния от вершин до L ( положительно кода по ту де сторону, что и инцентр), а S - площадь треугольника.


На самом деле эта разминка тематическая, ведь сегодня день рождения Мёбиуса, который придумал барицентрические координаты. С их помощью эта задача решается довольно красиво.

Разминка дня №27:

В треугольнике AB+AC=3BC.
Докажите, что точка Нагеля лежит на вписанной окружности.

Разминка дня (простите) №28:
Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре (в котором все высоты пересекаются в одной точке) окружности девяти точек граней лежат на одной сфере