Регистрация: https://forms.yandex.ru/u/682a12ff5056901ef7ddae89/

25 мая в 12:00 будет закрыта регистрация на очный формат участия. Регистрация на заочный формат продлится до 12:00 1 июня

Вдогонку к посту Макса.

У двух треугольников ABC и DEF общая вписанная окружность. Докажите, что если D лежит на A полувписанной ABC, то A лежит на D полувписанной DEF.

Придумывал для дня кубик в @dailygeom, но что то забыл про неё.

P и Q изогонально сопряжены в исходном, а P и R в ортотреугольнике. Докажите, что если PQ проходит через ортоцентр, то PR проходит через центр описанной.

Друзья! Я готовлю для вас подборку фактов, связывающих замечательную точку X57 с другими центрами треугольника. В процессе сборки я придумал несложный, возможно, известный факт.

Докажите, что если перпендикуляры с основаниями в точках касания двух вневписанных окружностей со сторонами треугольника пересекаются на третей стороне, то X57 лежит на высоте, опущенной на ту третью сторону.

#авторская_задача

Сегодня обнаружил. Не знаю почему раньше не замечал.

Очень красиво. LMAO 2025 P3

Дан треугольник ABC. Окружность с центром в ортоцентре касается медианы AM и пересекает симмедиану AK в точках X и Y. Докажите, что или точка пересечения BX и CY, или точка пересечения BY и CX лежит на этой окружности.

Прикольная
спасибо за задачу @iceagekudzan

Красные точки изогонально сопряжены.
Подсказка: эта точка лежит на внешней биссектрисе.

Довольно добрая, но красиво.

В треугольнике ABC H - точка пересечения высот. E, F - середины BH и CH. O - центр описанной окружности. Оказалось, что HOEF - вписанный.

а) (Входная олимпиада уфимских сборов) Докажите, что описанная окружность HOEF касается описанной ABC
б) OH параллельно BC
с) Точка касания лежит на высоте из вершины A.

Вроде баян, а вроде нет
Красные окружности равны, зелёные отрезки параллельны.

Красные отрезки параллельны, одноцветные углы равны. Доказать равенство зелёных

Синие точки образуют гармонический четырёхугольник.

То, что кажется касанием - касание.
Красные точки изогонально сопряжены парами.
Докажите, что
а) прямые через соответсвенные красные точки пересекаются на сторонах
б) Синие прямые пересекаются в одной точке на описанной окружности

Красные точки изогонально сопряжены, окружность педальная.
По мотивам задачи с последнего колма

Синие прямые - биссектрисы

Обобщение задачи из @geom_mega. Красные точки X и X' инверсны относительно описанной окружности треугольника ABC. Зеленая гипербола изогональна прямой XX' Докажите, что гипербола XX'ABC проходит через изогональное сопряжение центра зеленой гиперболы.