Пока жду выпуска своей большой статьи по Mann-Whitney, я хочу поговорить о моем любимом понятии как ожидаемое значение, оно же expected value, E(X). Его я встречаю в разных областях математики, которыми интересуюсь: само собой в статистике, в теории принятия решений, теории игр и пр.
Его часто уравнивают со средним значением, но это не совсем корректно, хоть они оба и представляют собой меру центрально тенденции.
Дело даже не в том, что считаются они по-разному: E(X) через вероятность значения случайной величины, а среднее через сумму значений на кол-во значений. Пример: [1, 2, 3] Mean = (1+2+3)/3 = 2
E(X) = 1*P(1) + 2*P(2) + 3*P(3) Где каждую P мы считаем на основе частоты встречаемости элемента; для всех это P = 1/3, так как у нас каждое значение 1, 2 и 3 встречается по одному разу
Основное различие состоит в том, что E(X) является пределом, к которому сходится среднее в рамках заданной "системы".
1) Классический пример, кубик с 6-ю гранями, о котором заранее известно, что он честный, значит вероятность каждой стороны = 1/6. E(X) = 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6 = 3.5
Сделаем два броска: [1, 4] - среднее 2.5. Еще бросок: [1, 4, 6] - среднее 3.66. Если мы проведем еще серию бросков, желательно бесконечную)), то среднее будет стремится к 3.5 (картинку оставлю в комментариях)
2) Более наш пример, про данные: пускай у нас есть генеральная с mu=24. Возьмем выборку из n=2 без возвращения (забрали у генеральной и не вернули обратно): [21, 23] - среднее 22
Возьмем еще элемент: [21, 23, 26] - среднее 23.33
Если мы будем и далее выгребать всю генеральную до предела, что наша выборка станет самой генеральной, то среднее такой выборки сведется к mu=24.
Это же значение прям круто себя раскрывает, если знаешь вероятности успеха и неуспеха. - Например, выиграть в казино в рулетке, если делаешь ставку на конкретное поле, = 1/38, а проиграть = 37/38. Тебе обещают кратно увеличить твой рублик при выигрыше, пускай это будет 20р. Но если проиграешь, то минус рубль (-1р.) 20*1/38 + (-1)*37/38 = -0.44р. - интерпретируя, в долгосрок проиграешь. И это не так уж очевидно, не зная про вычисление E(X). - Или если принимаешь решения, с возможность хотя бы прикинуть их выгоду и стоимость. Например, сделать фичу, которая даст +2000; если не сделать - упущенная выгода (-2000): ->обратиться к подрядчику А -> успех P=0.8 -> стоимость (-1000) ->обратиться к подрядчику B -> успех P=0.7 -> стоимость (-700) E(A) = (2000-1000)*0.8+(-2000-1000)*0.2 = 200 E(B) = (2000-700)*0.7+(-2000-700)*0.3 = 100 Выбираем А, выгоднее.
Но проблема в том, что эти вероятности системы не даются вот так просто (откуда мы взяли вероятность успеха подрядчиков А и B?). Часто надо собирать статистику, определяя вероятность согласно частотному подходу: сколько успехов из стольки-то попыток. 7 из 10. И, конечно, это лишь та вероятность, которую мы смогли вычленить из доступных нам для наблюдения попыток. Те же 100 попыток могли показать нам 50 успехов, что не только отличается от 7/10, но и взвешеннее.
Поэтому E(X) является теоретическим понятием. И его активно используют в статистике, когда говорят, к чему сведется величина, например среднее выборочных средних больших выборок а-ля E(cр.X) = mu = 24. А среднее - эмпирическим понятием (на практике именно его и считаем), используемым для выборок.
Пока жду выпуска своей большой статьи по Mann-Whitney, я хочу поговорить о моем любимом понятии как ожидаемое значение, оно же expected value, E(X). Его я встречаю в разных областях математики, которыми интересуюсь: само собой в статистике, в теории принятия решений, теории игр и пр.
Его часто уравнивают со средним значением, но это не совсем корректно, хоть они оба и представляют собой меру центрально тенденции.
Дело даже не в том, что считаются они по-разному: E(X) через вероятность значения случайной величины, а среднее через сумму значений на кол-во значений. Пример: [1, 2, 3] Mean = (1+2+3)/3 = 2
E(X) = 1*P(1) + 2*P(2) + 3*P(3) Где каждую P мы считаем на основе частоты встречаемости элемента; для всех это P = 1/3, так как у нас каждое значение 1, 2 и 3 встречается по одному разу
Основное различие состоит в том, что E(X) является пределом, к которому сходится среднее в рамках заданной "системы".
1) Классический пример, кубик с 6-ю гранями, о котором заранее известно, что он честный, значит вероятность каждой стороны = 1/6. E(X) = 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6 = 3.5
Сделаем два броска: [1, 4] - среднее 2.5. Еще бросок: [1, 4, 6] - среднее 3.66. Если мы проведем еще серию бросков, желательно бесконечную)), то среднее будет стремится к 3.5 (картинку оставлю в комментариях)
2) Более наш пример, про данные: пускай у нас есть генеральная с mu=24. Возьмем выборку из n=2 без возвращения (забрали у генеральной и не вернули обратно): [21, 23] - среднее 22
Возьмем еще элемент: [21, 23, 26] - среднее 23.33
Если мы будем и далее выгребать всю генеральную до предела, что наша выборка станет самой генеральной, то среднее такой выборки сведется к mu=24.
Это же значение прям круто себя раскрывает, если знаешь вероятности успеха и неуспеха. - Например, выиграть в казино в рулетке, если делаешь ставку на конкретное поле, = 1/38, а проиграть = 37/38. Тебе обещают кратно увеличить твой рублик при выигрыше, пускай это будет 20р. Но если проиграешь, то минус рубль (-1р.) 20*1/38 + (-1)*37/38 = -0.44р. - интерпретируя, в долгосрок проиграешь. И это не так уж очевидно, не зная про вычисление E(X). - Или если принимаешь решения, с возможность хотя бы прикинуть их выгоду и стоимость. Например, сделать фичу, которая даст +2000; если не сделать - упущенная выгода (-2000): ->обратиться к подрядчику А -> успех P=0.8 -> стоимость (-1000) ->обратиться к подрядчику B -> успех P=0.7 -> стоимость (-700) E(A) = (2000-1000)*0.8+(-2000-1000)*0.2 = 200 E(B) = (2000-700)*0.7+(-2000-700)*0.3 = 100 Выбираем А, выгоднее.
Но проблема в том, что эти вероятности системы не даются вот так просто (откуда мы взяли вероятность успеха подрядчиков А и B?). Часто надо собирать статистику, определяя вероятность согласно частотному подходу: сколько успехов из стольки-то попыток. 7 из 10. И, конечно, это лишь та вероятность, которую мы смогли вычленить из доступных нам для наблюдения попыток. Те же 100 попыток могли показать нам 50 успехов, что не только отличается от 7/10, но и взвешеннее.
Поэтому E(X) является теоретическим понятием. И его активно используют в статистике, когда говорят, к чему сведется величина, например среднее выборочных средних больших выборок а-ля E(cр.X) = mu = 24. А среднее - эмпирическим понятием (на практике именно его и считаем), используемым для выборок.
Channel login must contain 5-32 characters On June 7, Perekopsky met with Brazilian President Jair Bolsonaro, an avid user of the platform. According to the firm's VP, the main subject of the meeting was "freedom of expression." Ng was convicted in April for conspiracy to incite a riot, public nuisance, arson, criminal damage, manufacturing of explosives, administering poison and wounding with intent to do grievous bodily harm between October 2019 and June 2020. The group also hosted discussions on committing arson, Judge Hui said, including setting roadblocks on fire, hurling petrol bombs at police stations and teaching people to make such weapons. The conversation linked to arson went on for two to three months, Hui said. With the “Bear Market Screaming Therapy Group,” we’ve now transcended language.
from us
