Публикуем задачи со студенческого межнара 👨‍🎓

Команда вышки достойно выступила на олимпиаде:

Александр Климчук 🥇
Герман Кузнецов 🥇
Даниил Солунов 🥈
Игорь Воротников 🥈
Михаил Евсеев 🥈
Константин Середа 🥉

Поздравляем ребят! 🎉

#разминка #кринж_недели

Задача. К графику многочлена нечетной степени большей единицы провели касательные в каждой точке графика. Докажите, что эти прямые покрывают всю плоскость целиком.

Сегодня исполняется один год проекту Точка Шиффлера, с которого начался наш канал! 🥳

По этому случаю мы съели вкусный тортик 🎂 а еще подготовили для всех подписчиков подарок 🎁

Мы выкладываем полную версию условий проекта Точка Шиффлера!

Отдельно хочется отметить 6 часть проекта — Метод поиска 🔍 ГМТ. Метод является мощным инструментом, позволяющим доказывать равносильность двух геометрических условий на точку. Он сравним по силе с широко известным в узких кругах движением точек 🏃

Вся теория части 6 излагается независимо от других частей проекта, так что желающие могут сразу переключиться на изучение техники, которая помогает щелкать множество трудных задач 🥜

Любите геометрию и оставайтесь с "Фулл и точка"!

#разминка

Еще одна разминка прямиком со студенческого межнара 💪(ну если быть совсем честными, то с фан-конкурса от партнера мероприятия)

#разминка

Задача. Одиннадцати мудрецам завязывают глаза и надевают каждому на голову колпак одного из 1000 цветов. После этого им глаза развязывают, и каждый видит все колпаки, кроме своего. Затем одновременно каждый показывает остальным одну из двух карточек – белую или чёрную. После этого все должны одновременно назвать цвет своих колпаков. Удастся ли это? Мудрецы могут заранее договориться о своих действиях (до того, как им завязали глаза); мудрецам известно, каких 1000 цветов могут быть колпаки.

#геом_разминка

Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — параллелограмм. Окружность диаметром 𝐴𝐶 пересекает прямую 𝐵𝐷 в точках 𝑃 и 𝑄. Перпендикуляр к 𝐴𝐶, проходящий через точку 𝐶, пересекает прямые 𝐴𝐵 и 𝐴𝐷 в точках 𝑋 и 𝑌 соответственно. Докажите, что точки 𝑃, 𝑄, 𝑋 и 𝑌 лежат на одной окружности.

#геом_разминка #красота_спасет_мир

Задача. Пусть 𝑂 — центр описанной окружности треугольника 𝐴𝐵𝐶. Точки 𝐷 и 𝐸 — произвольные на сторонах 𝐴𝐵 и 𝐴𝐶. Пусть 𝐹 — основание перпендикуляра из точки 𝑂 на 𝐷𝐸. Докажите, что середины отрезков 𝐴𝐸, 𝐶𝐷 и 𝐸𝐷 лежат на одной окружности, проходящей через точку 𝐹.

#геом_разминка

Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — вписанный четырёхугольник с описанной окружностью 𝜔. Точки 𝐵₁ и 𝐷₁ симметричны 𝐴 относительно середин 𝐵𝐶 и 𝐶𝐷 соответственно. Окружность, описанная около треугольника 𝐶𝐵₁𝐷₁, пересекает 𝜔 в точках 𝐶 и 𝐺. Докажите, что 𝐴𝐺 — диаметр 𝜔.

#геом_разминка

Задача. Высота 𝐶𝐻 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 с углом ∠𝐶 = 90° пересекает биссектрисы 𝐴𝑀 и 𝐵𝑁 в точках 𝑃 и 𝑄. Пусть 𝑅 и 𝑆 — середины отрезков 𝑃𝑀 и 𝑄𝑁. Докажите, что 𝑅𝑆 параллельна гипотенузе треугольника 𝐴𝐵𝐶.

#на_ночь_глядя

Во первых, нас уже 2000! 🔥 Спасибо всем, что вы с нами 😊

Во вторых, УЖЕ ЗАВТРА⌛заканчивается отбор НА БЕСПЛАТНЫЙ КРУЖОК ОТ ФКН и "ФУЛЛ и ТОЧКА"!

Кружок подойдет для ребят, кто хочет добиться высоких результатов🏆 на олимпиадах всероссной линейки 📏 Занятия будут проходить по субботам онлайн. Руководитель кружка — один из авторов нашего канала — Иван Кухарчук. Больше информации вы сможете найти на 👉странице кружка👈

Успейте подать заявку! Удачи при отборе! 🍀

#геом_разминка в честь прошедшего сегодня парада планет 🪐

Задача. Могут ли 7 планет выстроиться так, чтобы с каждой планеты можно было наблюдать ровно четыре другие? (С одной планеты можно наблюдать другую, если на соединяющем их отрезке нет других планет; планеты считайте точками. Планеты вращаются в одной плоскости — эклиптике.)

#геом_разминка #medium #9

Задача. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 — четырёхугольник, где 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷. Пусть 𝐸 — середина дуги 𝐵𝐶 окружности (𝐴𝐵𝐶), не содержащей точку 𝐴, а 𝐹 — середина дуги 𝐶𝐷 окружности (𝐴𝐶𝐷), не содержащей точку 𝐴. Докажите, что 𝐸𝐹 ⊥ 𝐴𝐶.

#геом_разминка #easy #8

Задача. Дан равнобедренный треугольник 𝐴𝐵𝐶, где 𝐶𝐴 = 𝐶𝐵. Пусть 𝑃 — точка на описанной окружности 𝐴𝐵𝐶 на дуге 𝐴𝐵, не содержащей точки 𝐶. Точка 𝐷 — основание перпендикуляра из 𝐶 на 𝑃𝐵. Докажите, что 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 = 2𝑃𝐷.

#геом_разминка #medium #9

Задача. На стороне 𝐴𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶 отмечена точка 𝐷. Биссектрисы углов 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐷𝐶 пересекаются в точке 𝑈, а биссектрисы углов 𝐵𝐴𝐶 и 𝐵𝐷𝐶 — в точке 𝑉. Пусть 𝑆 — середина отрезка 𝑈𝑉. Докажите, что прямые 𝑆𝐷 и 𝐴𝐵 перпендикулярны тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников 𝐴𝐷𝐶 и 𝐵𝐷𝐶 касаются.