#алгебра #задача

Найдите все многочлены P(x) с вещественными коэффициентами, обладающие следующим свойством: если a^2-b^2 рационально, то P(a)-P(b) тоже рационально.

Не стесняйтесь делиться вашими решениями в комментариях)

#геометрия #задача

Докажите, что пунктирная прямая проходит через фиксированную точку.

#теория_чисел #задача

Существует ли натуральное число n, имеющее ровно 2024! различных простых делителей и делящее 2^n+1?

#комбинаторика #задача

Предлагаем вам сегодня задачу С.Л. Берлова, Д.В. Карпова с кубка Колмогорова 1999 года!


Не более 10% жителей государства Х — враги народа. На день рождения президента каждый гражданин государства сделал ему подарок: написал в ДГБ письмо со своей подписью, разоблачающее одного из знакомых ему врагов народа. При этом известно, что честные граждане разоблачали только истинных врагов, а враги могли как разоблачить других врагов, так и оклеветать честных граждан.
a) Известно, что у каждого гражданина этого государства менее 500 знакомых. Докажите, что на основании полученных данных ДГБ может посадить некоторое количество граждан так, чтобы больше половины посаженных была врагами народа.
b) Не читая этих доносов, президент приказал посадить всех граждан, на которых поступило не менее, чем 1998 доносов. Верно ли, что более половины посаженных обязательно являются врагами народа?

#алгебра #задача

#геометрия #задача

В остроугольном треугольнике ABC отметили центр описанной окружности O и ортоцентр H. Перпендикуляр из H на AO пересекает BC в точке X. Перпендикуляр в X к BC вместе с прямыми AB и AC ограничивает треугольник Δ. Точка S — центр описанной окружности треугольника Δ. Докажите, что SX касается окружности (ABC).

#теория_чисел #задача

Найдите все натуральные n со следующим свойством: все натуральные делители n можно расположить в таком порядке d1, d2, d3, ..., dk, что для любого i ⩽ k число d1 + d2 + ... + di является полным квадратом.

#комбинаторика #задача

По контуру каждой грани выпуклого многогранника ползает муха (то есть, мух столько же, сколько граней), и все они двигаются, обходя свою грань по часовой стрелке. Известно, что их скорости в любой момент времени не меньше 1мм в час. Докажите, что рано или поздно какие-то две мухи столкнутся.

#алгебра #задача

Пусть P(x), Q(x) — различные многочлены степени 2024 с ненулевыми вещественными коэффициентами. Предположим, что они имеют r общих вещественных корней (с учётом кратности) и s общих коэффициентов. Определите наибольшее возможное значение r+s.

#геометрия #задача

Точка P — произвольная внутри треугольника ABC. Докажите, что среди точек A2, B2, C2 хотя бы одна лежит вне окружности или на ней.


А нас уже больше 1к❤️

#задача #теория_чисел

Найдите все конечные множества натуральных чисел, у которых не меньше двух элементов, и для любых двух чисел a и b (a > b) множества, число b^2 / (a - b) тоже лежит а множестве.

#комбинаторика #задача

Назовём левым путём последовательность клеток, в которой каждая следующая — соседняя слева или снизу с предыдущей, правым путём – то же, но клетка соседняя снизу или справа. Клетчатый квадрат n × n разбит на левые и правые пути. Докажите, что их хотя бы n.

#алгебра #задача

Дано натуральное число n. Приведённый многочлен степени 2n с целыми коэффициентами имеет (возможно, комплексный) корень кратности n, а также удовлетворяет условиям P(0)=-1 и P(1)*P(-1) ≠ 0. Найдите все такие многочлены.

#геометрия #задача

В неравностороннем треугольнике ABC I – центр вписанной, O – центр описанной окружностей. Прямая λ проходит через точку I перпендикулярно OI. Прямая, симметричная прямой BC относительно λ пересекает AB и AC а точках K и L. Докажите, что центр окружности AKL лежит на прямой OI.

#задача #теория_чисел

#комбинаторика #задача

Муравей ползает по поверхности куба по замкнутому маршруту. Оказалось, что он всегда ползёт параллельно какому-то ребру куба, поворачивает только под прямым углом и, попадая на ребро куба, поворачивает так, чтобы ползти по следующей грани, но не по ребру. Рассмотрим прямолинейные отрезки его маршрута (от поворота до следующего поворота). Для каждой грани посчитали количество таких отрезков. Могло ли так случиться, что эти шесть количеств образуют шесть последовательных натуральных чисел в каком-то порядке?

#алгебра #задача

Сегодня предлагаем порешать задачу про многочлены. Не забывайте делиться вашими решениями в комментариях!

#геометрия #задача

Пусть ABC — неравнобедренный треугольник с ортоцентром H и описанной окружностью Ω. Прямая, проходящая через H пересекает отрезки AB и AC в точках E и F соответственно. Пусть K — центр окружности (AEF), и пусть прямая AK вторично пересекает Ω в точке D. Докажите, что прямая HK и прямая, проходящая через D перпендикулярно BC, пересекаются на Ω.

#теория_чисел #задача