#алгебра #задача

В преддверии регионального этапа предлагаем задачу по алгебре, предлагавшуюся на регионе несколько лет назад

#геометрия #задача

В противоположные углы и параллелограмма вписаны окружности. Докажите, что если для третьего угла параллелограмма существует окружность, вписанная в него и касающаяся этих двух, то и для четвёртого такая окружность существует.

#теория_чисел #задача

#комбинаторика #задача

#алгебра #задача

#геометрия #задача

Задача по геометрии с прошедшего сегодня второго тура олимпиады Romanian Master!

Дан треугольник ABC, его ортоцентр H и центр описанной окружности O. Пусть Г — описанная окружность треугольника BOC. Прямая AO вторично пересекает Г в точке A'. Точка F, отличная от O на Г такова, что AF=AO. Докажите, что окружность с диаметром AA', описанная окружность треугольника AFH и Г имеют общую точку.

#теория_чисел #задача

#комбинаторика #задача

В языке три буквы: Ш, У и Е. Словом называется последовательность из 100 букв, ровно 40 из которых гласные (то есть У или Е), а остальные 60 — буквы Ш. Какое наибольшее количество слов можно выбрать так, чтобы у любых двух выбранных слов хотя бы в одной из ста позиций одновременно стояли гласные, причём различные?

#алгебра #задача

#геометрия #задача

В треугольнике ABC I — инцентр, K — середина меньшей дуги BC описанной окружности. На касательной к (ABC) в K выбрана произвольная точка P. Прямая PI вторично пересекает окружность (PBC) в точке Q. Докажите. что треугольник, образованный прямыми PQ, QA, PK равнобедренный.

#теория_чисел #задача

#комбинаторика #задача

Пусть m – целое положительное число. Рассмотрим доску размером 4m × 4m. Две разные клетки связаны друг с другом, если они находятся в одной строке или в одном столбце. Ни одна клетка не связана сама с собой. Некоторые клетки окрашены в синий цвет, так что каждая клетка связана как минимум с двумя синими клетками. Определите минимальное возможное количество синих клеток.

#алгебра #задача

#задача #геометрия

Докажите, что две пунктирные окружности существуют!

#задача #теория_чисел
Задача по теории чисел с прошедшей недавно Санкт-Петербургской олимпиады!

Дано натуральное число m. Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, взаимно простых с m, для которых (n!)^2+1 — составное.

#комбинаторика #задача

Дан выпуклый многоугольник P_1P_2...P_{2n} и точка Q, лежащая внутри него, но не лежащая ни на одной из его диагоналей. Докажите, что существует сторона многоугольника, не пересекающая ни одну из прямых P_iQ.

#алгебра #задача

#геометрия #задача

Серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC треугольника ABC пересекают медиану AM в точках D и E соответственно. Прямые BD и CE пересекаются в точке F. Докажите, что F лежит на окружности, проходящей через A и середины сторон AB и AC.

#теория_чисел #задача

#комбинаторика #задача

Пусть S — конечное множество точек на плоскости, содержащее хотя бы две точки. Известно, что никакие три точки множества S не лежат на одной прямой. Назовём мельницей следующий процесс. Вначале выбирается прямая l, на которой лежит ровно одна точка P из S. Прямая l вращается против часовой стрелки вокруг центра P до тех пор, пока она впервые не пройдёт через другую точку множества S. В этот момент эта точка, обозначим её Q, становится новым центром, и прямая продолжает вращаться против часовой стрелки вокруг точки Q до тех пор, пока она снова не пройдёт через точку множества S. Этот процесс продолжается бесконечно.

Докажите, что можно выбрать некоторую точку P множества S и некоторую прямую l, проходящую через P так, что для мельницы, начинающейся с прямой l, каждая точка множества S выступит в роли центра бесконечное число раз.