видео https://youtu.be/-SokoXvWgKk?si=wNBv4E2VCkaZGCUq

честно говоря это просто жесть не знаю как мы это пережили

как вы заметили, нашему семинару присуща определённая хаотичность — обычно он по пятницам, но тут иногда раз и в среду (пятница это как бы основной день, а среда запасной), а бывает что и в субботу или там во вторник, короче успевай уворачиваться.

жизнь диктует новые условия — я думаю перенести основной день кружочка на среду (а запасным днём сделать пятницу, удобно же, и вдруг не все докладчики могут по средам).

но наш главный капитал — слушатели. очные участники. люди, которые приходят, задают вопросы и узнают что-то новое. я, например, всегда так делаю, и вам советую.

что же публика думает насчёт переноса? чтобы считать голоса поимённо, в комментариях неанонимный опрос, ну и ещё там можно развёрнуто высказаться если есть мысли какие-то

а на следующей неделе будет аж два доклада, причём на совершенно невероятные темы

доклад в среду будет на стыке алгебраической геометрии и логики. такая вот любопытная метапредметность.

а второй доклад в пятницу будет на стыке комбинаторики и теории графов и основ анализа, и ещё с увесистой примесью линейной алгебры.

надеюсь, публика заинтригована... анонсы скоро

[18 декабря (СРЕДА), 16:15, ауд. 302]
Андрей Трефилов (10Д),
"Поля и теория моделей"

Теория моделей занимается множествами утверждений, выполнимых в алгебраических структурах, — теориях.

На примере теорий алгебраически и вещественно замкнутых полей мы рассмотрим как логические свойства структур могут влиять на алгебраические, поймём что такое полнота теории и элиминация кванторов, докажем теорему Зайденберга-Тарского*.

Пререквизиты: понимать что такое алгебраически замкнутое и упорядоченное поле, не бояться слова "алгоритм".


* Определение. Множество в аффинном пространстве называется полуалгебраическим, если оно задаётся системой полиномиальных уравнений и неравенств. Например, ветвь гиперболы на плоскости можно задать системой из уравнения и неравенства, а просто системой уравнений нельзя. Одна из формулировок теоремы Зайденберга-Тарского утверждает, что отображение, заданное многочленами, переводит любое полуалгебраическое множество в полуалгебраическое.

вот сегодняшнее видео https://www.youtube.com/watch?v=ydH-pYiIm2w

во второй половине доклада мы опустили многие доказательства, но зато успели дойти до (анонсов) главных результатов. Андрей советует заметку Marker, Introduction to Model Theory, по которой он готовился. и, если интересно — есть ещё почти одноимённая книга того же автора, просто слова в названии переставлены, см коменты

итак, доклад про нормы переносится на вторник. и, возможно, на следующей неделе будет что-то ещё, кто знает....


[24 декабря (ВТОРНИК), 16:15, ауд. 302]
Дмитрий Коваленко (МФТИ),
"Хроматическое число плоскости с неевклидовой нормой"

Одной из самых известных и нерешённых проблем в математике является задача о раскраске плоскости: какое минимальное число цветов вам потребуется, чтобы покрасить каждую точку плоскости так, что любые две на расстоянии 1 были разного цвета?

Мы будем рассматривать эту задачу под другим углом. Что если мы изменим понятие "расстояния" и попробуем решить новую задачу? Удивительным образом окажется, что новая задача решается почти всегда, а нам просто не повезло жить в еквлидовом мире.

На занятии мы попробуем понять, что скрывается под фразой "почти всегда" и в какое же число цветов красится плоскость в хороших мирах.

видео https://youtu.be/z9rIZ3E4Jh8?si=co_KD4hhzqw_lHv7

и статья, по части которой был доклад https://arxiv.org/abs/2302.09058v2

надо сказать, мы относительно подробно обсудили понятия нормы, определение метрики Хаусдорфа на множестве норм и концепцию нигде не плотного множества.

вероятно, отчасти из-за этого, основная линия доказательства теоремы о хроматическом числе была проговорена довольно бегло, а довольно сеьёзный технический шаг в конце (показывающий, что некоторые хитрые множества норм нигде не плотны) вообще пропущен.

поэтому тем, кто не хочет читать длинный текст по-английски, или не готов смотреть видео целиком чтобы разобраться, будет полезен следующий черновик статьи, а фактически — конспект лекции. но это действительно черновик — в нём пока не всё прописано полностью (а что-то, возможно, наоборот слишком подробно), в общем замечания приветствуются

а уже завтра состоится внеплановый доклад — правда и не рассчитанный на широкую аудиторию, скорее в рамках учительского семинара 179 школы. но если тема выглядит интересной — чувствуйте себя свободными зайти. видеозаписи не будет.

[25 декабря (среда), 17:10, ауд. 302]
Саша Оревкова (мехмат МГУ),
"Приведение функций к нормальной форме"

Часто росток гладкого отображения многообразий в фиксированной точке эквивалентен сумме нескольких первых мономов своего разложения Тейлора посредством некоторой гладкой замены переменных. Интересен случай, когда точка является не регулярной, то есть особой. Их классификацией с точностью до такой замены координат в каком-то смысле занимается теория особенностей.

Мы ограничимся (визуально наглядным) случаем гладкой функции на поверхности, обсудим что такое простые особенности, а также поговорим про конкретную задачу — построить искомую замену переменных явно и оценить радиус полученной эквивалентности (в терминах максимума модуля частных производных функции). Доклад основан на моей дипломной работе и, частично, на материалах будущей кандидатской диссертации.

всё-таки нам удалось записать секретное видео, вот оно https://www.youtube.com/watch?v=6G5TFH5A30o

кроме того, оказалось, одна статья у Саши на эту тему уже вышла, причём по-английски, зато с картинками https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=cheb&paperid=1258
в качестве нежного и подробного введения в тему, если кому-то это интересно, я могу порекомендовать I главу учебника Арнольда-Варченко-Гусейна-Заде.

вообще техника замены переменных, делающая из функции многочлен (в частности, без старших членов в разложении Тейлора) по сути это усовершенствованная лемма Морса, то есть самая базовая база. может, как-нибудь рассказать про то же на более простом примере, без Дынкина с Ньютоном?

мы залезли под ёлку, а там..... новогодний сюрприз!

[28 декабря (СУББОТА), 15:00, ауд. 302]
Андрей Рябичев,
"Основная теорема алгебры"

Она утверждает, что любой многочлен с комплексными (и, в частности, вещественными/рациональными) коэффициентами имеет комплексный корень — и, следовательно, раскладывается на линейные множители с комплексными коэффициентами. Другими словами, что ℂ алгебраически замкнуто.

Я расскажу столько доказательств основной теоремы алгебры, сколько успею, ну и сколько смогу вспомнить. От слушателей непременно потребуется знать определение комплексных чисел. Кроме того, не помешает знать, что такое (1) предел последовательности, (2) гомотопия непрерывного отображения, (3) расширение полей, или (4) основная теорема теории симметрических многочленов — но всё это необязательно, как раз методы и инструменты будут обсуждаться.

Доклад рассчитан в первую очередь на школьников, уже слышавших формулировку основной теоремы алгебры, но которым доказательства кажутся страшными или непонятными. И, Саша, не надо спрашивать какие доказательства я собираюсь рассказать, видео выложу сам узнаешь.

вчерашнее видео https://www.youtube.com/watch?v=C5ZG_DMz7Gs
не всё задуманное успели и смогли обсудить, но было интересно. но и лажи довольно много, аккуратнее с ним. определённо есть с чем доразобраться

в первую учебную пятницу мы решительно возвращаемся с каникул в обычное время:


[10 января 2025, 16:15, ауд. 302]
Степан Юрьевич Оревков (МИАН/IMT),
"О расположении овалов плоских алгебраических кривых"

Плоская вещественная алгебраическая кривая — это множество вещественных решений уравнения f(x,y)=0, где f — многочлен от двух переменных с вещественными коэффициентами. Степенью такой кривой называется минимальная степень многочлена, задающего кривую.

Если такая кривая гладкая, то она состоит из какого-то количества замкнутых линий (которые называются овалами) и какого-то количества линий, уходящих обоими концами на бесконечность, как ветви гиперболы. Если рассматривать такие кривые на проективной плоскости (что это такое, тоже будет сказано), то все её компоненты станут замкнутыми линиями.

Ещё в 19 веке Гарнак доказал, что число компонент плоской вещественной проективной кривой не превосходит (m-1)(m-2)/2 + 1.

Вопрос о том, как овалы кривой данной степени могут быть расположены относительно друг друга, был включен Гильбертом в 16-ю проблему его знаменитого списка. В настоящее время ответ известен только для степени не выше 7.

Я собираюсь рассказать, сколько успею, об этой задаче.


насколько я понимаю, пререквизиты к лекции минимальны, поэтому даже если вы понимаете не все слова из анонса, но в целом он выглядит интересно — с большой вероятностью всё будет объяснено и можно прийти. а ещё будут сушки

наконец-то видео https://youtu.be/-acuU9lYvI0?si=ZW6DHePL3ZkuFQL7

мы бьём все рекорды по продолжительности. и на удивление почти всё было понятно (хотя и не особенно легко).

а желающие читать глазами могут посмотреть следующие статьи и обзоры:
* О. Я. Виро, Плоские вещественные алгебраические кривые: построения с контролируемой топологией
* Д. А. Гудков, Топология вещественных проективных алгебраических многообразий
* В. А. Рохлин, Комплексные ориентации вещественных алгебраических кривых

периодически про овалы также вспоминают коллеги из мцнмо, например про историю, или про смежные вопросы

[15 января (СРЕДА), 16:15, ауд. 302]
Алексей Суворов (2 курс ФПМИ),
"Задача о Прямоугольнике"

Я хочу рассказать о серии похожих задач. Решение первой будет доступно младшекласснику, последние же есть недавние результаты.

Начнём с простого: Клетчатый прямоугольник по линиям сетки распилен на прямоугольнички. У каждого маленького прямоугольничка хотя бы одна сторона чётная. Доказать, что и у большого хотя бы одна сторона чётная.

Далее мы будем постепенно модифицировать задачу, стремясь обобщить это рассуждение на произвольные группы. Промежуточные утверждения будут требовать всё более нетривиальную технику, но в конце я расскажу элементарное решение их всех.

Также рассмотрим многомерные аналоги этих задач.

видео https://youtu.be/sHCwFsc7aN8?si=qlY4_NoW4zuSZmwQ

прогресс не остановить. как обычно внезапно, стартует мини-курс по маломерной топологии

[17 января (ПЯТНИЦА), 16:15, ауд. 302]
Андрей Рябичев,
"Триангулируемость поверхностей"

Топологическим n-мерным многообразием называется пространство, локально гомеоморфное ℝⁿ (ещё от него требуют хаусдорфовости и счётности базы). Оказывается, любое двумерное топологическое многообразие — в просторечии, поверхность — триангулируемо. Я постараюсь рассказать все шаги доказательства этой теоремы.

Она в частности интересна тем, что перестаёт выполняться начиная с размерности 4, в то время как в размерности 2 сравнительно несложна (а в размерности 1 тривиальна — докажите её как упражнение).

Примерный план:
* измельчения триангуляций
* вывод из леммы о кусочно-линейной аппроксимации
* кусочно-линейные теоремы Жордана и Шёнфлиса
* непрерывная теорема Жордана
* доказательство леммы

За лекцию я постараюсь успеть разобрать первые два пункта, а дальше посмотрим по ситуации.

Материалы в основном взяты из §§2-8 книги Moise. Geometric topology in dimensions 2 and 3. Пререквизиты: понимать определение гомеоморфизма.