🙃 Про чтение книг с середины 🙃 [Ан∂рей]

Довольно часто при решении задач удаётся найти что-то похожее в книгах (это может быть теорема, замечание, пример или просто небольшой комментарий). Становится ясно, что если разобрать небольшой кусок теории из этого источника, то можно решить свою проблему по аналогии. Вот только есть одно но... Это второй том, страница 654. И ни один из терминов в окрестности найденного места не понятен. 😪

В таких случаях я стараюсь работать по следующему алгоритму:
🟠. Читаю до первого незнакомого слова.
🟠. Через ctrl + F (или предметный указатель) нахожу его определение в этой же книге. Дополнительно использую интернет. Перехожу к пункту 1 в окрестности этого термина, если понять не удалось. Если удалось, возвращаюсь к чтению предыдущего отрывка. И вновь пункт 1.

Бывает, что в глубину уходишь на 3-4 уровня. Там и тонешь. В такие моменты я откладываю книгу. Спустя время вновь начинаю с самого начала.

Времени уходит много. На решение последней проблемы, над которой я думал подобным образом, ушло порядка двух месяцев (2-3 попытки понять в неделю). 🤬

В конце концов привыкаешь к языку, начинаешь понимать. И даже кажется, как это всё можно было обдумывать так долго?

Метод не подходит для фундаментального понимания темы, он направлен исключительно на задачу. Ведь откуда нам знать на старте, какая из сотни книг с подобными отрывками может помочь? Однако после успеха, данный приём помогает понять, по какому источнику стоит написать обстоятельный конспект, чтобы закрыть все вопросы!

#Мысли

🐉 Фокус и почему он так называется [1/4] 🐉[На∂я]

При построении фазового портрета выделяют четыре вида особых точек: седло, узел, фокус и центр. В серии постов я расскажу, почему каждая особая точка так названа. Все объяснения являются моей выдумкой. Эти ассоциации помогали мне не один раз, возможно, помогут и вам.

Траектории вокруг фокуса совершают бесконечное число оборотов. Фокусы бывают двух видов: устойчивые и неустойчивые. Если говорить об устойчивом, то траектории, которые являются спиралями, закручиваются к нему.  А если про неустойчивый, то от него. Но важно лишь то, что вокруг фокуса сосредоточено бесконечно много спиралей. И, как мне кажется, в этом всё дело. 😉

С латинского focus переводится как очаг. В моём понимании, очаг — это место, в котором всё началось, в случае дифференциальных уравнений, началось движение системы.

Безусловно, очаг ассоциируется с огнём. И если посмотреть на фокус во время изображения фазового портрета, то можно увидеть как будто костёр (вид сверху), где вершиной огня и является особая точка.

Если у вас тоже есть идеи, почему фокус — это фокус, то жду в комментариях. 🧡

#Контент

🐎 Седло и почему оно так называется [2/4] 🐎 [На∂я]

Сначала мне бы хотелось немного рассказать, откуда вообще появилась такая идея. Когда я училась на третьем курсе, нам читался спецкурс, где как раз и рассказали классификацию Пуанкаре. Да, это удивительно, так как обычно данную тему рассказывают в общем курсе дифференциальных уравнений. И именно на этом спецкурсе преподаватель фантазировал, что именно видел Пуанкаре, когда давал название особым точкам. Только преподаватель объяснил лишь одну точку, а мне захотелось придумать объяснение и для всех остальных точек.

Итак, почему же седло — это седло? Давайте представим седло для верховой езды, которое имеет изгибы вверх и вниз. Кстати говоря, исторически термин «седловая поверхность» появился именно из-за формы этого предмета. А теперь, если мы посмотрим на линии уровня седловой поверхности, то они будут напоминать траектории седла как особой точки. Думаю, из-за этого факта данная особая точка и получила своё название. 🌈

P.S (интересный факт). Оказывается, что в математике есть такой объект, как обезьянье седло. Название этой поверхности объясняется тем, что седло для обезьяны требует трёх углублений: двух для ног и одного для хвоста.

#Контент

💫 Узел и почему он так называется [3/4] 💫 [На∂я]

Начнём с того, что построение фазового портрета зависит от типа узла, а именно является ли он невырожденным, дикритическим или вырожденным. Последние два случая встречаются реже, чем первый, поэтому поговорим о невырожденном узле.

Как выглядит такой узел? Есть две прямых (более формально, два собственных вектора), которые отвечают за слабое и сильное направления. К слабому направлению траектории стремятся при возрастании времени. Представляете, какая мнемоническая невязка. Я до сих пор иногда путаюсь в названиях направлений. 🫣 Траектории узла напоминают ветви парабол.

Теперь давайте попробуем мысленно потянуть за парочку траекторий сверху и снизу. Вообразили? В особой точке как раз и получится «узелок».

Таким образом, нам останется с вами обсудить последнюю особую точку — центр. 👍

#Контент

🪐 Центр и почему он так называется [4/4] 🪐[На∂я]

Последняя особая точка, о которой мы поговорим в этой серии постов — центр. По своему опыту могу сказать, что эта особая точка встречается реже других.

Изображение центра на фазовом портрете напоминает карту локальной местности, где отмечены линии уровня — высоты данной территории. Стоит отметить, что чаще всего эти линии являются замкнутыми. В центре карты находится пик какой-либо вершины или же дно оврага.

Особая точка типа «центр» характеризуется тем, что вокруг неё располагаются замкнутые траектории. Я бы предположила, что название связано именно с этим свойством, образно говоря, особая точка находится в центре траекторий. 🌠

#Контент

💐 Всех девушек поздравляем с 8 марта! 💐

Желаем всего самого доброго, счастья и здоровья. Математических и не только математических достижений! 🥺

↩️ Про составление дифференциальных уравнений [1/2] ↩️ [Ан∂рей]

Последнее время у меня много уроков именно по дифференциальным уравнениям. С кем-то разбираем темы второй половины курса, а с кем-то готовимся к пересдаче первой.

Филиппова уже нарешали до дыр, нужно составлять свои ДУ для домашек и уроков. В этом посте расскажу некоторые приёмы, которые использую.

🟠. Уравнение с разделяющимися переменными. Придумываем

f(y) dy = g(x) dx

так, чтобы оба интеграла брались. Далее преобразовываем, чтобы разделение переменных не было столь очевидно.

🟠. Замены. Придумаем простенький дифур с разделяющимися переменными по типу

z' = cos(z),

а теперь делаем подстановку, например,

z = x + y + 1,

получаем

1 + y' = cos(x+y+1).

🟠. Уравнение в полных дифференциалах. Придумываем симпатичную функцию u(x, y) и считаем дифференциал. Задача готова:

du(x, y) = 0.

🟠. Интегрирующий множитель по x. Придумываем УПД и умножаем его на f(x). Можно сделать это красиво, например,

u = arctan(x) + x²y.

При нахождении дифференциала появится знаменатель

f(x) = 1+x².

Умножаем на него. И готово уравнение

(1+x²) du = 0,

где можно найти интегрирующий множитель.

🟠. Квазиоднородное. Составляем УПД или ДУ с разделяющимися переменными, далее делаем подстановку

y^b = z x^a.

🟠. Для линейного уравнения начинаем с разделяющихся переменных y' + p(x)y = 0. Далее берём некоторую f(x) и кладём

q(x) = f '(x) + p(x) f(x).

Получаем ДУ

y' + p(x) y = q(x).

🟠. Уравнение Бернулли легко сводится к линейному. При составлении нужно помнить, что после замены появится константа при производной. Её можно сразу скомпенсировать при составлении, чтобы всё свелось к нужному линейному ДУ.

🟠. Уравнение Риккати. Составляем уравнение Бернулли

z' + p(x) z = q(x) z².

После чего выполняем подстановку

z = y - f(x)

и упрощаем. Получается уравнение Риккати с частным решением f(x).

Продолжение следует...

#Контент #Вышмат

↩️ Про составление дифференциальных уравнений [2/2] ↩️ [Ан∂рей]

🟠. ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Составляем характеристический многочлен под ответ, раскрываем скобки и записываем соответствующее ДУ.

🟠🟠. ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Сначала составляем однородную задачу

Ly = 0,

где L — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами.
Теперь, чтобы g(x) было частным решением, кладём

f(x) = Lg(x).

Задача готова:

Ly = f(x).

🟠🟠. ЛОДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами для решения по формуле Остроградского-Лиувилля или подбора частного решения и понижения порядка.
Если мы хотим увидеть ответ в задаче

y = C_1 f(x) + C_2 g(x),

где f, g — фундаментальная система решений, то ДУ будет

W(f, g, y) = 0,

где W — вронскиан, то есть определитель

                   | f   g   y |
W(f, g, y) = | f'  g'  y' |.
                  | f" g" y" |

🟠🟠. ЛОДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами. Сначала составляем однородную задачу. Если мы хотим частное решение h(x), то ДУ будет иметь вид

W(f, g, y) = W(f, g, h).

🟠🟠. Составление систем с постоянными коэффициентами начинается с построения нужной ЖНФ J. После чего берём матрицу C того же порядка с единичным определителем и

A = CJC^(-1).

Наша система готова

AX(t) = f(t),

где, как обычно, f(t) = Ag(t), g(t) — желаемое частное решение.

#Контент #Вышмат

🙂 Про проверку 🙂 [Ан∂рей]

Отдельным важным навыком при решении задач является проверка. В этом посте расскажу, чем пользуюсь сам:

🟠. WolframAlpha. Мощный калькулятор, впечатляющий своими возможностями. С помощью него можно быстро делать преобразования, проверять вычисления, решать уравнения, находить интегралы и так далее.

🟠. Desmos и Desmos3d. Про этот графический калькулятор говорить можно очень долго. Например, проверка интеграла с параметром. Вводим
f(x) = int g(x, y) dy, где x — параметр. И вот, мы уже видим график f(x). Можно сверить с нашим ответом.

🟠. Матричный калькулятор. Например, хотим проверить, правильно ли мы нашли жорданов базис, вбиваем ЖНФ в матрицу А, векторы базиса в матрицу В. И если вычисление BAB^(-1) даёт исходную матрицу, значит, всё хорошо.

🟠. Размерность. Переменным удобно присваивать размерности. Например, вычислили интеграл x²dx от 0 до a. Если считать, что x и a измеряются в метрах, то уже видно, что ответ должен быть в кубических метрах.

🟠. Симметричность и чётность. Если в постановке задачи параметры a и b взаимозаменяемые, то есть при замене (a, b) |-> (b, a) задача останется такой же, то и в ответ a, b должны входить таким же образом.

#Контент #Вышмат

🤯 Олимпиадная математика 🤯 [Ан∂рей]

В связи с повышенным спросом на олимпиады (ШАД, ЯПрофессионал, университетские) собираю маленькую группу для подготовки.

Формат:
🟠 Группа ровно 5 человек.
🟠 2-4 часа в неделю урок в удобное для всех время.
🟠 Домашнее задание индивидуальное и командное.
🟠 Уроки будут проходить с начала апреля до конца мая (как минимум).
🟠 Промежуточный контроль.

Требования:
🟠 Настрой на работу, наличие времени на решение задач.
🟠 2+ курс технического направления.
🟠 Умение решать базовые задачи по линейной алгебре, аналитической геометрии, математическому анализу, дифференциальным уравнениям, комбинаторике.
🟠 Владение любым языком программирования (некоторые из задач предстоит проверять с помощью написания соответствующих программ. Например, найти число целых неотрицательных решений уравнения x + 2y + 3z = 2025).

Темы:
🟠 Линейная алгебра (сразу жорданова нормальная форма, работа с собственными числами и векторами, вычисление функций от матриц).
🟠 Комбинаторная теория вероятностей.
🟠 Случайные величины.
🟠 Цепи Маркова.
🟠 Специальные функции (гамма-, бета-), вычисление интегралов с параметрами.
🟠 Преобразование Фурье.
🟠 Экстремальные задачи (задачи математического программирования, вариационные задачи).
🟠 Теория чисел.
🟠 Разбор олимпиад.

⚠️ Стоимость уточняется. Запись только в ЛС @lav_100k.
1) Имя.
2) Место учёбы, работы. Пару слов о себе.
3) Уровень линала и матана.
4) Языки программирования, которыми владеете.

#Учёба #Вышмат #Математика

Друзья, пост выше ещё актуален! 🙂

🙂 Ещё про олимпиады [1/2]🙂 [Ан∂рей]

Думаю, что уже на ближайших выходных начинаем подготовку к олимпиадам (ещё 2 места есть, пишите в ЛС). ⚡️

Ни разу не рассказывал на канале про олимпиады, про свой путь в них.

🟠. В школе дальше региона по математике, химии и физике пройти не удавалось. Ни в какие кружки не ходил. Олимпиадная математика скорее казалась мне мероприятием для избранных. Смотришь решение: "А как до этого можно было додуматься?" (для работяг-студентов это уже обыденность, про это будет ниже...).

🟠. На 1-2 курсе было не до олимпиад. Там надо было как-то закрывать "олимпиадные" контрольные, зачёты, экзамены. Однако матфак сильно меняет представление о том, что происходило в школе. То самое чувство, когда неравенство КБШ или Коши о средних уже не про олимпиаду, а билет №100500 в очередном экзамене, за незнание которого автоматом неуд. Я впервые задумался, что важно в первую очередь то, "что ты можешь и что не можешь", что ты знаешь и что не знаешь. Узнал, что математические олимпиады — это тоже спорт.

🟠. На старших курсах я преподавал олимпиадную математику у детей (5-9 класс). Оказалось, что многие задачи не такие уж и хитрые, если уже заботал добрый кусок алгебры, анализа, комбинаторики, дискретки.

На 5 курсе впервые пробовал участвовать в ЯПрофессионале (по приколу). Про это были посты (https://www.tgoop.com/lav_math/256, https://www.tgoop.com/lav_math/278). Оказалось, что написать на 90/100 отборочный этап возможно (для закла нужно хотя бы 30-40, уже проходишь). И это перевернуло для меня представление об олимпиадах с головы на ноги!

#Контент #Жизнь #Учёба #Вышмат #Математика

🙂 Ещё про олимпиады [2/2]🙂 [Ан∂рей]

🟠. Последние два года сам уже не участвовал в ЯПрофессионале (аспирантам нет доступа), однако были ученики, которых готовил к олимпиадам и собеседованиям. Как вы хорошо знаете, одной из центральных тем подобных мероприятий является теория вероятностей (с элементами комбинаторики и с использованием инструментов математического анализа). Именно поэтому самое время для ссылок на два курса по теорверу от CSC:
https://stepik.org/course/3089,
https://stepik.org/course/57281.

Сейчас уже взгляд на задачи стал совсем другой: есть проблема — её надо решить. А уж сколько книг придётся для этого открыть, сколько сделать неудачных попыток — другой вопрос. Рано или поздно удастся подобрать ключ, а наградой будут приобретённые знания!

↩️ И пост про мой путь в теорвере прикрепил цитатой.

P.S. Ещё 1 место на олимпиадную математику есть!

#Контент #Жизнь #Учёба #Вышмат #Математика

👨‍💻 Метод наименьших квадратов (МНК) [1/2] 👨‍💻 [Ан∂рей]

Представим, что мы наблюдаем линейную зависимость y = k*x+ b, однако параматры k, b нам неизвестны, а все точки, которые мы можем взять с этой прямой, будут с погрешностью. То есть имеем

Y_i = k*X_i + b + epsilon_i,

Где i меняется от 1 до n, epsilon_i независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым средним, (X_i, Y_i) наша двумерная выборка.

Данная модель называется линейной регрессией. Для нахождения оценки параметров используют метод наименьших квадратов (МНК): находятся такие k, b, при который значение суммы квадратов ошибок

F(k, b) = summ (Y_i - k*X_i - b)² по i от 1 до n

минимальна.

Данная оптимизационная задача может быть решена с помощью нахождения экстремума функции нескольких переменных или с помощью нетрудных соображений из линейной алгебры.

Пример: https://www.desmos.com/calculator/s8qqosl99l. 😳

Красные точки — выборка, чёрная прямая построена по с помощью МНК.

#Вышмат #Математика

👨‍💻 Метод наименьших квадратов (МНК) [2/2] 👨‍💻 [Ан∂рей]

Метод наименьших квадратов может быть использован для решения переопределённых систем. Например, рассмотрим систему

x + y = 4,
3x - 2y = 2,
- x + 2y = -8.

Нетрудно понять, что решений у данной системы нет. Но давайте представим, что эти уравнения получены в результате некоторых измерений. И мы знаем, что согласно теоретическим расчётам существует единственное решение, которое нам не удаётся найти из-за погрешностей, возникших при измерениях.

Составляя модель линейной регрессии (считаем, что x,y — параметры, которые нам нужно найти), можем найти оценку (x,y) методом наименьших квадратов. Её и возьмём за решение. Пропуская вычисления, получаем (x,y) = (1,-1).

Проект в Desmos: https://www.desmos.com/calculator/mjultl1xfr.

Геометрически это означает следующее: мы нашли такую точку плоскости, что сумма квадратов расстояний до сторон треугольника, образованного прямыми из системы, наименьшая. 🙃

Если бы система оказалась совместной, то МНК давало бы в точности решение. Попробуйте поиграть с параметрами в Desmos, получается очень интересно! 🔥

#Вышмат #Математика #Контент

🤯 Санкт-Петербургский парадокс 🤯 [Ан∂рей]

Санкт-Петербургский парадокс — это парадокс, связанный с теорией вероятностей, который был сформулирован в XVIII веке. Он демонстрирует, как интуитивное понимание вероятности может приводить к парадоксальным выводам.

Суть парадокса заключается в следующем:

Представим игру, в которой мы бросаем симметричную монету до тех пор, пока не выпадет Орёл. Если Орёл выпадает с первого броска, мы выигрываем 2 рубля, если со второго — 4 рубля, с третьего — 8 рублей и так далее, то есть сумма выигрыша удваивается с каждым броском. Участие в данном аттракционе стоит всех денег, что у нас имеются. 😵
Вопрос: стоит ли сыграть? 🤡

Давайте посчитаем среднее значения выигрыша X:

E X = 1/2 * 2 + 1/4 * 4 + 1/8 * 8 + ... = 1 + 1 + 1 + ... = +📝.

Несмотря на то, что ожидаемая сумма выигрыша бесконечна, многие люди не согласились бы заплатить большую сумму за участие в этой игре, так как вероятность больших выигрышей значительно меньше, чем вероятность мелких выигрышей.

Этот парадокс показывает, что люди не всегда действуют рационально согласно теории ожидаемой полезности. 😈

#Контент #Вышмат #Математика

🥺 Про майские 🥺 [Ан∂рей]

Уже не так далеко осталось до майских. На что обратить внимание?

На улице весна (правда, иногда и снег выпадает)), всё расцветает. День становится длиннее. И вместе с этим немного пропадает желание ботать. Но ни в коем случае не стоит запускать ситуацию.

Чётные семестры отличаются тем, что на сессии между зачётами и экзаменами нет каникул (в нечётных семестрах — новогодние праздники). 😱

Однако здесь у нас есть стратегические две майские недели. И это та самая возможность насладиться шашлычком и закрыть все долги, не стоит упускать её! 🥰

Немного о моих планах:
🟠Готовлюсь к экзамену по философии (один из трёх экзаменов кандидатского минимума. Математика и английский уже сданы).
🟠Работаю над диссертацией.
🟠Сразу после майских будет набор на ликбез по анализу 2 семестр. После — набор на олимпиадную математику.

Если у вас есть темы, которые хотите разобрать, буду рад помочь. На майских постараюсь работать, когда будет связь! ✨

#Контент #Жизнь

🤓 Гармонические функции 🤓

Гармонической функцией называется функция u(x,y,z), которая удовлетворяет уравнению Лапласа:

∆u = 0,

где ∆ — оператор Лапласа:

∆u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²

(аналогично для Rⁿ).

Пример: u = x² + 5xyz - y².

Гармонические функции тесно связаны с аналитическими функциями. Если f(z) — аналитическая функция, то её вещественная часть u(x, y) = Re f(z) и мнимая часть v(x, y) = Im f(z), где z = x + iy являются гармоническими. 🥺

Полезным и важным упражнением второго семестра по теме функции нескольких переменных является задача: записать оператор Лапласа в полярных координатах

x = r * cos ф, y = r * sin ф.

Ответ:

∆u = ∂²u/∂r² + 1/r * ∂u/∂r + 1/r² * ∂²u/∂ф².

#Контен #Вышмат #Математика

⭐️ Ликбез по математическому анализу 2 семестр ⭐️ [Ан∂рей]

Друзья, впереди зачётная неделя и экзамены. Основная подготовка включает в себя решение задач с практик, разбор билетов. Объём материала второго семестра по математическому анализу достаточно большой. Поэтому для более эффективной подготовке я начинаю набор в небольшую группу интенсива "Ликбез по математическому анализу 2 семестр".

13, 15, 17, 18, 20, 22, 24, 25 мая 20:00-21:00 мск (запись будет доступна только для участников):
🟠. Определённый интеграл Римана. Вычисление по определению, исследование на интегрируемость, основные теоремы.
🟠. Несобственные интегралы. Признаки сравнения. Абсолютная и условная сходимость. Признаки Дирихле и Абеля, вычисление. Разбор эталонных примеров:

∫ 1/x^a dx от 0 до 1, от 1 до +∞; ∫ x^p * e^(-x) dx от 0 до +∞;
∫ sin(x)/x^a dx от 0 до +∞ и др.

🟠. Приложения. Вычисления длин, площадей, объёмов. Мнемонические правила для запоминания формул и доказательства на физическом уровне строгости, которые позволяют быстрее запомнить основные формулы и получать новые для решения задач.
🟠. Ряды. Признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Раабе и Гаусса, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши. Абсолютная и условная сходимость. Признаки Дирихле и Абеля, признак Лейбница.
🟠. Функциональные ряды. Поточечная сходимость, равномерная сходимость. Степенные ряды, формула Коши-Адамара.
🟠. Функции нескольких переменных. Двойные пределы, исследование на непрерывность и дифференцируемость.
🟠. Частные производные. Матрица Якоби, градиент. Производная по направлению. Дифференциалы функции нескольких переменных. Неявные отображения.
🟠. Правило цепочки. Частные производные высших порядков. Замены в уравнениях в частных производных.
🟠. Экстремумы ФНП.

Перечисленные темы являются основными. Возможно, к данным 8 урокам будут добавлены уроки при необходимости!
Видеозаписи будут доступны участникам в закрытой беседе и после сессии (то есть будет возможность вернуться к записям летом).

Запись через бота @lav_math_bot (кнопка "🔥Интенсивы"). Всех жду! ❤️

#Математика #Вышмат #Учёба #Интенсивы