🐎 Седло и почему оно так называется [2/4] 🐎 [На∂я]

Сначала мне бы хотелось немного рассказать, откуда вообще появилась такая идея. Когда я училась на третьем курсе, нам читался спецкурс, где как раз и рассказали классификацию Пуанкаре. Да, это удивительно, так как обычно данную тему рассказывают в общем курсе дифференциальных уравнений. И именно на этом спецкурсе преподаватель фантазировал, что именно видел Пуанкаре, когда давал название особым точкам. Только преподаватель объяснил лишь одну точку, а мне захотелось придумать объяснение и для всех остальных точек.

Итак, почему же седло — это седло? Давайте представим седло для верховой езды, которое имеет изгибы вверх и вниз. Кстати говоря, исторически термин «седловая поверхность» появился именно из-за формы этого предмета. А теперь, если мы посмотрим на линии уровня седловой поверхности, то они будут напоминать траектории седла как особой точки. Думаю, из-за этого факта данная особая точка и получила своё название. 🌈

P.S (интересный факт). Оказывается, что в математике есть такой объект, как обезьянье седло. Название этой поверхности объясняется тем, что седло для обезьяны требует трёх углублений: двух для ног и одного для хвоста.

#Контент

💫 Узел и почему он так называется [3/4] 💫 [На∂я]

Начнём с того, что построение фазового портрета зависит от типа узла, а именно является ли он невырожденным, дикритическим или вырожденным. Последние два случая встречаются реже, чем первый, поэтому поговорим о невырожденном узле.

Как выглядит такой узел? Есть две прямых (более формально, два собственных вектора), которые отвечают за слабое и сильное направления. К слабому направлению траектории стремятся при возрастании времени. Представляете, какая мнемоническая невязка. Я до сих пор иногда путаюсь в названиях направлений. 🫣 Траектории узла напоминают ветви парабол.

Теперь давайте попробуем мысленно потянуть за парочку траекторий сверху и снизу. Вообразили? В особой точке как раз и получится «узелок».

Таким образом, нам останется с вами обсудить последнюю особую точку — центр. 👍

#Контент

🪐 Центр и почему он так называется [4/4] 🪐[На∂я]

Последняя особая точка, о которой мы поговорим в этой серии постов — центр. По своему опыту могу сказать, что эта особая точка встречается реже других.

Изображение центра на фазовом портрете напоминает карту локальной местности, где отмечены линии уровня — высоты данной территории. Стоит отметить, что чаще всего эти линии являются замкнутыми. В центре карты находится пик какой-либо вершины или же дно оврага.

Особая точка типа «центр» характеризуется тем, что вокруг неё располагаются замкнутые траектории. Я бы предположила, что название связано именно с этим свойством, образно говоря, особая точка находится в центре траекторий. 🌠

#Контент

💐 Всех девушек поздравляем с 8 марта! 💐

Желаем всего самого доброго, счастья и здоровья. Математических и не только математических достижений! 🥺

↩️ Про составление дифференциальных уравнений [1/2] ↩️ [Ан∂рей]

Последнее время у меня много уроков именно по дифференциальным уравнениям. С кем-то разбираем темы второй половины курса, а с кем-то готовимся к пересдаче первой.

Филиппова уже нарешали до дыр, нужно составлять свои ДУ для домашек и уроков. В этом посте расскажу некоторые приёмы, которые использую.

🟠. Уравнение с разделяющимися переменными. Придумываем

f(y) dy = g(x) dx

так, чтобы оба интеграла брались. Далее преобразовываем, чтобы разделение переменных не было столь очевидно.

🟠. Замены. Придумаем простенький дифур с разделяющимися переменными по типу

z' = cos(z),

а теперь делаем подстановку, например,

z = x + y + 1,

получаем

1 + y' = cos(x+y+1).

🟠. Уравнение в полных дифференциалах. Придумываем симпатичную функцию u(x, y) и считаем дифференциал. Задача готова:

du(x, y) = 0.

🟠. Интегрирующий множитель по x. Придумываем УПД и умножаем его на f(x). Можно сделать это красиво, например,

u = arctan(x) + x²y.

При нахождении дифференциала появится знаменатель

f(x) = 1+x².

Умножаем на него. И готово уравнение

(1+x²) du = 0,

где можно найти интегрирующий множитель.

🟠. Квазиоднородное. Составляем УПД или ДУ с разделяющимися переменными, далее делаем подстановку

y^b = z x^a.

🟠. Для линейного уравнения начинаем с разделяющихся переменных y' + p(x)y = 0. Далее берём некоторую f(x) и кладём

q(x) = f '(x) + p(x) f(x).

Получаем ДУ

y' + p(x) y = q(x).

🟠. Уравнение Бернулли легко сводится к линейному. При составлении нужно помнить, что после замены появится константа при производной. Её можно сразу скомпенсировать при составлении, чтобы всё свелось к нужному линейному ДУ.

🟠. Уравнение Риккати. Составляем уравнение Бернулли

z' + p(x) z = q(x) z².

После чего выполняем подстановку

z = y - f(x)

и упрощаем. Получается уравнение Риккати с частным решением f(x).

Продолжение следует...

#Контент #Вышмат

↩️ Про составление дифференциальных уравнений [2/2] ↩️ [Ан∂рей]

🟠. ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Составляем характеристический многочлен под ответ, раскрываем скобки и записываем соответствующее ДУ.

🟠🟠. ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами. Сначала составляем однородную задачу

Ly = 0,

где L — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами.
Теперь, чтобы g(x) было частным решением, кладём

f(x) = Lg(x).

Задача готова:

Ly = f(x).

🟠🟠. ЛОДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами для решения по формуле Остроградского-Лиувилля или подбора частного решения и понижения порядка.
Если мы хотим увидеть ответ в задаче

y = C_1 f(x) + C_2 g(x),

где f, g — фундаментальная система решений, то ДУ будет

W(f, g, y) = 0,

где W — вронскиан, то есть определитель

                   | f   g   y |
W(f, g, y) = | f'  g'  y' |.
                  | f" g" y" |

🟠🟠. ЛОДУ 2-го порядка с переменными коэффициентами. Сначала составляем однородную задачу. Если мы хотим частное решение h(x), то ДУ будет иметь вид

W(f, g, y) = W(f, g, h).

🟠🟠. Составление систем с постоянными коэффициентами начинается с построения нужной ЖНФ J. После чего берём матрицу C того же порядка с единичным определителем и

A = CJC^(-1).

Наша система готова

AX(t) = f(t),

где, как обычно, f(t) = Ag(t), g(t) — желаемое частное решение.

#Контент #Вышмат

🙂 Про проверку 🙂 [Ан∂рей]

Отдельным важным навыком при решении задач является проверка. В этом посте расскажу, чем пользуюсь сам:

🟠. WolframAlpha. Мощный калькулятор, впечатляющий своими возможностями. С помощью него можно быстро делать преобразования, проверять вычисления, решать уравнения, находить интегралы и так далее.

🟠. Desmos и Desmos3d. Про этот графический калькулятор говорить можно очень долго. Например, проверка интеграла с параметром. Вводим
f(x) = int g(x, y) dy, где x — параметр. И вот, мы уже видим график f(x). Можно сверить с нашим ответом.

🟠. Матричный калькулятор. Например, хотим проверить, правильно ли мы нашли жорданов базис, вбиваем ЖНФ в матрицу А, векторы базиса в матрицу В. И если вычисление BAB^(-1) даёт исходную матрицу, значит, всё хорошо.

🟠. Размерность. Переменным удобно присваивать размерности. Например, вычислили интеграл x²dx от 0 до a. Если считать, что x и a измеряются в метрах, то уже видно, что ответ должен быть в кубических метрах.

🟠. Симметричность и чётность. Если в постановке задачи параметры a и b взаимозаменяемые, то есть при замене (a, b) |-> (b, a) задача останется такой же, то и в ответ a, b должны входить таким же образом.

#Контент #Вышмат

🤯 Олимпиадная математика 🤯 [Ан∂рей]

В связи с повышенным спросом на олимпиады (ШАД, ЯПрофессионал, университетские) собираю маленькую группу для подготовки.

Формат:
🟠 Группа ровно 5 человек.
🟠 2-4 часа в неделю урок в удобное для всех время.
🟠 Домашнее задание индивидуальное и командное.
🟠 Уроки будут проходить с начала апреля до конца мая (как минимум).
🟠 Промежуточный контроль.

Требования:
🟠 Настрой на работу, наличие времени на решение задач.
🟠 2+ курс технического направления.
🟠 Умение решать базовые задачи по линейной алгебре, аналитической геометрии, математическому анализу, дифференциальным уравнениям, комбинаторике.
🟠 Владение любым языком программирования (некоторые из задач предстоит проверять с помощью написания соответствующих программ. Например, найти число целых неотрицательных решений уравнения x + 2y + 3z = 2025).

Темы:
🟠 Линейная алгебра (сразу жорданова нормальная форма, работа с собственными числами и векторами, вычисление функций от матриц).
🟠 Комбинаторная теория вероятностей.
🟠 Случайные величины.
🟠 Цепи Маркова.
🟠 Специальные функции (гамма-, бета-), вычисление интегралов с параметрами.
🟠 Преобразование Фурье.
🟠 Экстремальные задачи (задачи математического программирования, вариационные задачи).
🟠 Теория чисел.
🟠 Разбор олимпиад.

⚠️ Стоимость уточняется. Запись только в ЛС @lav_100k.
1) Имя.
2) Место учёбы, работы. Пару слов о себе.
3) Уровень линала и матана.
4) Языки программирования, которыми владеете.

#Учёба #Вышмат #Математика

Друзья, пост выше ещё актуален! 🙂

🙂 Ещё про олимпиады [1/2]🙂 [Ан∂рей]

Думаю, что уже на ближайших выходных начинаем подготовку к олимпиадам (ещё 2 места есть, пишите в ЛС). ⚡️

Ни разу не рассказывал на канале про олимпиады, про свой путь в них.

🟠. В школе дальше региона по математике, химии и физике пройти не удавалось. Ни в какие кружки не ходил. Олимпиадная математика скорее казалась мне мероприятием для избранных. Смотришь решение: "А как до этого можно было додуматься?" (для работяг-студентов это уже обыденность, про это будет ниже...).

🟠. На 1-2 курсе было не до олимпиад. Там надо было как-то закрывать "олимпиадные" контрольные, зачёты, экзамены. Однако матфак сильно меняет представление о том, что происходило в школе. То самое чувство, когда неравенство КБШ или Коши о средних уже не про олимпиаду, а билет №100500 в очередном экзамене, за незнание которого автоматом неуд. Я впервые задумался, что важно в первую очередь то, "что ты можешь и что не можешь", что ты знаешь и что не знаешь. Узнал, что математические олимпиады — это тоже спорт.

🟠. На старших курсах я преподавал олимпиадную математику у детей (5-9 класс). Оказалось, что многие задачи не такие уж и хитрые, если уже заботал добрый кусок алгебры, анализа, комбинаторики, дискретки.

На 5 курсе впервые пробовал участвовать в ЯПрофессионале (по приколу). Про это были посты (https://www.tgoop.com/lav_math/256, https://www.tgoop.com/lav_math/278). Оказалось, что написать на 90/100 отборочный этап возможно (для закла нужно хотя бы 30-40, уже проходишь). И это перевернуло для меня представление об олимпиадах с головы на ноги!

#Контент #Жизнь #Учёба #Вышмат #Математика

🙂 Ещё про олимпиады [2/2]🙂 [Ан∂рей]

🟠. Последние два года сам уже не участвовал в ЯПрофессионале (аспирантам нет доступа), однако были ученики, которых готовил к олимпиадам и собеседованиям. Как вы хорошо знаете, одной из центральных тем подобных мероприятий является теория вероятностей (с элементами комбинаторики и с использованием инструментов математического анализа). Именно поэтому самое время для ссылок на два курса по теорверу от CSC:
https://stepik.org/course/3089,
https://stepik.org/course/57281.

Сейчас уже взгляд на задачи стал совсем другой: есть проблема — её надо решить. А уж сколько книг придётся для этого открыть, сколько сделать неудачных попыток — другой вопрос. Рано или поздно удастся подобрать ключ, а наградой будут приобретённые знания!

↩️ И пост про мой путь в теорвере прикрепил цитатой.

P.S. Ещё 1 место на олимпиадную математику есть!

#Контент #Жизнь #Учёба #Вышмат #Математика

👨‍💻 Метод наименьших квадратов (МНК) [1/2] 👨‍💻 [Ан∂рей]

Представим, что мы наблюдаем линейную зависимость y = k*x+ b, однако параматры k, b нам неизвестны, а все точки, которые мы можем взять с этой прямой, будут с погрешностью. То есть имеем

Y_i = k*X_i + b + epsilon_i,

Где i меняется от 1 до n, epsilon_i независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым средним, (X_i, Y_i) наша двумерная выборка.

Данная модель называется линейной регрессией. Для нахождения оценки параметров используют метод наименьших квадратов (МНК): находятся такие k, b, при который значение суммы квадратов ошибок

F(k, b) = summ (Y_i - k*X_i - b)² по i от 1 до n

минимальна.

Данная оптимизационная задача может быть решена с помощью нахождения экстремума функции нескольких переменных или с помощью нетрудных соображений из линейной алгебры.

Пример: https://www.desmos.com/calculator/s8qqosl99l. 😳

Красные точки — выборка, чёрная прямая построена по с помощью МНК.

#Вышмат #Математика

👨‍💻 Метод наименьших квадратов (МНК) [2/2] 👨‍💻 [Ан∂рей]

Метод наименьших квадратов может быть использован для решения переопределённых систем. Например, рассмотрим систему

x + y = 4,
3x - 2y = 2,
- x + 2y = -8.

Нетрудно понять, что решений у данной системы нет. Но давайте представим, что эти уравнения получены в результате некоторых измерений. И мы знаем, что согласно теоретическим расчётам существует единственное решение, которое нам не удаётся найти из-за погрешностей, возникших при измерениях.

Составляя модель линейной регрессии (считаем, что x,y — параметры, которые нам нужно найти), можем найти оценку (x,y) методом наименьших квадратов. Её и возьмём за решение. Пропуская вычисления, получаем (x,y) = (1,-1).

Проект в Desmos: https://www.desmos.com/calculator/mjultl1xfr.

Геометрически это означает следующее: мы нашли такую точку плоскости, что сумма квадратов расстояний до сторон треугольника, образованного прямыми из системы, наименьшая. 🙃

Если бы система оказалась совместной, то МНК давало бы в точности решение. Попробуйте поиграть с параметрами в Desmos, получается очень интересно! 🔥

#Вышмат #Математика #Контент

🤯 Санкт-Петербургский парадокс 🤯 [Ан∂рей]

Санкт-Петербургский парадокс — это парадокс, связанный с теорией вероятностей, который был сформулирован в XVIII веке. Он демонстрирует, как интуитивное понимание вероятности может приводить к парадоксальным выводам.

Суть парадокса заключается в следующем:

Представим игру, в которой мы бросаем симметричную монету до тех пор, пока не выпадет Орёл. Если Орёл выпадает с первого броска, мы выигрываем 2 рубля, если со второго — 4 рубля, с третьего — 8 рублей и так далее, то есть сумма выигрыша удваивается с каждым броском. Участие в данном аттракционе стоит всех денег, что у нас имеются. 😵
Вопрос: стоит ли сыграть? 🤡

Давайте посчитаем среднее значения выигрыша X:

E X = 1/2 * 2 + 1/4 * 4 + 1/8 * 8 + ... = 1 + 1 + 1 + ... = +📝.

Несмотря на то, что ожидаемая сумма выигрыша бесконечна, многие люди не согласились бы заплатить большую сумму за участие в этой игре, так как вероятность больших выигрышей значительно меньше, чем вероятность мелких выигрышей.

Этот парадокс показывает, что люди не всегда действуют рационально согласно теории ожидаемой полезности. 😈

#Контент #Вышмат #Математика

🥺 Про майские 🥺 [Ан∂рей]

Уже не так далеко осталось до майских. На что обратить внимание?

На улице весна (правда, иногда и снег выпадает)), всё расцветает. День становится длиннее. И вместе с этим немного пропадает желание ботать. Но ни в коем случае не стоит запускать ситуацию.

Чётные семестры отличаются тем, что на сессии между зачётами и экзаменами нет каникул (в нечётных семестрах — новогодние праздники). 😱

Однако здесь у нас есть стратегические две майские недели. И это та самая возможность насладиться шашлычком и закрыть все долги, не стоит упускать её! 🥰

Немного о моих планах:
🟠Готовлюсь к экзамену по философии (один из трёх экзаменов кандидатского минимума. Математика и английский уже сданы).
🟠Работаю над диссертацией.
🟠Сразу после майских будет набор на ликбез по анализу 2 семестр. После — набор на олимпиадную математику.

Если у вас есть темы, которые хотите разобрать, буду рад помочь. На майских постараюсь работать, когда будет связь! ✨

#Контент #Жизнь

🤓 Гармонические функции 🤓

Гармонической функцией называется функция u(x,y,z), которая удовлетворяет уравнению Лапласа:

∆u = 0,

где ∆ — оператор Лапласа:

∆u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²

(аналогично для Rⁿ).

Пример: u = x² + 5xyz - y².

Гармонические функции тесно связаны с аналитическими функциями. Если f(z) — аналитическая функция, то её вещественная часть u(x, y) = Re f(z) и мнимая часть v(x, y) = Im f(z), где z = x + iy являются гармоническими. 🥺

Полезным и важным упражнением второго семестра по теме функции нескольких переменных является задача: записать оператор Лапласа в полярных координатах

x = r * cos ф, y = r * sin ф.

Ответ:

∆u = ∂²u/∂r² + 1/r * ∂u/∂r + 1/r² * ∂²u/∂ф².

#Контен #Вышмат #Математика

⭐️ Ликбез по математическому анализу 2 семестр ⭐️ [Ан∂рей]

Друзья, впереди зачётная неделя и экзамены. Основная подготовка включает в себя решение задач с практик, разбор билетов. Объём материала второго семестра по математическому анализу достаточно большой. Поэтому для более эффективной подготовке я начинаю набор в небольшую группу интенсива "Ликбез по математическому анализу 2 семестр".

13, 15, 17, 18, 20, 22, 24, 25 мая 20:00-21:00 мск (запись будет доступна только для участников):
🟠. Определённый интеграл Римана. Вычисление по определению, исследование на интегрируемость, основные теоремы.
🟠. Несобственные интегралы. Признаки сравнения. Абсолютная и условная сходимость. Признаки Дирихле и Абеля, вычисление. Разбор эталонных примеров:

∫ 1/x^a dx от 0 до 1, от 1 до +∞; ∫ x^p * e^(-x) dx от 0 до +∞;
∫ sin(x)/x^a dx от 0 до +∞ и др.

🟠. Приложения. Вычисления длин, площадей, объёмов. Мнемонические правила для запоминания формул и доказательства на физическом уровне строгости, которые позволяют быстрее запомнить основные формулы и получать новые для решения задач.
🟠. Ряды. Признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Раабе и Гаусса, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши. Абсолютная и условная сходимость. Признаки Дирихле и Абеля, признак Лейбница.
🟠. Функциональные ряды. Поточечная сходимость, равномерная сходимость. Степенные ряды, формула Коши-Адамара.
🟠. Функции нескольких переменных. Двойные пределы, исследование на непрерывность и дифференцируемость.
🟠. Частные производные. Матрица Якоби, градиент. Производная по направлению. Дифференциалы функции нескольких переменных. Неявные отображения.
🟠. Правило цепочки. Частные производные высших порядков. Замены в уравнениях в частных производных.
🟠. Экстремумы ФНП.

Перечисленные темы являются основными. Возможно, к данным 8 урокам будут добавлены уроки при необходимости!
Видеозаписи будут доступны участникам в закрытой беседе и после сессии (то есть будет возможность вернуться к записям летом).

Запись через бота @lav_math_bot (кнопка "🔥Интенсивы"). Всех жду! ❤️

#Математика #Вышмат #Учёба #Интенсивы

👨‍💻 Chat GPT для решения задач 👨‍💻 [Ан∂рей]

В последнее время всё чаще пользуюсь нейросетями для решения задач и проверок. И при работе теперь всегда открыты Desmos (теперь и 3d), WolframAlpha, Chat GPT.

Очевидные плюсы — скорость, доступность, возможность найти другие источники. Но тут сразу же вспоминается анекдот:

— Вы правда очень быстро считаете?
— Да.
— Тогда сколько будет 44*46?
— 2384.
— Но это неправильно...
— Зато очень быстро!

Без уточняющих вопросов и переформулировок в сложных задачах получить правильный ответ сразу маловероятно. 🐌

Одна из самых распространённых ошибок: получены все формулы, верно написаны рассуждения, а после пропущены непосредственные вычисления. И дан сразу неверный ответ. Стоит попросить расписать преобразования подробнее, как ответ уже становится верным. 😈

С базовыми доказательствами теорем проблем нет. А вот теоретические задачи зачастую мимо. Но в ходе рассуждений Chat GPT зачастую упоминает связанные теоремы, которые могут помочь при самостоятельном решении.

Подобного рода приложения могут превратиться в мощный инструмент при решении задач. Но для этого нужна прочная база, чтобы фильтровать информацию (которая может выглядеть очень удивительно), находить липу в доказательствах и направлять Chat GPT в правильную сторону. 👆

#Контент #Мысли #Математика #Вышмат

😄 Цифровой детокс 😄 [Ан∂рей]

Завтра массово у людей будут проблемы с мобильным интернетом, это значит, что самое время заняться тем, что давно откладывали!
Можно сделать фокус не только на результат работы, но и на процесс, добавив вдохновения в этот момент. Ведь завтра вас ничего не должно потревожить: никаких сообщений, уведомлений и т.д. 🥰

У меня по планам, как я уже писал выше, продолжать подготовку к философии из кандидатского минимума. Хочу в очередной раз отметить: в отсутствие отвлекающих факторов (в особенности интернета) продуктивность возрастает в разы. Так, например, на днях ехал в дневном поезде 11 часов. И за это время смог прочитать учебник по философии науки, который до этого неоднократно пытался открыть. Подобное у меня было с финансовой математикой (см. пост), когда я экстренно попал в больницу с единственной книгой. 🙃

И, конечно, прогулки на свежем воздухе в ближайшие выходные позитивно скажутся на жёстком боте, который предстоит уже совсем скоро! 🔥

#Контент #Вышмат #Математика #Мысли

🌝 Практика в аспирантуре 🌝

#Жизнь