🍊 Учёба в LM 🍊 [Ан∂рей]

Вчера завершился интенсив по пределам функции. Работа ещё только начинается. У участников есть доступ к записям и много заданий для самостоятельного решения под моим контролем.

На текущий момент можно присоединиться и заботать:
🟠 Пределы последовательностей (6 уроков).
🟠 Пределы функций, о-символика, непрерывность (5 уроков).

Писать в ЛС @lav_100k.

Пока первокурсники нарешивают, я думаю об интенсиве для старшекурсников. Что заботаем🟠

#Контент #Учёба #Интенсивы #Математика #Вышмат

🥳 Новое число Мерсенна 🥳 [На∂я]

12 октября участник проекта Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) Люк Дюрант нашёл 52-ое простое число Мерсенна 2^(136 279 841) – 1. Оно содержит 41 024 320 десятичных цифр, что на 16 миллионов цифр больше предыдущего рекордного числа. К слову, в «Войне и мире» Л.Н. Толстого примерно 3,1 миллиона символов.

Числа Мерсенна получили название в честь французского математика Марена Мерсенна. В 1648 году он выпустил труд, в котором высказал предположение, что числа вида 2^p — 1 должны быть простыми для показателей 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 и составными для всех остальных целых чисел, не превосходящих 257. Откуда взялась такая гипотеза — до конца неизвестно.

Возможно, у вас возник вопрос, зачем вообще нужны числа Мерсенна? Например, они используются в качестве тестов для разного рода алгоритмов факторизации чисел. Однако это не единственное применение чисел Мерсенна. 🔍

#Истории #Математика

⭐️ Снежинка Коха ⭐️ [На∂я]

В посте про береговую линию конечным заключением Ричардсона было следующее выражение: при уменьшении единичного отрезка до бесконечно маленького длина береговой линии возрастает до бесконечно большой. Красивым и простым для понимания примером этого утверждения является снежинка Коха.

Опишем процесс построения. Берём единичный отрезок, разделяем его на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д. В пределе получим кривую Коха. 👍

Посчитаем длину получившейся кривой. Изначальный отрезок имеет единичную длину. На каждом шаге построения мы оставляем два крайних составляющих линию отрезков в покое (их длина = 2/3), а средний заменяем на два таких же (их длина = 2/3). Таким образом, длина ломаной увеличивается в 4/3 раза, то есть длина линии с номером n равна (4/3)^(n–1). При устремлении n к бесконечности мы получаем ломаную бесконечной длины.

Три кривых Коха, построенных на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, которую и называют снежинкой Коха. ⭐️

P.S. Красивые картинки ждут вас в комментариях!

#Контент #Математика #Вышмат

😨 Суммы биномиальных коэффициентов [1/2] 😨 [Ан∂рей]

Мы хорошо знаем, как вычислить сумму биномиальных коэффициентов в n-ой строке треугольника Паскаля:
🟠. C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + С_n^3 + ... = 2^n

1 способ. (1+1)^n разложить по биному Ньютона. 2 способ. Двумя способами посчитать число подмножеств n-элементного множества .

И как считаются следующие суммы:
🟠. C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - C_n^3 + ... = 0
🟠. C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + C_n^6 + ... = 2^(n-1)
🟠. C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + C_n^7 + ... = 2^(n-1)

Формула 2 получается разложением (1-1)^n по биному Ньютона, а формулы 3, 4 выводятся с помощью сложения и вычитания формул 1, 2.

И я искреннее надеюсь, что читатели умеют вычислять суммы (а если нет, то пора научиться!):
🟠. C_n^0 + C_n^3 + C_n^6 + C_n^9 + ... = ( 2^n + 2*cos(πn/3) )/3
🟠. C_n^1 + C_n^4 + C_n^7 + C_n^10 + ... = ( 2^n + 2*cos(π(n-2)/3) )/3
🟠. C_n^2 + C_n^5 + C_n^8 + C_n^11 + ... = ( 2^n + 2*cos(π(n-4)/3) )/3

Пусть ω = cos(2π/3) + i * sin(2π/3). Формулы получаются разложением по биному Ньютона следующих выражений
(1+1)^n + (1+ω)^n + (1+ω^2)^n
(1+1)^n + ω^2*(1+ω)^n + ω*(1+ω^2)^n
(1+1)^n + ω*(1+ω)^n + ω^2*(1+ω^2)^n

И возникает вопрос, можем ли мы вычислить сумму
🟠C_n^r + C_n^(r+d) + C_n^(r+2d) + C_n^(r+3d) + ...= ?

Ответ положительный (но в общем случае без знака суммы не обойтись). Некоторое время на обдумывание этого поста, продолжение будет сегодня вечером! 🧡

#Математика #Вышмат #Контент

😨 Суммы биномиальных коэффициентов [2/2] 😨 [Ан∂рей]

n, r — целые неотрицательные числа, d — натуральное число большее r.

Для того, чтобы в общем виде вычислить сумму биномиальных коэффициентов (см. левую часть на картинке), нам потребуется первообразный корень степени d из единицы ω = cos (2π/d) + i * sin (2π/d). Разложить по биному Ньютона нужно каждую из следующих скобок cуммы

( 1+1 )^n + ω^(-r) * ( 1+ω )^n + ω^(-2r) * ( 1+ω^2 )^n... + ω^(-(d-1)r) * ( 1+ω^(d-1) )^n.

Данный метод может быть обобщён для вычисления мультисекций ряда (мультисекцией ряда называется ряд, составленный из членов первоначального ряда с номерами, образующими арифметическую прогрессию). 🤓

#Математика #Вышмат #Контент

🔥 Про 1^k + 2^k + 3^k + ... + n^k 🔥 [Ан∂рей]

Решил сохранить на канале небольшой файл, посвященный сумме степеней первых n натуральных чисел и различным наблюдениям, связанным с этим.

#Источники #Вышмат #Математика

👩‍💻 Цифровой минимализм 👩‍💻 [На∂я]

Несмотря на то, что я люблю структурировать дела или различные записи, у меня совсем нет привычки соблюдать порядок в ноутбуке. И примерно на 3 курсе я поняла, что это беда… Какое-то разделение на папки безусловно присутствовало, но даже так найти что-то было сложно. И я решила изменить свой подход.

🟠 Для начала я удалила все ненужные файлы. Лично мне такой процесс иногда даже помогает избавиться от лишних мыслей или же просто почувствовать некое освобождение.

🟠 Для каждого предмета создала папку, а в ней отдельные папки для лекций, практик и литературы.

🟠 Раньше я могла назвать файл в духе «угрвтао» (рандомный набор букв), а потом приходилось открывать его и вспоминать, что же это такое и к какой дате относится. Сейчас более ответственно отношусь к названиям файлов: чем конкретнее, тем лучше.

🟠 В ближайшем будущем мечтаю разобрать свою почту, где накопилось много писем из-за различных рассылок, от которых я не могу отписаться (просто потому, что не могу сесть за это дело), и оставить только нужные сообщения.

Мне кажется, что порядок в «цифровой» жизни очень важен. Не зря в соц.сетях и других приложениях существует деление на папки, чтобы разделять работу/семью/учёбу и т.д.

А что думаете вы по этому поводу? Какая у вас система хранения данных? Пишите в комментарии 👨‍💻

#Мысли #Вышмат #Математика

🤪 Парадокс Монти-Холла 🤪 [На∂я]

Начнём с формулировки:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Сразу обговорим условия:

🟠 автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;

🟠 ведущий знает, где находится автомобиль;

🟠 ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;

🟠 если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть (то есть, игрок указал на верную дверь, и за обеими оставшимися дверями — козы), он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

На самом деле, задача не является парадоксом, просто её решение противоречит нашему разуму. Давайте разберёмся.

Варианты расположения двух коз и автомобиля за дверьми:

🟠. авто, коза, коза (от первой двери к третьей);

🟠. коза, авто, коза;

🟠. коза, коза, авто.

Для определённости будем считать, что игрок выбрал 1-ую дверь. Тогда в первом случае ведущий откроет 2 или 3 дверь, во втором — третью дверь, в третьем — вторую дверь. Если игрок поменяет выбор, то его выигрыш будет следующим: в первом случае — коза, во втором — авто, в третьем — авто. Если же игрок не поменяет выбор, то его выигрыш в первом случае — авто, во втором — коза, в третьем — коза.

Как мы видим, если игрок поменяет дверь, то он выиграет с бОльшей вероятностью. Не верится, да? Но вот такие чудеса творит математика! 😉

Кстати, в фильме «Двадцать одно» как раз таки упоминается описанный парадокс: https://youtu.be/xgENddTR_5s

#Математика #Вышмат #Контент

🥰 Шпаргалка для теории поля 🥰 [Ан∂рей]

Писал ещё на 3 курсе, пользуюсь до сих пор! Сохраню на канале эту небольшую шпаргалку по криволинейным и поверхностным интегралам! 🫣

#Источники #Контент #Математика #Вышмат

🤔Главное — правильно выбрать метод решения! 🤔 [На∂я]

Недавно я вела пару у студентов, в некоторый момент которой понадобилось решить обычное квадратное уравнение. И студент говорит: «Ну что, по Виета?». Меня это удивило, так как я вообще не привыкла пользоваться этой теоремой, в моей голове «видишь квадратное уравнение -> считаешь дискриминант».

И так совпало, что в эти выходные я еду проводить занятия именно по теме квадратных уравнений, поэтому при подготовке я подбирала задания на различные способы решения. И знаете что? Теорема Виета иногда и правда очень упрощает жизнь. 👍

Давайте всё-таки приведём её формулировку. Корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 удовлетворяют системе уравнений {x₁ + x₂ = -b/a, x₁ * x₂ = c/a}.

А заодно вспомним ещё два скоростных метода решения квадратных уравнений.

🟠. a + b + c = 0 или a + c = b:

Если сумма коэффициентов a + b + c равна 0, то первый корень равен 1, а второй c/a по теореме Виета. Если сумма крайних коэффициентов равна центральному (a + c = b), то первый корень равен -1, а второй -с/а по теореме Виета.

🟠. Метод переброски:

Уравнение ax² + bx + c = 0 умножаем на a и делаем замену y = ax.

Получаем:
y² + by + ac = 0.

Решаем по Виета, ответ делим на a.

Пример: 6x² - 5x + 1 = 0

Переброска: y² - 5y + 6 = 0. По теореме Виета корни этого уравнения 2, 3. Тогда ответ исходного уравнения: 2/6, 3/6.

Так, даже на примере решения квадратного уравнения заметно, как хорошо знать несколько способов решения одной задачи и как можно экономить время, если правильно выбрать способ! 🔋

#Математика #Вышмат #Контент

🟠 Дискриминант🟠 [Ан∂рей]

Пост выше был посвящён квадратным уравнениям. Не только у многочленов второй степени, но и у произвольного многочоглена есть дискриминант.

🟠 Для приведённого многочлена (старший коэффициент равен 1) с корнями x_1, x_2, ..., x_n дискриминант определяется как произведение (x_i - x_j), где i < j.

Здесь корни многочлена рассматриваются в алгебраически замкнутом расширении поля и выписаны с учётом кратности.

Таким образом, дискриминант многочлена показывает наличие кратных корней:

D = 0 <=> многочлен имеет кратный корень.

Один из способов вычисления дискриминанта является нахождение определителя матрицы Сильвестра (с помощью этого же инструмента можно понять, есть ли у многочленов общие корни), которая строится по многочлену и его производной.

Для x³+px+q дискриминант равен
D = -108 ((p/3)³ + (q/2)²).

P.S. Для тех, кого заинтересовало, разбираться можно начинать с темы результант. Ведь дискриминант — частный случай результанта. 🧡

#Контент #Вышмат #Математика

😩 Паника — с чего начать? 😩 [Ан∂рей]

Время летит очень быстро. И уже совсем скоро начнутся зачёты. Всё чаще возникает вопрос: "Что делать, если всё запущено?" Уже началось дифференциальное исчисление, а до сих пор не до конца понятно определение предела последовательности... 😓

Хочется начать с начала, только в этот раз качественно 
заботать: выучить все определения и формулировки, доказательства, прорешать задачи с 1 сентября.
❗️Так делать не рекомендую❗️

Всё потому, что времени на это уйдёт достаточно много. И со второго (и даже 3, 4) раза понять абсолютно всё не получится. Всегда будут оставаться какие-то дыры. Однако за это время нового материала накопится так много, что давление станет ещё больше.

Моя основная рекомендация — двигаться вперёд, не сдаваться. И если по ходу дела всплывают пробелы, им стоит уделять внимание. Под рукой должен быть листок со всеми определениями и формулировками.

Закрыть предмет и разобраться в теме — разные понятия. И одно может существовать без другого (можно закрыть предмет без понимания и понимать, но не закрыть предмет).

Понимание придёт значительно позже. Нужно время. А пока нужно просто делать и двигаться вперёд! 🥺

P.S. Если вы попали в трудную ситуацию, напишите мне @lav_100k. Вместе придумаем, как эффективно заботать!

#Учёба #Мысли #Вышмат #Математика

✌️ Про генерацию случайной величины ✌️ [Ан∂рей]

Пусть X — случайная величина, равновероятно принимающая значения 1, 2, 3, ... , n. Сколько раз в среднем нужно сгенерировать данную случайную величину, чтобы увидеть каждое из значений?

Эта задача имеет много интерпретаций. Например, под каждой крышкой банки газировки за 100 рублей есть номерок от 1 до 100. Если собрать все номерки, можно получить фирменную кружку. Сколько в среднем предстоит потратить денег, чтобы получить фирменную кружку?

🟠. Первое решение. Пусть x(k) — среднее число генераций, которое нужно сделать, если осталось увидеть k из n значений. Тогда для x(k) можно выписать рекуррентное соотношение:

x(k) = k/n * ( 1+x(k-1) ) + (1-k/n) *(1+x(k) ), x(0) = 0.

Действительно, если нам осталось увидеть k, то с вероятностью k/n случайная величина примет то значение, которого ранее не было. Тогда в среднем останется сделать x(k-1) генераций. И +1, так как одну мы только что сделали. Иначе с вероятностью 1 - k/n случайная величина примет то значение, которое мы же видели, а нам в среднем останется сделать x(k) генераций. И +1, так как одну мы только что сделали.

Выразим x(k) через x(k-1), получаем

x(k) = x(k-1) + n/k.

Нам нужно найти x(n), получаем

x(n) = x(n-1) + n/n = x(n-2) + n/(n-1) +n/n = ... = x(0) + n/1 + n/2 +... + n/n = n * ( 1/1 +1/2 + ... + 1/n ) = n*H(n),

где H_n — n-ое гармоническое число.
Таким образом, ответ: n*H_n.

🟠. Второе решение.
Номер X_1 появления первого нового числа имеет геометрическое распределение с параметром 1,
номер X_2 появления второго нового числа имеет геометрическое распределение с параметром (n-1)/n,
номер X_3 появления второго нового числа имеет геометрическое распределение с параметром (n-2)/n,
номер X_n появления n-ого нового числа имеет геометрическое распределение с параметром 1/n.

Тогда X = X_1 + X_2 + ... + X_n. Используя линейность математического ожидания и тот факт, что EGeom(p) = 1/p, p>0, получаем

EX = 1 + n/(n-1) + n/(n-2) + ... + n/1 = n*H_n

где H_n — n-ое гармоническое число.
Таким образом, ответ: n*H_n.

🟠 При больших n можно воспользоваться асимптотикой H_n ~ ln(n). Или более точным равенство H_n = C + ln(n) + epsilon(n), где постоянная Эйлера C = 0,57721..., а epsilon(n) — бесконечно малая величина.

Таким образом, для получения фирменной кружки в задаче выше в среднем предстоит купить ≈ 519 банок газировки и потратить ≈ 51,9 тысяч рублей.

#Контент #Вышмат #Математика

🤔 Стомахион и танграм — что это? 🤔 [На∂я]

Участвуя в школе в организации математического турнира, мне нужно было придумать интересное развлечение для детей средней школы. В итоге я остановилась на такой игре, как танграм. Это головоломка, в которой из 7 плоских фигур необходимо собрать более сложную фигуру (например, животное, букву или предмет).

Так как времени на всё занятие было предостаточно, мне захотелось в начале рассказать немного об истории игры. Во время поиска информации я наткнулась на игру «Стомахион». Это головоломка, целью которой является собрать квадрат из 14 частей. ⭐️

Оказывается, что Стомахион — не только игра, а ещё и трактат, который приписывают Архимеду. Это сочинение дошло до нашего времени в сокращённом арабском переводе. Содержание трактата посвящено анализу одноимённой головоломки, о которой упоминалось выше.

В трактате Архимед пробовал определить количество различных комбинаций, с помощью которых можно было бы собрать квадрат. На данный момент известно, что таких способов 17 152. Данный результат был получен в декабре 2003 года путём компьютерного перебора всех вариантов. 🤓

#Истории #Вышмат #Математика

↩️ Периодическая дробь -> обыкновенная дробь ↩️ [На∂я]

По одной из легенд о появлении шахмат считается, что некий мудрец придумал правила новой игры и рассказал о них царю. Царь был очарован игрой и предложил создателю самому выбрать награду. Мудрец попросил одно зёрнышко положить на первую клетку, два зёрнышка — на вторую, четыре зёрнышка — на третью и т.д., то есть на каждую следующую клетку приходилось в два раза больше зёрен в сравнении с предыдущей. Такая просьба оказалась невыполнимой. И сейчас мы понимаем, почему же это так.

Давайте посчитаем по формуле геометрической прогрессии, сколько зёрен должно быть:
S = b₁* (qⁿ - 1) / (q - 1) = 2⁶⁴ - 1. Шок! 🤯

Легенда гласит, что царь не остался в долгу, и, выдав все имеющиеся зёрна (которых было меньше, чем нужно), предложил мудрецу пересчитать каждое зёрнышко.

Недавно я наткнулась на ещё одно интересное применение геометрической прогрессии в следующей задаче: записать периодическую дробь 0, (8) обыкновенной дробью.

Кому-то задача покажется очень лёгкой, однако я хочу рассказать об одном из красивых, на мой взгляд, решений.

Понятно, что 0, (8) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + …
Слагаемые в правой части образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с b₁ = 0,8 и q = 0,1. Найдём её сумму: S = b₁ / (1 - q) = 0,8 / 0,9 = 8/9.

Таким образом, 0, (8) = 8/9. 🥺

#Математика #Истории #Вышмат #Контент

💤 Совсем скоро уже декабрь…  💤[На∂я]

а это значит, что приближается пора зачётов, экзаменов и различных дедлайнов. И я думаю, самое время напомнить, как важно давать своему организму время на восстановление! Просмотр фильма — это прекрасная возможность отдохнуть, провести время с друзьями или же сладко поспать. Однако если вы всё-таки заинтересованы в сюжете, то вот подборка фильмов, связанных с математикой:

🟠 Человек, который познал бесконечность;

🟠 Теория простых чисел;

🟠 Игра в имитацию;

🟠 Одарённая;

🟠 Игры разума.

А если вам сложно смотреть длинные фильмы, то советую эти короткометражки:

🟠Тайное число;

🟠Альтернативная математика.

Приятного просмотра! 🧡

#Мысли #Контент

😈 Дифференциальное исчисление и формула Тейлора! 😈 [Ан∂рей]
(Запись: @lav_math_bot)

Продолжаем серию групповых уроков. На повестке дня дифференциальное исчисление и формула Тейлора.
28, 29, 30 ноября и 1, 2 декабря 19:30-21:00 состоятся занятия по темам:
🟠. Производная по определению. Физический, геометрический смыслы.
🟠. Вычисление производных, логарифмическая производная.
🟠. Дифференциал.
🟠. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши).
🟠. Производные высших порядков.
🟠. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и форме Лагранжа.
🟠. Разложение функций по формуле Тейлора и вычисление пределов с помощью этих разложений.

Занятия будут проходить вечером. Видеозаписи, конспекты, домашки будут доступны участникам в закрытой беседе. Присоединиться можно, пока открыта запись. Полезно будет разобраться с темами сейчас, а накануне зачёта и экзамена освежить всё в памяти. По вопросам @lav_100k 🧡
Запись @lav_math_bot.

#Контент #Вышмат #Интенсивы #Учёба #Математика

🤔 Парадокс Рассела 🤔 [На∂я]

Назовём множество обычным в том случае, если оно не является элементом самого себя.

Необычным множеством назовем такое множество, которое само является собственным элементом. В качестве примера Рассел приводит множество всех множеств.

А теперь давайте попробуем рассмотреть множество всех обычных множеств, которое имеет название расселовское, и ответить на вопрос, является ли оно обычным. Здесь как раз и возникает парадокс, есть два варианта:

🟠. Предположим, что расселовское множество является обычным. Если оно обычное, то должно включать себя в качестве элемента, ведь по определению оно состоит из всех обычных множеств. Но в то же время, оно не может быть обычным, так как включает самого себя.

🟠. Предположим, что расселовское множество является необычным. Так как по определению это множество должно состоять только из обычных множеств, то оно не может включать себя в качестве элемента. Но если оно не включает себя в качестве элемента, то это обычное множество.

В обоих случаях получили противоречие. В завершение поста приведём забавную бытовую формулировку этого парадокса:

Пусть в некотором городе живет брадобрей, который бреет всех жителей, которые не бреются сами, и только их. Бреет ли брадобрей самого себя? ❓

#Контент #Вышмат #Математика

Сегодня успешно прошёл первый урок дифференциального исчисления. Разбирали определение и находили производные по определению! 🙂

Напоминаю, что в боте @lav_math_bot есть шпаргалки по замечательным пределам и производным! 🧡

#Контент #Вышмат #Математика

⭐️ Обобщённая формула Пика ⭐️ [На∂я]

Для вычисления площади многоугольника с целочисленными вершинами применяют в основном два способа.

🟠. Можно достраивать или наоборот разбивать на более простые фигуры, считать их площади, а затем с помощью арифметических действий получить площадь исходного многоугольника.

🟠. Использовать формулу Пика:

S = В + Г/2 - 1,

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Оказывается, у формулы Пика существует обобщение. С её помощью можно вычислить площадь многоугольника с «дырками»:

S = В + Г/2 + Д - 1,

где В и Г — количество целочисленных точек внутри и на границе многоугольника соотвественно, а Д – количество многоугольников внутри. ⭐️

Доказывается данная формула по индукции по количеству вершин многоугольника. Сначала (по обычной формуле Пика) рассчитывается площадь многоугольника без "дырок". Затем находятся площади "дырок" (по всё той же стандартной формуле Пика). Используя полученные результаты, остаётся лишь показать, что индукционный переход выполнен.

P.S. Чтобы было легче понять, как работает формула, обратите внимание на картинку.

#Контент #Математика #Вышмат