Термин считается распределенным, если всякий предмет, обладающий свойством, этим термином представляемым, также обладает и свойством, представляемым другим термином, или если ни один предмет, обладающий представляемым данным термином свойством, не обладает свойством, представляемым другим термином. Поэтому иногда говорят, что распределенный термин "берётся в полном объеме".

Таким образом, субъект всегда распределен в общих высказываниях, а предикат - в отрицательных.

Например, проверим умозаключение: "Все футболисты - спортсмены. Все баскетболисты тоже спортсмены. Следовательно, Некоторые баскетболисты - футболисты".

Докажем, что данное умозаключение построено неправильно двумя способами, используя: 1) критерий неправильности умозаключений и 2) общие правила простого категорического силлогизма.

Прежде всего отметим, что данное умозаключение не является заведомо неправильным: каждая его посылка истинна, но и заключение тоже истинное. Поэтому для доказательства его неправильности определим его логическую форму.

Его форма будет иметь следующий вид:
Все P есть М (большая посылка).
Все S есть М (меньшая посылка).
---------------------------------------------
Некоторые S есть Р (заключение).

Пользуясь критерием неправильности умозаключения подбираем контрпример:
Все слоны - животные.
Все мухи - животные.
---------------------------------------
Некоторые мухи - слоны.

В нашем контрпримере каждая посылка истина, а заключение - ложно. Это означает, что вышеуказанная форма умозаключения является неправильной, а следовательно, и исходное рассуждение также не правильно, что нам и требовалось доказать.

Теперь применим общие правила простого категорического силлогизма. По крайней мере одна посылка должна быть общей - данное правило не нарушается, т.к. обе посылки общие.

Если одна из посылок частная, то и заключение должно быть частным - данное правило не нарушается, т.к. обе посылки общие. Хотя бы одна посылка должна быть утвердительной - данное правило не нарушается, т.к. обе посылки утвердительные.

Если одна из посылок отрицательная, то и заключение должно быть отрицательным - данное правило не нарушается, т.к. обе посылки утвердительные.
Если обе посылки утвердительные, то и заключение должно быть утвердительным - данное правило не нарушается, т.к. обе посылки утвердительные и заключение также утвердительное.

Средний термин должен быть распределен хотя бы в одной посылке - это правило нарушается, т.к. средний термин "спортсмены" не распределен ни в одной из посылок. Термин, не распределенный в посылке, не должен быть распределен в заключении - данное правило не нарушается, т.к. и меньший, и больший термины не распределены в заключении.

Таким образом, данный силлогизм построен неправильно, т.к. нарушается требование распределенности среднего термина хотя бы в одной посылке.

На ближайшей конференции "Алгебра и математическая логика: теория и приложения" в Казани я собираюсь озвучить следующий тезис нашего курса: существует формальная система, в которой функция извлечения квадратного корня является примитивно-рекурсивной (т.е. сводимой к операциям "следующий за", "+" и "•").

Одним из следствий этого тезиса является то, что все функции являются примитивно-рекурсивными, вычислимыми и выражаемыми в программах для машин Тьюринга.

В эпистемологическом, историко-научном и философском планах это означает возрождение концепции логицизма - установки, согласно которой все математические или все научные теории вообще представляют собой теоретические модели (содержательные теории) единой универсальной формальной системы (которая и называются Логикой).

Тезис о примитивной рекурсивности функции извлечения квадратного корня приводит нас к утверждению о существовании только счётных (конечных и бесконечных) множеств. Иными словами, я утверждаю (в отличие от общепринятой сегодня точки зрения), что несчетно бесконечных множеств не существует.

Инструментом для реализации концепции логицизма в истории науки и эпистемологии является исчисление предикатов с многосортными предметными переменными.

Ключевой особенностью исчисления предикатов с многосортными предметными переменными является то, что разные предметные переменные принимают значения ("пробегают", как пишет Фреге) на разных предметных областях.