Подсказка к предыдущему опросу - каких людей больше: студентов И спортсменов или студентов ИЛИ спортсменов?

Людей, знающих все живые европейские языки, больше, чем людей, знающих все (живые и мертвые) европейские языки, поскольку среди первых могут быть те, кто знает только живые и не знает мёртвых. Подобно этому, студентов (вообще) больше, чем студентов И спортсменов.

Поэтому понятие (1) "человек, знающий все живые и мертвые европейские языки" меньше по объему понятия (2) "человек, знающий все живые или мёртвые европейские языки". Поэтому правильный ответ (2) > (1).

При этом оказывается, что понятия, равные по содержанию (одно и тоже количество признаков), не равны по объему.

Отчасти повторюсь: когда мы рассматриваем какую-либо содержательную теорию с формальной (логической) точки зрения, то для нас существенно, чтобы выполнялось требование увеличения содержания понятия при сокращении его объема - этот прием и называется ограничением понятия (и наоборот).

Когда мы осуществляем обобщение понятия в содержательной теории, то останавливаемся на универсальных понятиях, т.е. на тех, для которых родо-видовое (явное) определение дать невозможно, поскольку для них нет родовых понятий.

Здесь и оказывается, что в содержательных научных теориях мы начинаем апеллировать к другим научным теориям с теми же терминами, а в естественном языке (например, посредством толкового словаря) начинаем объяснять одни выражения через другие (попадая в циклы, круги в определениях).

Альтернативой явному родо-видовому определению выступает приём, аналогичный определению множества через перечисление (называние) каждого его элемента. В научном исследовании или при построении содержательной теории мы поступаем подобным образом, когда не располагаем полной информацией о свойствах и отношениях изучаемых объектов.

Определение формулы, как мы давали его для исчисления высказываний (#ФормулаИсчисленияВысказываний), представляет собой пример индуктивного определения, когда мы предъявляем каждый вид данного рода и говорим, что индивидов других видов не существует.

Очень похожим образом мы рассуждаем по аксиоме математической индукции:

Здесь "0" (нуль) единственный индивидуальный символ (предметная константа), а знак " ' " - операция "следующий за" (инкремент).

Если под предикатом А в этой формуле понимать свойство быть натуральным числом, то аксиому математической индукции можно прочитать так: "Если 0 - натуральное число, и Для всякого n верно, что если n - натуральное число и число, следующее за ним - тоже натуральное число, То n - натуральное число".

#ВозрождениеЛогицизма Мы собираемся использовать результаты, полученные при изучении формальных систем (формальных теорий), для утверждения позиции, согласно которой все не только математические, но и научные теории вообще могут быть рассмотрены, как такие модели этой единственной формальной теории, в которых наполнение содержанием представляет собой приписывание определенной природы объектам разных предметных областей и изучение их свойств и отношений.

Зачастую в истории науки случается так, что бывает затруднительно определить дату или год, когда тот или иной основополагающий термин входит в научный словооборот, появляется данная концепция или возникает определенный метод, использование которого становится существенным при демаркации научных специальностей. Например, слово "логика" её основоположник Аристотель не употреблял (по крайней мере, в сохранившихся до нас текстах), и только в сочинениях Диогена Лаэртского и Секста Эмпирика мы встречаем сообщения том, что этот термин впервые использовали более поздние современники Аристотеля -- философы-стоики.

Но бывает и так, что начало исторического пути концепции, метода, теории или научной специальности можно датировать по моменту выхода в свет определенной работы: так происходит с термодинамикой и статьей Клаузиуса (1850), диагональным методом Кантора (1891), метаматематикой Гильберта и Бернайса (1939) и др.

Подобным образом мы будем разделять с эпистемологической и философско-научной точек зрения логицизм на до' и после систематического и обстоятельного изучения в метаматематике формальной теории -- теории, в которой каждое значимое выражение используется автонимно, т.е. обозначает только само себя, а отправным событием этого деления мы предложили бы считать публикацию "Введения в метаматематику"' Клини (1952).

Какие-то необычные сообщения от Телеграма по поводу подтверждения входа в аккаунт - надеюсь, все будет ок.

В абстрактно-идеальной ситуации многим ученым хотелось бы, чтобы существовала некая теоретическая схема, дающая возможность наполнять эмпирическим содержанием их теории, подсказывать направления поисков и верифицировать экспериментальные данные, подобно таблице химических элементов Менделеева, позволяющей открывать новые химические элементы и предсказывать их свойства. Советские ученые, например, в качестве такой теоретической схемы могли использовать материалистическую диалектику.

Возьмемся утверждать, что такое приложение метаматематики в эпистемологии и философии науки, при котором содержательные научные теории рассматриваются как различные модели некоторой единой универсальной формальной системы, отличающиеся природой объектов рассматриваемой предметной области, их свойств и отношений, позволит представить процесс развития научного знания последовательно и кумулятивно.