Очень похожим образом мы рассуждаем по аксиоме математической индукции:

Здесь "0" (нуль) единственный индивидуальный символ (предметная константа), а знак " ' " - операция "следующий за" (инкремент).

Если под предикатом А в этой формуле понимать свойство быть натуральным числом, то аксиому математической индукции можно прочитать так: "Если 0 - натуральное число, и Для всякого n верно, что если n - натуральное число и число, следующее за ним - тоже натуральное число, То n - натуральное число".

#ВозрождениеЛогицизма Мы собираемся использовать результаты, полученные при изучении формальных систем (формальных теорий), для утверждения позиции, согласно которой все не только математические, но и научные теории вообще могут быть рассмотрены, как такие модели этой единственной формальной теории, в которых наполнение содержанием представляет собой приписывание определенной природы объектам разных предметных областей и изучение их свойств и отношений.

Зачастую в истории науки случается так, что бывает затруднительно определить дату или год, когда тот или иной основополагающий термин входит в научный словооборот, появляется данная концепция или возникает определенный метод, использование которого становится существенным при демаркации научных специальностей. Например, слово "логика" её основоположник Аристотель не употреблял (по крайней мере, в сохранившихся до нас текстах), и только в сочинениях Диогена Лаэртского и Секста Эмпирика мы встречаем сообщения том, что этот термин впервые использовали более поздние современники Аристотеля -- философы-стоики.

Но бывает и так, что начало исторического пути концепции, метода, теории или научной специальности можно датировать по моменту выхода в свет определенной работы: так происходит с термодинамикой и статьей Клаузиуса (1850), диагональным методом Кантора (1891), метаматематикой Гильберта и Бернайса (1939) и др.

Подобным образом мы будем разделять с эпистемологической и философско-научной точек зрения логицизм на до' и после систематического и обстоятельного изучения в метаматематике формальной теории -- теории, в которой каждое значимое выражение используется автонимно, т.е. обозначает только само себя, а отправным событием этого деления мы предложили бы считать публикацию "Введения в метаматематику"' Клини (1952).

Какие-то необычные сообщения от Телеграма по поводу подтверждения входа в аккаунт - надеюсь, все будет ок.

В абстрактно-идеальной ситуации многим ученым хотелось бы, чтобы существовала некая теоретическая схема, дающая возможность наполнять эмпирическим содержанием их теории, подсказывать направления поисков и верифицировать экспериментальные данные, подобно таблице химических элементов Менделеева, позволяющей открывать новые химические элементы и предсказывать их свойства. Советские ученые, например, в качестве такой теоретической схемы могли использовать материалистическую диалектику.

Возьмемся утверждать, что такое приложение метаматематики в эпистемологии и философии науки, при котором содержательные научные теории рассматриваются как различные модели некоторой единой универсальной формальной системы, отличающиеся природой объектов рассматриваемой предметной области, их свойств и отношений, позволит представить процесс развития научного знания последовательно и кумулятивно.

Открытие новых объектов в рассматриваемой прежней теорией предметной области с новыми свойствами и отношениями требует формулировки новых законов для расширенных предметных областей, на которых прежние законы уже перестают действовать: так произошло и с классической механикой Ньютона, частной и затем общей теориями относительности Эйнштейна, и с геометрией Евклида, Лобачевского, Риммана.

Мы полагаем, что некоторые изменения в метаматематических установках гильбертовой и генценовской дедуктивных систем -- а именно формулировки выводов исчисления предикатов с многосортными предметными переменными и дополнение символизма чистого исчисления предикатов предметными константами могли бы позволить вернуться к идее Mathesis Universalis Декарта и Лейбница, а также к логицистской установке Фреге, Рассела и Уайтхеда, и заговорить о новом этапе в развитии логицизма.

Под логицизмом в узком смысле слова будем понимать эпистемологическую установку, согласно которой все содержательные математические теории представляют собой различные интерпретации формальной теории. Логицизм в широком смысле слова -- это установка, согласно которой любая научная, не только математическая, теория представляет собой определенную модель формальной системы, отличающуюся от других содержательных теорий природой объектов рассматриваемой предметной области, их свойств и отношений.

Примером первого подхода являются концепции Фреге, Рассела и Уайтхеда, а примером второго -- идея Mathesis Universalis Декарта и Лейбница. Логицизм в узком смысле слове можно противопоставить формализму Гильберта и Бернайса и интуиционизму Брауэра. Логицизм в широком смысле слова следует отличать от логического позитивизма -- установки, согласно которой логика представляет собой универсальный язык или синтаксис науки, а научная теория -- это та, в которой формальные системы знаков наполняются эмпирическим содержанием.

Если научной будет считаться только та теория, положения которой верифицируемы в опыте -- то такая установка называется неопозитивизмом, пример -- концепции Карнапа, Гемпеля и Куайна, а если только та, положения которой фальсифицируемы в опыте -- то постпозитивизмом: например, критический рационализм Поппера.

Настоящая классификация неопозитивизма и постпозитивизма как видов логического позитивизма отличается от общепринятой и более распространенной в истории и философии науки , согласно которой неопозитивизм и логический позитивизм отождествляются, а постпозитивизм рассматривается особняком (поскольку эпистемологические установки коллег Поппера -- Куна и Фейерабенда в меньшей степени привязаны к логике и логическому формализму, как универсальному языку науки).

Один из моих аргументов в пользу того, что логика является более общей теорией, чем арифметика (теория натуральных чисел), заключается в том, что закон дистрибутивности конъюнкции и дизъюнкции в логике действует в обе стороны, тогда как в арифметике сложения и умножения - только в одну.

Законы дистрибутивности в логике

В арифметике