Задачи в формальных теориях сводятся к следующим типам: 1) установить, являются ли рассматриваемые в задаче предметы (объекты, символы) значимыми в данной теории - задача на распознавание путём установления тождества совокупности отличительных признаков образцов значимых выражений и рассматриваемых в задаче объектов; например, при построении исчисления предикатов мы говорим, что "предметная константа - это малая (строчная) буква латинского алфавита с числовым индексом в правом нижнем углу" и затем спрашиваем:

Пусть предметная переменная - это малая (строчная) буква без числовых индексов в правом нижнем углу. Тогда:

Почему нам так важно особое внимание уделить предметным константам, или индивидным символам, как их называет Клини? Потому, что они обозначают отдельные объекты рассматриваемых предметных областей, которые в рамках соответствующих теорий в дальнейшем не детализируются на другие объекты. Таковы: натуральное число в арифметике, точка в геометрии, материальная точка в классической механике, пропозициональная буква в логике высказываний, уникальные собственные имена в грамматике и особи в теории онтогенеза.

В теории множеств - это элементы, которые сами не являются множествами; в анкетных опросах - это каждый опрашиваемый, а в реляционных базах данных - это отдельная строка с уникальным идентификационным индексом (обычно - порядковым номером в данной таблице).

Особенность исчисления предикатов с многосортными предметными переменными - наличие разных предметных переменных в разных областях

Определения и логические формы в виде формул исчисления высказываний наиболее распространенных видов умозаключений (условно-категорических, разделительно-категорических и условно-разделительных) здесь: #РазделительноКатегорическиеУмозаключения #УсловноКатегорическиеУмозаключения #УсловноРазделительныеУмозаключения

В связи с тем, что в исчислении предикатов с многосортными предметными переменными существуют различные универсумы рассуждения (предметные области) действие принципа исключённого третьего (tertium non datur) будет распространяться только на ту предметную область, на которой задаётся предикат.

Например. В отношении предикатов "позвоночное" и "беспозвоночное" на универсуме животных действует принцип исключённого третьего: животное может быть тем либо другим, но не может не быть ни тем, ни другим; тогда как, скажем, о растениях мы не говорим ни "позвоночное", ни "беспозвоночное". То есть в отношении растений оба высказывания "Это растение есть позвоночное" и "Это растение есть беспозвоночное" окажутся ложными.

Где Х - животные, Y - растения, A - позвоночные

Такой подход, как я рассчитываю, позволит нам при построении исчисления предикатов с многосортными предметными переменными (т.е. логической теории в которой только один тип переменных - предметные переменные) в теории моделей изложить и классическое, и интуиционистское исчисления предикатов первого порядка , и в добавок, "бонусом", представить особым образом миры, модели и шкалы Крипке - одной из самых популярных разновидностей других неклассических (помимо интуиционистской) логик.

Так это выглядит в символизме исчисления предикатов с многосортными предметными переменными

Для свойства А из универсума рассуждения X, по которому, как ещё говорят, "пробегает" предметная переменная x, выполняется принцип tertium non datur, а для универсума рассуждения Y - не выполняется, поскольку утверждения об обоих отрицаниях оказываются неверными (ложными). При этом принцип противоречия мы не нарушаем, так как никакому объекту не приписываем и не отрицаем одновременно никаких свойств (в данном примере - свойство А) - на модельной схеме это обстоятельство выражается тем, что не существует точек, символизирующих отдельные объекты, которые располагались бы на окружности А.

Мы отмечаем, что при записи предметной переменной добавление к ней числового индекса в правом нижнем углу образует предметную константу. Индексация предметных констант осуществляется с помощью определенной выбранной системы счисления. Например, мы можем выбрать единичную (унарную) систему счисления, в которой каждый предмет рассматриваемой предметной области будет отличаться от другого при записи своего индивидуального символа количеством единиц в наборе - его уникальном собственном имени (proper name).

Вопрос о возможности выражения уникального собственного имени в формальной системе, где все значимые выражения представляют исключительно самих себя (т.е. используются автонимно), решается таким образом утвердительно и сравнительно несложно. Однако в естественном языке у нас возникают проблемы: либо уникальное собственное имя - это результат соглашения (возможно, молчаливого и не выраженного в утвердительной форме), либо уникальность имени выражает уникальность обозначаемого этим именем предмета вне зависимости от каких-либо соглашений пользователей языка. Один из самых ранних (и лучших) философских текстов по этому вопросу - диалог Платона "Кратил".

Приложение к теории познания (гносеологии). Представим себе, что универсум рассуждения Y на вышеуказанной схеме - это предметная область пяти-мерного мира (в котором 4-ое измерение (4-ая переменная) - это время), где 5-ый параметр - способность, например, зрительного восприятия 4-х мерного объекта в 3-х измерениях пространства. То есть, каждому объекту предметной области X мы сопоставляем 3 пространственных характеристики, которые считаются уникальными для любого объекта чувственно воспринимаемого мира (поскольку два тела не могут одновременно занимать одно и то же место), а 4-ая характеристика - время, т.е. параметр посредством которого фиксируются изменения положения объекта относительно других объектов или изменение его других (не пространственных) признаков.