Связка - это выражение, посредством которого признак приписывается предмету либо отрицается в отношении него. Поэтому связки существуют двух типов: утвердительная связка ЕСТЬ и отрицательная НЕ ЕСТЬ, с помощью утвердительной мы приписываем признаки, а с помощью отрицательной - отрицаем.

Если свойство (или отношение) приписываемое предмету либо отрицаемое в отношении него в действительности, соответственно, принадлежит либо не принадлежит данному предмету, то такие высказывания называются истинными, в противном случае - ложными. Истина и ложь - это значения высказываний.

Умозаключением (рассуждением) будем называть переход от одного или нескольких высказываний к другому. Исходные высказывания называются посылками, а то, которое получается в результате - заключением.

Например, следующие совокупности высказываний являются примерами умозаключений (рассуждений):

Все греки – люди.
Сократ – грек.
Следовательно, Сократ – человек.

Если идет дождь, то асфальт – мокрый.
Неверно, что асфальт мокрый.
Значит, Неверно, что идет дождь.

Все футболисты – спортсмены.
Все баскетболисты – тоже спортсмены.
Следовательно, Некоторые баскетболисты играют в футбол.

Если идет дождь, то асфальт – мокрый.
Асфальт мокрый.
Таким образом, Идет дождь.

Первые два умозаключения – правильные, а два последних – неправильные.

Во всех вышеперечисленных примерах умозаключений первые два предложения - посылки, а третье - заключение. В первом и третьем примерах обе посылки и заключение - простые высказывания; во втором и четвертом - вторая посылка и заключение - простые высказывания, а первая - сложное. Понятия в первом и третьем: Сократ, грек, человек, футболист, баскетболист, спортсмен; во втором и четвертом - дождь, идёт, асфальт, мокрый.

Вместе с древнегреческим философами-стоиками 4-3 вв. Хрисиппом, Зеноном (это не тот Зенон, чьи апории о невозможности движения мы обсуждали) и Аркесилаем мы будем считать очевидно неправильным умозаключение, в котором каждая посылка истина, а заключение - ложно.

Когда подобным образом мы формулируем то, что может быть названо критерием правильности умозаключения (рассуждения), то надо учесть следующее обстоятельство: мы предполагаем, что по крайней мере для того, кто выстраивает это рассуждение, значения посылок и заключения являются очевидными или непосредственно достоверными или уже известными или интуитивно принимаемыми. И в этом случае выстраивающий умозаключение с истинными посылками и ложным заключением рассуждает заведомо неправильно.

О критерии правильности (неправильности) умозаключения более подробно: #КритерийНеправильностиУмозаключений

Следующие однопосылочные (непосредственные) умозаключения построены правильно:

Все яблоки - фрукты.
Следовательно,
Некоторые фрукты - яблоки.

Все яблоки - фрукты.
Следовательно,
Некоторые яблоки - фрукты.

Все яблоки - фрукты.
Следовательно,
Все яблоки - фрукты.

Все яблоки - фрукты.
Следовательно,
Ни один предмет, не являющийся фруктом, не есть яблоко.

Теперь неправильные однопосылочные умозаключения:

Все яблоки - фрукты.
Следовательно,
Все фрукты - яблоки.

Все яблоки - фрукты.
Следовательно,
Ни один фрукт не является яблоком.

Все яблоки - фрукты.
Следовательно,
Все яблоки - растения.

Все яблоки - фрукты.
Следовательно,
Все груши - фрукты.

Об использовании букв и чисел для записи предметных переменных и предметных констант. Для записи предметных переменных, как это и общепринято сегодня, мы будем использовать малые (строчные) буквы латинского алфавита, а для записи предметных констант будем к малым буквам латинского алфавита добавлять в правом нижнем углу число (числовой индекс). Подчеркнём, что предметная переменная может обозначать любой объект рассматриваемой предметной области, а предметная константа - единственный.

Предметная константа может быть рассмотрена как точное (т.е. уникальное и неповторимое) собственное имя отдельного объекта рассматриваемой предметной области, а предметная переменная - как неопределённое местоимение.

Пример

Формализация первого (правильного) из вышеперечисленных умозаключений с предметными переменными будет выглядеть так:
Всякий объект х, который обладает свойством S (является яблоком), обладает свойством P (есть фрукт).
Следовательно, Некоторые объекты х, которые обладают свойством Р (являются фруктами) есть S (являются яблоками).

Когда Гегель в 83 параграфе Энциклопедии философских наук говорит о делении логики на учения о бытии, о сущности и о понятии и идее, то он замечает следующее: "доказать означает в философии показать, как предмет через самого себя и из самого себя делает себя тем, что он есть".

В Гегелевской системе абсолютного знания, которая начинается с Логики, предмет, делающий себя из самого себя - это мыслящее само себя мышление. В нашем случае - это мышление, изучающее себя в логических теориях и возвращающееся в заключении рассуждения к своим исходным высказываниям - посылкам. Можно сказать, рекурсивно мыслящее само себя мышление.

О счислениях и исчислениях. Система счисления - это перечень символов, используемых для записи чисел, а также совокупность правил, по которым числа будут записываться. В школе, прежде чем приступить к изучению арифметики, мы знакомимся именно со системой счисления - цифрами, которые в дальнейшем будем использовать для записи чисел. Арифметические операторы (например, +, -, :, *) не относятся к системе счисления. При построении исчисления нам также прежде всего предстоит явным образом показать (перечислить) каждый символ, составляющий строящееся исчисление. Если в системах счисления это цифры, то в логических теориях это логические операторы, символы для обозначения выражений, от содержания которых мы отвлекаемся, а также скобки.

В грамматике мы также поступаем подобным образом, начиная её изучение с алфавита. С точки зрения образовательного процесса это означает, что изучение логических теорий вряд ли целесообразно предпосылать знакомству с алфавитом и цифрами.

Составление логических задач. Ранее мы установили, что одно из оснований построения логических теорий - доказательство правильности либо неправильности умозаключения (рассуждения). При чем если для доказательства неправильности произвольного умозаключений достаточно привести контрпример умозаключения той же формы, где каждая посылка была бы истинной, а заключение - ложным, то для доказательства правильности требуется построить теорию, в которой будут сформированы определения, положения и приёмы, позволяющие это сделать.

Такие теории в логике делятся на формальные и содержательные в зависимости от того, обозначают ли их значимые выражения, соответственно, сами себя или объекты любой другой природы.