Наше определение доказательства (того, что такое доказательство, или того, что называется доказательством) содержит определяемую часть - слово доказательство, и определяющую – словосочетание правильное умозаключение. И определяемая, и определяющая части определения выражаются понятиями. Кроме того, нужно заметить, что определение не является умозаключением, а представляет собой отдельно взятое утверждение, которое мы можем рассматривать как: 1) высказывание, истинное на некоторой предметной области; 2) допущение, необходимое для построения дальнейших рассуждений.

Сложносочинённые предложения «Всякое доказательство – умозаключение, но Существуют умозаключения, не являющиеся доказательствами» и «Доказательство – это правильно построенное умозаключение, и наоборот, правильно построенное умозаключение – это доказательство» не являются умозаключениями: в них нет тех предложений, которые выводились бы («получались») из других – в естественном языке на наличие умозаключения явным образом показывают выражения типа «следовательно», «значит», «поэтому». Предложения, предшествующие выражениям указанного типа называются посылками, а то предложение, которое следует за ним – заключением. В дальнейшем последовательность предложений естественного языка, в которых не встречается выражение, явным образом указывающее на наличие перехода от посылок к заключению (т.е. умозаключения), считать умозаключениями (или рассуждениями) не будем.

Другой особенностью посылок и заключения рассуждений является то, что они должны быть повествовательными предложениями – из побудительных предложений, выражающих эмоции или призыв к действию, или из вопросительных, выражающих заинтересованное ожидание разрешения некоторого неопределенного положения дел в известной предметной области, выводов делать не будем (разве что косвенным, как сказал бы Аристотель, «привходящим» образом) – например, призыв «Все на борьбу с Деникиным» может рассматриваться как свидетельство нехватки красноармейцев на фронте, а риторический вопрос: «Разве Волгоград не является городом-героем?» – как утверждение в форме вопросительного предложения.

"Виртуальная экскурсия"

О правильности и неправильности умозаключений и истинности и ложности высказываний.

Об умозаключениях (рассуждениях) мы будем говорить как о правильных либо как о неправильных - умозаключения не бывают истинными либо ложными (!).

О высказываниях, наоборот, говориться как об истинных либо ложных, но высказывания не бывают правильными либо неправильными (!).

Говорить на русском иначе - значит не обладать достаточным для науки о доказательстве знанием различий слов современного русского языка.
Слова "верно" и "неверно" (которые мы, например, часто использовали в школе при проверке правильности решения уравнений) двусмысленны - они могут употребляться и в значении правильно и истинно, и в значении неправильно и ложно (соответственно), поэтому их не следует использовать, чтобы избежать двусмысленности в строгих рассуждениях, в других случаях (например, когда двусмысленность целесообразна или контекст допускает очевидно однозначное прочтение) они окажутся вполне уместными и своевременными.

Когда мы говорим о высказываниях, то требуем, чтобы: во-первых, ни одно из них не могло быть одновременно и в одном и том же смысле истинным и ложным, то есть соответствующим и не соответствующим положению дел в рассматриваемой предметной области - это принцип противоречия; во-вторых, никакое высказывание не могло бы иметь какое-либо другое значение, кроме истина и ложь, иными словами, содержание высказывания может либо соответствовать реальному положению дел либо не соответствовать ему, и третьего не дано - tertium non datur - принцип исключённого третьего.

Когда мы говорим об умозаключениях (рассуждениях), то утверждаем, что: во-первых, одно и то же умозаключение в одном и том же отношении не может быть одновременно правильным и неправильным - в этом принцип противоречия; во-вторых, одно и то же умозаключение может быть либо правильным либо неправильным, третьего не дано - в этом принцип исключённого третьего.

Итак, мы определили доказательство как правильное умозаключение (рассуждение). В нашем случае сказать так всё равно, что сказать: "Мы определили понятие "доказательство" ". Заметим, что сегодня определения первого вида обычно называются реальными, а вторые - номинальными.
Примечание. Иногда в ходе занятий учителя ставят задачу, например: "дать понятие доказательству". Конечно, задачи подобного рода следует понимать в смысле предписания "дать определение понятию доказательство", поскольку буквально немыслящей сущности нельзя передать форму мышления.

Умозаключение (рассуждение) - это последовательность высказываний, соединённых посредством слов следовательно, значит, поэтому и тому подобных.
Высказывания, предшествующие слову "следовательно" и ему подобным, называются посылками, а следующие за ним - заключением.
Если в совокупности предложений нет вышеприведенных слов, явным образом указывающих на переход от посылок к заключению, то будем говорить, что такая последовательность высказываний не является умозаключением.

Способ связи высказываний в умозаключении или также способ связи понятий в посылках и заключении называется формой (или логической формой) умозаключения. Способ связи высказываний в умозаключении выражается союзами (логическими союзами, propositional connectives, пропозициональными связками): 1) И (конъюнкция), 2) ИЛИ (дизъюнкция), 3) ЕСЛИ..., ТО... (импликация), 4) ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА (эквиваленция) и другими. Способ связи понятий в высказывании выражается связками ЕСТЬ и НЕ ЕСТЬ.

С точки зрения обыденного сознания или с точки зрения человека только приступающего к изучению логики, она может быть представлена двояким образом: во-первых, как наука о порядке в рассуждениях (в последовательности высказываний о некоторых событиях); во-вторых, как наука о порядке в последовательности самих этих событий.
Например, утверждение основания условного высказывания, выступающего посылкой умозаключения, с такой же достоверностью приведет к утверждению высказывания-следствия условной посылки в заключении, с какой мы вправе ожидать наступления следствия-события после осуществления причины.

С философской точки зрения, наука логики (Гегель) или общее наукоучение (Фихте) должны начинаться, соответственно, с бытия и небытия или с тождества чистого Я себе самому. Напомним, что по Гегелю "Логика - это тот план, по которому Бог строит мир".

В истории науки и эпистемологии сверхпристальное внимание к логике проявляется в рамках изучения оснований математики вообще и отдельных математических теорий в частности, начиная с 1910 года (выход первого тома Principia Mathematica Уайтхеда и Рассела) и до 40-х годов того же столетия. Фундаментальный вопрос здесь: что выступает основанием чего - логика математики (Рассел, Уайтхед, Гильберт и другие) или, наоборот, математика логики (Брауэр и его адепты). Примерно в этот период в научный словооброт и входит понятие Математическая логика, которое впоследствии станет названием одноименной специальности. Здесь изучается логика, теснейшим образом связанная с математическими теориями.

Предметные области и интерпретации в теории моделей.

Для обозначения количества объектов (предметов) рассматриваемой предметной области мы используем количественные числительные - в естественном языке это слова, обозначающие количество предметов, а в арифметике - это символы, их заменяющие - натуральные числа. Представление об определенном количестве предметов рассматриваемой предметной области мы получаем обычно благодаря их пересчету. При пересчёте мы используем порядковые числительные, для записи которых также используем натуральные числа.

Заметим, что символизм записи натуральных чисел с помощью цифр выбранных систем счисления, в отличие от естественного языка, не отражает вышеуказанного различия числительных.

Например. Количественные числительные: один, два, три, ..., две тысячи двадцать пять и тому подобные.
Порядковые числительные: первый, второй, третий, ..., две тысячи двадцать пятый и тому подобные.

В теории множеств количество элементов, входящих в данное множество, выраженное количественным числительным, называется мощностью множества. Можно также сказать, что количественное числительное - это ответ на вопрос: "Сколько...?", в нашем случае: "Сколько элементов входит во множество?"

Гильберт и Бернайс Основания математики. Т.1, М.: Наука 1979

В оригинале на немецком, первое издание 1934 год

Методы, используемые для доказательства правильности и неправильности умозаключений.

Мы выяснили, что критерий неправильности умозаключения, состоящий в том, что умозаключение является неправильным тогда и только тогда, когда оно имеет неправильную форму (логическую форму), а форма умозаключения является неправильной, тогда и только тогда, когда существует такое умозаключение данной формы, где каждая посылка истинна, а заключение ложно, не может быть использован для доказательства правильности умозаключений, поскольку невозможно рассмотреть (проверить) всё бесконечное множество содержательно различных умозаключений, которые могут быть построены по данной форме.

Это - одна из причин, по которым мы строим логические теории: нам нужны средства (инструменты, методы), для того, чтобы доказывать правильность умозаключений. К таким методам относятся, в частности: таблицы истинности, семантические (аналитические) таблицы, секвенциальные деревья, эквивалентные преобразования и формальные выводы и доказательства.

Мотивы для изучения логики: 1) проверка рассуждений на предмет их правильности и формирование способности доказывать правильность либо неправильность произвольного рассуждения - Аристотель определяет логику как науку о доказательстве; 2) умение строить правильные или правдоподобные умозаключения; 3) уверенность в полноте рассмотрения возможных вариантов достижения цели и их всевозможных сочетаний; 4) выбор наилучшего, наиболее приемлемого пути достижения цели или решения задачи - Колмогоров определяет логику как науку о решении задач; 5) объяснение определённой последовательности событий, ответ на вопрос: почему из всех возможных вариантов развития событий случился именно этот? - тезис Лейбница о том, что мы живём в лучшем из возможных миров Mathesis Universalis - предпосылкой выступает уверенность в том, что "порядок и связь идей те же, что порядок и связь вещей"; 6) реализация высшей духовной потребности - пребывание духа в своей собственной стихии - стихии мышления, так утверждает Гегель; 7) удовольствие мышления от свободы пребывания в себе самом - эпикурейцы, Кант.

Соответственно: 1) для доказательства неправильности произвольного умозаключения мы можем воспользоваться поиском контрпримера (разумеется, если оно не является очевидно неправильным - с истинными посылками и ложным заключением), а для доказательства правильности - воспользоваться каким-либо методом логической теории. Простейшей такой теорией является теория истинностных функций, или элементарная логика высказываний, или исчисление высказываний в теории моделей, а метод, которым обычно пользуются для определения правильности рассматриваемых рассуждений - таблицы истинности. 2) Умению строить правильные или правдоподобные умозаключения наилучшими образом помогают изучение формальных систем дедуктивной логики, т.е. построение исчисления высказываний и исчисления предикатов в теории доказательств и упражнения по формальному доказательству теорем или выводу определенных формул из заранее определенных посылок.

3) Уверенность в том, что, разбирая возможные варианты развития событий или возможные способы решения задачи, мы не пропустили никакой из них (свойство полноты), приобретается, пожалуй, наилучшим образом в булевой алгебре, или алгебре высказываний при доказательстве теоремы Поста о полноте системы булевых функций с помощью концепции замкнутых классов. Вопрос же о совместимости и несовместимости вариантов решается методом оценок в теории доказательств (метаматематике) и изучением специфики n-местных отношений в исчислении предикатов.