В оригинале на немецком, первое издание 1934 год

Методы, используемые для доказательства правильности и неправильности умозаключений.

Мы выяснили, что критерий неправильности умозаключения, состоящий в том, что умозаключение является неправильным тогда и только тогда, когда оно имеет неправильную форму (логическую форму), а форма умозаключения является неправильной, тогда и только тогда, когда существует такое умозаключение данной формы, где каждая посылка истинна, а заключение ложно, не может быть использован для доказательства правильности умозаключений, поскольку невозможно рассмотреть (проверить) всё бесконечное множество содержательно различных умозаключений, которые могут быть построены по данной форме.

Это - одна из причин, по которым мы строим логические теории: нам нужны средства (инструменты, методы), для того, чтобы доказывать правильность умозаключений. К таким методам относятся, в частности: таблицы истинности, семантические (аналитические) таблицы, секвенциальные деревья, эквивалентные преобразования и формальные выводы и доказательства.

Мотивы для изучения логики: 1) проверка рассуждений на предмет их правильности и формирование способности доказывать правильность либо неправильность произвольного рассуждения - Аристотель определяет логику как науку о доказательстве; 2) умение строить правильные или правдоподобные умозаключения; 3) уверенность в полноте рассмотрения возможных вариантов достижения цели и их всевозможных сочетаний; 4) выбор наилучшего, наиболее приемлемого пути достижения цели или решения задачи - Колмогоров определяет логику как науку о решении задач; 5) объяснение определённой последовательности событий, ответ на вопрос: почему из всех возможных вариантов развития событий случился именно этот? - тезис Лейбница о том, что мы живём в лучшем из возможных миров Mathesis Universalis - предпосылкой выступает уверенность в том, что "порядок и связь идей те же, что порядок и связь вещей"; 6) реализация высшей духовной потребности - пребывание духа в своей собственной стихии - стихии мышления, так утверждает Гегель; 7) удовольствие мышления от свободы пребывания в себе самом - эпикурейцы, Кант.

Соответственно: 1) для доказательства неправильности произвольного умозаключения мы можем воспользоваться поиском контрпримера (разумеется, если оно не является очевидно неправильным - с истинными посылками и ложным заключением), а для доказательства правильности - воспользоваться каким-либо методом логической теории. Простейшей такой теорией является теория истинностных функций, или элементарная логика высказываний, или исчисление высказываний в теории моделей, а метод, которым обычно пользуются для определения правильности рассматриваемых рассуждений - таблицы истинности. 2) Умению строить правильные или правдоподобные умозаключения наилучшими образом помогают изучение формальных систем дедуктивной логики, т.е. построение исчисления высказываний и исчисления предикатов в теории доказательств и упражнения по формальному доказательству теорем или выводу определенных формул из заранее определенных посылок.

3) Уверенность в том, что, разбирая возможные варианты развития событий или возможные способы решения задачи, мы не пропустили никакой из них (свойство полноты), приобретается, пожалуй, наилучшим образом в булевой алгебре, или алгебре высказываний при доказательстве теоремы Поста о полноте системы булевых функций с помощью концепции замкнутых классов. Вопрос же о совместимости и несовместимости вариантов решается методом оценок в теории доказательств (метаматематике) и изучением специфики n-местных отношений в исчислении предикатов.

Определения и примеры совершенной дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной нормальной форм формулы

Одна из основных причин изучения совершенных дизъюнктивной и совершенной конъюнктивной нормальной форм формул - возможность по внешнему виду формулы решить вопрос, является ли она тождественно истинной или нет. Формула, совершенная дизъюнктивная нормальная форма которой содержит 2 в степени n (где n - количество различных собственных пропозициональных букв данной формулы) элементарных конъюнкций, является тождественно истинной. Таким образом, сведение формулы, выражающей форму умозаключения к совершенной дизъюнктивной нормальной форме, является методом алгебры высказываний, который может быть использован для определения правильности рассуждений.

Завтра в 12.00 мск здесь на канале онлайн-трансляция по дедуктивной логике высказываний (исчислению высказываний в теории доказательств): определения формул исчисления высказываний, правила преобразования формул - схемы аксиом и правило вывода, понятия формального доказательства и формального вывода.

Сегодня попробуем трансляцию с чатом - задавайте, пожалуйста, вопросы, пишите комментарии...

Сейчас я попробую запустить трансляцию, чтобы проверить обратную связь и возможности такого формата. У кого есть возможность - подключайтесь!

#ИсчислениеПредикатов
Начнём Исчисление предикатов. Необходимость построения этой логической теории состоит в том, что существуют рассуждения, правильность которых не вызывает сомнений, но эта правильность не может быть доказана средствами исчисления высказываний такими, как таблицы истинности, совершенные дизъюнктивные нормальные формы или формальные доказательства.
Если заменить заимствованное из латинского слово "предикат", то Исчисление предикатов можно было бы назвать Исчислением высказываний, учитывающим способ связи понятий, из которых эти высказывания состоят.

Использование прописной буквы в названии этой теории привходящим образом обращает наше внимание на следующую особенность: некоторые понятия, рассматриваемые нами, будут собственными именами обозначаемых ими предметов. Для записи (символического обозначения) таких понятий мы будем использовать предметные константы.

Например, умозаключения: "Все студенты - учащиеся. Следовательно, Некоторые учащиеся - студенты" и "Все люди - смертны. Сократ - человек. Следовательно, Сократ - смертен" являются правильными, но их правильность подтверждается только в том случае, когда мы учитываем отношения между понятиями, выступающими в роли субъектов и предикатов их посылок и заключений. Если формы этих умозаключений записать в виде формул исчисления высказываний, то эти формулы окажутся нейтральными (напомним, что если форма умозаключения выражается тождественно истинной формулой исчисления высказываний, то такая форма является правильной).

В философии, когда мы устанавливаем связь категорий (под которыми обычно понимают предельно общие понятия теории), как это происходит в диалогах Платона, сочинениях Аристотеля, трансцендентальной логике Канта или "Науке логике" Гегеля, они выражаются единичными понятиями - а для их записи мы используем предметные константы. Когда же мы с помощью категорий описываем свойства или отношения объектов рассматриваемой предметной области, то мы пользуемся ими как предикатами, т.е. выражениями, обозначающими признаки (свойства и отношения) данных предметов.

Поиск по хештегу в мобильной версии канала: