Заходим в Закрепленное сообщение

Выбираем вкладку "Этот чат" (!):

Просматриваем версии искомого сообщения:

В компьютерной версии канала вкладка Этот чат открывается сразу:

У кого получилось, ставим 👍 😁

Условия истинности простых категорических высказываний и соответствующие круговые схемы Эйлера

О преимуществах выразительных возможностей естественного языка в сравнении с математическим формализмом.
Вне контекста рассуждения или предварительных соглашений цифровая запись чисел не позволяет однозначно судить о том, используются ли эти числа как количественные или порядковые числительные. Это имеет особое значение, например, в теории множеств, когда нам требуется различать символ, обозначающий количество элементов, входящих в данное множество, и символ, обозначающий порядковый номер элемента при пересчёте. Поэтому вводится такое понятие как мощность множества - количество (выражаемое количественным числительным) элементов, его составляющих. Мощность счётных бесконечных множеств обозначается буквой алеф еврейского алфавита. Если мощность счётного бесконечного множества мы представим как порядковое числительное, то добавление единицы (как при обычном пересчёте) не принесет желаемого результата: и бесконечное множество мощности алеф, и бесконечное множество мощности алеф плюс один ставятся во взаимно однозначное соответствие.

Так, теорема Кантора утверждает, что какова бы ни была исходная совокупность E бесконечных многообразий характеристик (например, m или w) E1, E2, ..., Eμ, ..., всегда найдется такое многообразие E0, каждая характеристика которой получена заменой исходной на противоположную по следующему правилу: из первой бесконечной последовательности (Е1) берётся первая характеристика, из второй (Е2) - вторая, из третьей (Е3) - третья и т.д., которая отсутствует в исходной совокупности E.

Каждое из исходных многообразий Е1, Е2, ..., Еμ, ... обладает мощностью алеф и находится во взаимно однозначном соответствии с любым другим из этой бесконечной совокупности и самой бесконечной совокупностью Е. Здесь алеф - количественное числительное, а порядковые номера каждого бесконечного многообразия Е, соответственно, порядковые числительные.

При формулировки теоремы мы используем следующий приём: вместе с Кантором мы показываем тот способ (метод), пользуясь которым можем получить интересующий нас объект - в данном случае бесконечное многообразие Е0, которое не содержится (по Кантору) в исходной совокупности. Определения, в которых указывается способ, которым можно получить определяемый предмет, называются операциональными. Требование вместе с предметом указывать способ, которым его можно получить, является ключевым для интуиционисткой и конструктивистской логики и математики.

С эпистемологической (эпистемология (греческий) - теория знания, наука о знании) точки зрения решение определенного класса задач определенным методом является свидетельством научности данного решения - эту мысль, в частности, развивает Томас Кун в работе "Структура научных революций" (1961). То есть, для того, чтобы считаться учёными, мы должны уметь решать задачи некоторого образца общераспространенными и общепризнанными на данный момент времени способами. Иными словами, для того, чтобы считаться сведующими в области теории множеств, математической логики и логики вообще, мы должны быть знакомы и уметь применять канторовский диагональный метод.

Метод Кантора называется диагональным, поскольку при наглядном изображении бесконечных многообразий Е1 Е2, ..., Еμ, ... каждая из которых записывается отдельной строкой, возникает впечатление, что мы проводим диагональ из верхнего левого угла страницы к нижнему правому. Визуально каждая строка, представляющая какое-либо бесконечное многообразие характеристик m или w, оканчивается многоточием, символизирующем соглашение о том, что мы считаем эту последовательность символов m или w бесконечной.

Е1: m, m, m, m, m, m, m, m, ...
E2: w, m, m, m, m, m, m, m, ...
E3: w, w, m, m, m, m, m, m, ...
... ... ...
Eμ: w, m, w, m, w, m, ..., m, ...
... ... ...

Кантор утверждает (и сегодня это утверждение считается общепризнанным), что повсеместная замена характеристик m и w по всей длине диагонали на их противоположности

Е1': w, m, m, m, m, m, m, m, ...
E2': w, w, m, m, m, m, m, m, ...
E3': w, w, w, m, m, m, m, m, ...
... ... ...
Eμ': w, m, w, m, w, m, ..., w, ...
... ... ...

создаёт бесконечно много бесконечных многообразий Е1', Е2', ..., Еμ', ..., которых НЕ БЫЛО в исходной совокупности Е.

Таким образом, если исходную совокупность Е мы можем поставить во взаимно однозначное соответствие с рядом натуральных чисел (пересчитать), то полученную совокупность Е' - уже нет, поскольку ни одно бесконечное многообразие Еi' не содержится в совокупности Е, так как Е1 и Е1' отличаются первой характеристикой, Е2 и Е2' - второй, и так далее. Такая совокупность Е' считается несчётно бесконечной, а существование несчётно бесконечных множеств - доказанным.

Таким образом, мы получаем следующую классификацию чисел: множество натуральных чисел (включая нуль) (N) счётно, множество целых чисел (Z) - счётно, множество "рациональных" чисел (дробей) (Q) - счётно, и, кроме того каждое из них попарно может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с другим; множество "иррациональных" чисел несчётно бесконечно и множество действительных (real number) чисел (R) - тоже несчётно бесконечно.

Умозаключение (рассуждение) - последовательность высказываний, в которой одно высказывание выводится из одного или нескольких других. Исходные высказывания называются посылками, а итоговое - заключением. В естественном языке на переход от посылок к заключению явным образом указывают слова "следовательно", "значит", "поэтому" и другие. В символической записи формы рассуждения мы показываем это горизонтальной чертой, отделяющей посылки от заключения, или символами " |- " и " |=" (первый для формальных, второй - для содержательных теорий), впервые использованными для этих целей Клини в 1934 году.

Умозаключения (рассуждения) можно делить на виды (классифицировать) разными способами: по количеству посылок, по форме перехода от посылок к заключению, по скорости данного перехода и другим - в каждом случае основанием деления будет выступать то или иное свойство умозаключений. Существенным для логики является свойство правильности умозаключений. Именно это свойство представляет собой предмет логики, который отличает её от других наук.

Все умозаключения, в соответствии с принципами противоречия и исключённого третьего, мы будем делить на правильные и неправильные, правильные, в свою очередь, на безусловно правильные и условно правильные, а неправильные - на правдоподобные и собственно неправильные.

Безусловно правильные, или всегда правильные, или дедуктивные (аподиктические - греч.🇬🇷) умозаключения - это те, правильность которых не зависит ни от природы объектов рассматриваемой предметной области, ни от их количества, а зависит только от их формы - то есть способа связи посылок и заключения в умозаключении или также способа связи понятий в посылках и заключении; символические выражения, используемые для записи форм таких умозаключений, называются общезначимыми формулами.

Условно правильные умозаключения - это те, форма которых выражается формулами тождественно истинными на определенном количестве предметов рассматриваемой предметной области (обозначим это количество как k) и которые перестают быть таковым на предметных областях, содержащих k+1 или больше объектов. Гильберт и Бернайс называют такие формулы тождественно истинными в конечном, а Клини - k-тождественно истинными. В общем виде можно сказать, что существуют формулы (которым соответствуют формы правильных рассуждений), истинные при любом, сколь угодно большом конечном количестве предметов рассматриваемой предметной области, но ложные при бесконечном, и существуют формулы, истинные на любых предметных областях (общезначимые).

Определяем правильность построения умозаключения двумя способами