Фигура I, модус AAI

Методом семантических таблиц

Обратим внимание, что если использовать общепринятую (с квантором всеобщности и без утверждения о непустоте предметной области) формулу для формы общеутвердительного высказывания, то доказательство методом семантических таблиц данного модуса не проходит.

Фигура I модус ААЕ

Заметим, что с использованием критерия неправильности умозаключения неправильность данного силлогизма доказывается проще: каждая посылка истинна, а заключение - ложно, поэтому данное умозаключение построено неправильно.

Фигура I модус ААО

Методом семантических таблиц

Какие преимущества даёт применение метода семантических таблиц по сравнению с общими правилами простого категорического силлогизма?
Прежде всего, метод семантических таблиц более общий - он может применяться не только для исчисления одноместных предикатов в теории моделей, но и в исчислении высказываний, и в исчислении предикатов большей местности.
Во-вторых, использование этого метода знакомит нас приёмами, которые будут использованы в других методах - исчислении секвенций, а также будут отражать те подходы, которые используются и при построении исчисления предикатов в теории доказательств.

Примечание. Нежирным курсивом выделены названия теорий, жирным курсивом - названия методов.

Понятие - форма мышления, позволяющая, благодаря указанию на какие-либо признаки (свойства или отношения) предметов, выделять предметы, обладающие этими признаками.
Всякое понятие, будучи знаком, обладает двумя характеристиками: смыслом и значением.
Смысловая характеристика понятия также называется его содержанием - это те признаки, на которые указывается в самом понятии.
Значение понятия, которое также называется его объемом - это множество предметов, обозначаемых данным понятием.
Особую группу понятий составляют собственные имена - они могут обозначать предмет, не указывая его признаков. Такие собственные имена мы можем рассматривать как результат соглашений пользователей языка.

По объему понятия делятся на: пустые - не обозначающие ни одного предмета в рассматриваемой предметной области, единичные - обозначающие ровно один предмет, общие - более одного предмета и универсальные - обозначающие каждый предмет рассматриваемой предметной области.

Особенностью нашего изложения науки о доказательстве является то, что мы НЕ рассматриваем пустые понятия как тождественные: не одно и тоже быть Бабой Ягой, круглым квадратом или дубом на множестве млекопитающих. Для сравнения: в теории множеств мы исходим из того, что пустое множество единственно, поскольку не существует входящих в него элементов, которые отличали бы его от какого-либо другого пустого множества.

В общем случае можно сказать, что свойство понятия относиться к тому или иному виду зависит от предметной области, на которой мы используем данное понятие.
Например, понятие город-герой Волгоград - единичное на множестве городов Российской Федерации и пустое на множестве городов Соединённых Штатов Америки.

При формализации выражений естественного языка для записи единичных понятий мы используем предметные константы, а для записи общих - предикатные формы с приданными предметными переменными.

По содержанию понятия делятся на: простые - в содержании ровно один признак обозначаемого предмета и сложные - более одного признака; положительные - ни одни из признаков не содержит отрицания и отрицательные - хотя бы один из признаков содержит отрицание; относительные - хотя бы один из признаков выражает отношение и безотносительные - ни один из признаков не выражается отношения.
По типу обозначаемых понятием предметов на: собирательные - элементам объёма являются множества и несобирательные - все остальные; конкретные - обозначают предметы рассматриваемой предметной области и абстрактные - обозначают свойства или отношения предметов.

Операции с объемами понятий. Эти операции совпадают с соответствующими операциями на множествах, а те, в свою очередь, могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие с нуль-, одно- и двухместными истинностными функциями исчисления высказываний.
Так, существует 4 одинарных и 16 двухместных операций, среди которых мы обычно выделяем: дополнение (неверно, что...), объединение (...или...), пересечение (...и...), вычитание (...и неверно, что...) и симметрическую разность (...либо...).

Объединение (the union) объемов понятий А и В - это операция, результате которой образуется новое понятие, обозначающее предметы, обладающие свойством А или свойством В.
Например, в результате объединения объемов понятий студент и спортсмен образуется новое понятие, обозначающее тех людей, которые являются студентами или спортсменами.
Для сравнения: пример 2.
{1, 2, 3} U {1, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}

Пересечение (the intersection) объемов понятий А и В - это операция, результате которой образуется новое понятие, обозначающее предметы, обладающие свойством А и свойством В.
Например, в результате объединения объемов понятий студент и спортсмен образуется новое понятие, обозначающее тех людей, которые являются студентами и спортсменами.