Пересечение. Пример 2.

Итак, следуя Аристотелю мы рассматриваем логику как науку о доказательстве.

Доказательство - это правильно построенная последовательность выражений.
Если в этих выражениях знаки обозначают только самих себя (используются автонимно), то такое доказательство называется формальным, если же эти выражения - высказывания, истинные или ложные на некоторой предметной области, то такое доказательство называется неформальным, или умозаключением.

Иными словами, выражения неформальное доказательство и умозаключение тождественны, то есть обозначают в точности одни и те же предметы. То есть:
Всякое неформальное доказательство есть умозаключение, и Всякое умозаключение есть неформальное доказательство.

Сказать "правильно построенная последовательность выражений" и "последовательность выражений, построенная по определённым правилам" - значит сказать одно и тоже.

В доказательствах, как формальных, так и неформальных, должен присутствовать знак, представляющий (указывающий на) переход от исходных выражений (посылок) к завершающему (заключению).
В естественном языке таким знаком являются слова "следовательно", "значит" и другие тому подобные, в языке специальных символов, как правило, применяется горизонтальная черта, или символ "|---", впервые использованный для этих целей Клини (на жаргоне логиков также называемый штопором).
Если подобный знак отсутствует, то у нас нет оснований считать такую последовательность выражений (высказываний) доказательством.

Таким образом, умозаключение (рассуждение), или неформальное доказательство - это последовательность высказываний, содержащая переход от одного или нескольких исходных высказываний (посылок) к другому высказыванию (заключению).
В логическом символизме переход от посылок к заключению в неформальном (содержательном) доказательстве выражается так называемым "двойным штопором" - символом "|==".

Символизм переходов

Если заключительное выражение (В на вышеуказанных схемах) выводимо из пустого множества исходных выражений (посылок), то такое выражение в формальном доказательстве называется теоремой, а в содержательном - общезначимым.
Если в какой-либо теории (например, исчислении высказываний или исчислении предикатов) Всякая теорема является общезначимым выражением, и наоборот, Всякое общезначимое выражение является теоремой, то говорят, что такая теория полна (или обладает свойством полноты).

Другим важным, наряду с полнотой, свойством теорий является их непротиворечивость: мы исходим из того, что возможность доказательства противоречащих друг другу выражений является нежелательной при построении теории.
Например, Исчисление высказываний как в гильбертовском (классическом), так и в генценовском (интуиционистском) вариантах непротиворечиво. Клини определяет это свойство как простую непротиворечивость: теория просто непротиворечива, если в ней ни одно выражение вместе со своим отрицанием не могут быть теоремами одновременно.

Установление таких свойств теорий как полнота и непротиворечивость традиционно относится к метаматематике, или теории доказательств, как её впервые назвал Гильберт. В рамках его подхода метаматематика - это содержательная метатеория, в которой по каким-либо параметрам, свойствам и критериям соотносятся формальные и другие содержательные теории.

Сейчас нам нужно вернуться к соотношению понятий "доказательство" и "умозаключение" и вспомнить, что ранее мы рассматривали доказательство как правильное умозаключение, утверждая, что Всякое доказательство есть правильное умозаключение и наоборот, Всякое правильно построенное умозаключение является доказательством.

Мы, таким образом, рассматривали доказательство как вид (разновидность) умозаключений, а именно как правильные умозаключения.

Теперь же мы поступаем иначе, рассматривая умозаключения как вид доказательств, а именно - как содержательные (неформальные) доказательства.

Это различие понимания отношений между понятиями доказательство и умозаключение показывает различия логики и метаматематики: в первом случае мы предполагаем уже существующей некоторую содержательную (неформальную) теорию, отношения между понятиями, высказываниями и умозаключениями которой мы формализуем в логике, используя специальный символизм; во втором - мы имеем дело с таким соотнесением формализмов содержательных и формальных теорий, который сам является содержательной теорией.

Проиллюстрируем это на парадоксе Лжеца. С точки зрения формальной точности и грамматической корректности передачи мысли в эпистолярном жанре мы должны были бы написать: "парадоксе, который называется "Лжец"", хотя с точки зрения обыденного, повседневного словоупотребления у нас не должно возникнуть особых проблем с пониманием.

Представим себе ситуацию, когда кто-то говорит: "Я лгу".

Напомним, что: 1) утверждения, в которых предмету приписывается признак (свойство или отношение) которым он обладает в рассматриваемой предметной области, и 2) утверждения, в которых наличие признака (свойства или отношения) отрицается у какого-либо предмета, который, действительно, не обладает им в рассматриваемой предметной области, называются истинными.
А также: 1) утверждения, в которых предмету приписывается признак (свойство или отношение), которым он не обладает в рассматриваемой предметной области или 2) утверждения, в которых наличие признака (свойства или отношения) отрицается у какого-либо предмета, который в действительности в рассматриваемой предметной области у него есть, называются ложными.

При этом мы, с одной стороны, говорим, что "истина" и "ложь" - это значения высказываний, с другой - что в качестве высказываний мы можем рассматривать только те предложения (утверждения), которые строго соответствуют либо не соответствуют некоторому положению дел в рассматриваемой предметной области.
Кроме того и для рассмотрения данного парадокса, и для изучения логики в целом, и для метаматематических исследований в частности важно проговорить, что "говорить правду" и "произносить истинное высказывание" - это одно и тоже.

В ситуации с парадоксом лжеца мы, ближайшим образом, должны выделить три различных предметных области:
Во-первых, это – предметная область людей, состоящая по крайней мере из двух человек: Произносящего фразу «Я – лгу» и Наблюдателя-Исследователя (Интерпретатора), слушающего (читающего) эту фразу. На этой предметной области нас интересуют такие свойства этих людей, как способность говорить (писать) на определенном языке и способность слушать (читать), осознавая смысл услышанного.
Во-вторых, это – предметная область высказываний и их свойств – быть истинными или ложными, соответствовать или не соответствовать какому-либо положению дел в некоторой предметной области.
В-третьих, это – предметная область значений высказываний, состоящая ровно из двух объектов – истина и ложь, и их свойств – например, совпадать или не совпадать.

Иными словами, Парадокс Лжеца имеет следующий вид: «Я произношу сейчас предложение, и Это предложение указывает на свое собственное истинностное значение, и Значение этого предложения для некоторого Интерпретатора (Наблюдателя–Исследователя) – ложь».

В нашей версии парадокса лжеца (также как и в любых других) Наблюдатель, предположивший, что значение данного высказывания - ложь, обнаружит, что каждое из простых высказываний, входящих в состав сложного, истинно, а потому и вся конъюнкция истина. Если же мы с этим согласимся, и присвоим нашей конъюнкции значение "истина", то окажется, что его последнее высказывание ложно, и оно в целом тоже должно оказаться ложным.

Во вступительном слове к монографии Клини «Введение в метаматематику» переводчик А.С. Есенин–Вольпин пишет, что: «Имеются всё же две монографии, которые играют ведущую роль в мировой литературе по математической логике,— это книга Гильберта и Бернайса «Grundlagen der Mathematik» (т. I—1934 г., т. II—1939 г.) и предлагаемая вниманию читателя более современная книга Клини «Введение в метаматематику» 1952 г.). Сам русскоязычный перевод данной монографии появился в 1957 году.
У меня есть намерение сделать разбор основных моментов каждого параграфа этой монографии на отдельных видеочатах в режиме онлайн, где вы могли бы задавать вопросы и озвучивать свои комментарии к прочитанному и услышанному. Начнем завтра в 20.00 мск, и давайте договоримся, что первые минуты «стрима» потратим на отладку технических моментов обратной связи.
Кто поддерживает, прошу ставить 👍 или дарить каналу "звезды".

Вот, скажем, первый момент.

Например, Есенин–Вольпин пишет: «От читателя не требуется никаких предварительных познаний в логике или математике. Однако подробное проведение всех опущенных автором деталей доказательств требует некоторой тренировки (которую, впрочем, можно приобрести в процессе тщательного изучения этой книги). Таким образом, книгу можно рекомендовать и начинающему—при условии, что он не боится трудностей».

Тогда как сам Клини замечает: «Книга написана с таким расчетом, чтобы она могла служить учебником для аспирантов-математиков первого года обучения1) (и старше) и для других лиц, достигших этого уровня владения математикой, независимо от их познаний в том или ином разделе математики» («The book is written to be usable as a text book by first year graduate students in mathematics (and above) and others at that level of mathematical facility, irrespective of their knowledge of any particular mathematical subject matter»).