Итак, следуя Аристотелю мы рассматриваем логику как науку о доказательстве.
Доказательство - это правильно построенная последовательность выражений.
Если в этих выражениях знаки обозначают только самих себя (используются автонимно), то такое доказательство называется формальным, если же эти выражения - высказывания, истинные или ложные на некоторой предметной области, то такое доказательство называется неформальным, или умозаключением.
Иными словами, выражения неформальное доказательство и умозаключение тождественны, то есть обозначают в точности одни и те же предметы. То есть:
Всякое неформальное доказательство есть умозаключение, и Всякое умозаключение есть неформальное доказательство.
Доказательство - это правильно построенная последовательность выражений.
Если в этих выражениях знаки обозначают только самих себя (используются автонимно), то такое доказательство называется формальным, если же эти выражения - высказывания, истинные или ложные на некоторой предметной области, то такое доказательство называется неформальным, или умозаключением.
Иными словами, выражения неформальное доказательство и умозаключение тождественны, то есть обозначают в точности одни и те же предметы. То есть:
Всякое неформальное доказательство есть умозаключение, и Всякое умозаключение есть неформальное доказательство.
❤10❤🔥2🤡2
Сказать "правильно построенная последовательность выражений" и "последовательность выражений, построенная по определённым правилам" - значит сказать одно и тоже.
❤10❤🔥2🤡2
В доказательствах, как формальных, так и неформальных, должен присутствовать знак, представляющий (указывающий на) переход от исходных выражений (посылок) к завершающему (заключению).
В естественном языке таким знаком являются слова "следовательно", "значит" и другие тому подобные, в языке специальных символов, как правило, применяется горизонтальная черта, или символ "|---", впервые использованный для этих целей Клини (на жаргоне логиков также называемый штопором).
Если подобный знак отсутствует, то у нас нет оснований считать такую последовательность выражений (высказываний) доказательством.
В естественном языке таким знаком являются слова "следовательно", "значит" и другие тому подобные, в языке специальных символов, как правило, применяется горизонтальная черта, или символ "|---", впервые использованный для этих целей Клини (на жаргоне логиков также называемый штопором).
Если подобный знак отсутствует, то у нас нет оснований считать такую последовательность выражений (высказываний) доказательством.
❤11❤🔥2🤡2
Таким образом, умозаключение (рассуждение), или неформальное доказательство - это последовательность высказываний, содержащая переход от одного или нескольких исходных высказываний (посылок) к другому высказыванию (заключению).
В логическом символизме переход от посылок к заключению в неформальном (содержательном) доказательстве выражается так называемым "двойным штопором" - символом "|==".
В логическом символизме переход от посылок к заключению в неформальном (содержательном) доказательстве выражается так называемым "двойным штопором" - символом "|==".
❤10❤🔥2🤡2✍1
Если заключительное выражение (В на вышеуказанных схемах) выводимо из пустого множества исходных выражений (посылок), то такое выражение в формальном доказательстве называется теоремой, а в содержательном - общезначимым.
Если в какой-либо теории (например, исчислении высказываний или исчислении предикатов) Всякая теорема является общезначимым выражением, и наоборот, Всякое общезначимое выражение является теоремой, то говорят, что такая теория полна (или обладает свойством полноты).
Если в какой-либо теории (например, исчислении высказываний или исчислении предикатов) Всякая теорема является общезначимым выражением, и наоборот, Всякое общезначимое выражение является теоремой, то говорят, что такая теория полна (или обладает свойством полноты).
❤11✍3❤🔥3🤡2
Другим важным, наряду с полнотой, свойством теорий является их непротиворечивость: мы исходим из того, что возможность доказательства противоречащих друг другу выражений является нежелательной при построении теории.
Например, Исчисление высказываний как в гильбертовском (классическом), так и в генценовском (интуиционистском) вариантах непротиворечиво. Клини определяет это свойство как простую непротиворечивость: теория просто непротиворечива, если в ней ни одно выражение вместе со своим отрицанием не могут быть теоремами одновременно.
Например, Исчисление высказываний как в гильбертовском (классическом), так и в генценовском (интуиционистском) вариантах непротиворечиво. Клини определяет это свойство как простую непротиворечивость: теория просто непротиворечива, если в ней ни одно выражение вместе со своим отрицанием не могут быть теоремами одновременно.
✍9❤5❤🔥3🤡2
Установление таких свойств теорий как полнота и непротиворечивость традиционно относится к метаматематике, или теории доказательств, как её впервые назвал Гильберт. В рамках его подхода метаматематика - это содержательная метатеория, в которой по каким-либо параметрам, свойствам и критериям соотносятся формальные и другие содержательные теории.
❤9❤🔥4🤔3🤡2
Сейчас нам нужно вернуться к соотношению понятий "доказательство" и "умозаключение" и вспомнить, что ранее мы рассматривали доказательство как правильное умозаключение, утверждая, что Всякое доказательство есть правильное умозаключение и наоборот, Всякое правильно построенное умозаключение является доказательством.
Мы, таким образом, рассматривали доказательство как вид (разновидность) умозаключений, а именно как правильные умозаключения.
Мы, таким образом, рассматривали доказательство как вид (разновидность) умозаключений, а именно как правильные умозаключения.
❤11❤🔥3🤡2
Теперь же мы поступаем иначе, рассматривая умозаключения как вид доказательств, а именно - как содержательные (неформальные) доказательства.
Это различие понимания отношений между понятиями доказательство и умозаключение показывает различия логики и метаматематики: в первом случае мы предполагаем уже существующей некоторую содержательную (неформальную) теорию, отношения между понятиями, высказываниями и умозаключениями которой мы формализуем в логике, используя специальный символизм; во втором - мы имеем дело с таким соотнесением формализмов содержательных и формальных теорий, который сам является содержательной теорией.
Это различие понимания отношений между понятиями доказательство и умозаключение показывает различия логики и метаматематики: в первом случае мы предполагаем уже существующей некоторую содержательную (неформальную) теорию, отношения между понятиями, высказываниями и умозаключениями которой мы формализуем в логике, используя специальный символизм; во втором - мы имеем дело с таким соотнесением формализмов содержательных и формальных теорий, который сам является содержательной теорией.
❤12❤🔥3🤡3✍2
Проиллюстрируем это на парадоксе Лжеца. С точки зрения формальной точности и грамматической корректности передачи мысли в эпистолярном жанре мы должны были бы написать: "парадоксе, который называется "Лжец"", хотя с точки зрения обыденного, повседневного словоупотребления у нас не должно возникнуть особых проблем с пониманием.
Представим себе ситуацию, когда кто-то говорит: "Я лгу".
Представим себе ситуацию, когда кто-то говорит: "Я лгу".
❤10✍4❤🔥4🤡3
Напомним, что: 1) утверждения, в которых предмету приписывается признак (свойство или отношение) которым он обладает в рассматриваемой предметной области, и 2) утверждения, в которых наличие признака (свойства или отношения) отрицается у какого-либо предмета, который, действительно, не обладает им в рассматриваемой предметной области, называются истинными.
А также: 1) утверждения, в которых предмету приписывается признак (свойство или отношение), которым он не обладает в рассматриваемой предметной области или 2) утверждения, в которых наличие признака (свойства или отношения) отрицается у какого-либо предмета, который в действительности в рассматриваемой предметной области у него есть, называются ложными.
А также: 1) утверждения, в которых предмету приписывается признак (свойство или отношение), которым он не обладает в рассматриваемой предметной области или 2) утверждения, в которых наличие признака (свойства или отношения) отрицается у какого-либо предмета, который в действительности в рассматриваемой предметной области у него есть, называются ложными.
✍9❤🔥6⚡3❤2🤡2
При этом мы, с одной стороны, говорим, что "истина" и "ложь" - это значения высказываний, с другой - что в качестве высказываний мы можем рассматривать только те предложения (утверждения), которые строго соответствуют либо не соответствуют некоторому положению дел в рассматриваемой предметной области.
Кроме того и для рассмотрения данного парадокса, и для изучения логики в целом, и для метаматематических исследований в частности важно проговорить, что "говорить правду" и "произносить истинное высказывание" - это одно и тоже.
Кроме того и для рассмотрения данного парадокса, и для изучения логики в целом, и для метаматематических исследований в частности важно проговорить, что "говорить правду" и "произносить истинное высказывание" - это одно и тоже.
❤9❤🔥5✍4🤡2
В ситуации с парадоксом лжеца мы, ближайшим образом, должны выделить три различных предметных области:
Во-первых, это – предметная область людей, состоящая по крайней мере из двух человек: Произносящего фразу «Я – лгу» и Наблюдателя-Исследователя (Интерпретатора), слушающего (читающего) эту фразу. На этой предметной области нас интересуют такие свойства этих людей, как способность говорить (писать) на определенном языке и способность слушать (читать), осознавая смысл услышанного.
Во-вторых, это – предметная область высказываний и их свойств – быть истинными или ложными, соответствовать или не соответствовать какому-либо положению дел в некоторой предметной области.
В-третьих, это – предметная область значений высказываний, состоящая ровно из двух объектов – истина и ложь, и их свойств – например, совпадать или не совпадать.
Иными словами, Парадокс Лжеца имеет следующий вид: «Я произношу сейчас предложение, и Это предложение указывает на свое собственное истинностное значение, и Значение этого предложения для некоторого Интерпретатора (Наблюдателя–Исследователя) – ложь».
Во-первых, это – предметная область людей, состоящая по крайней мере из двух человек: Произносящего фразу «Я – лгу» и Наблюдателя-Исследователя (Интерпретатора), слушающего (читающего) эту фразу. На этой предметной области нас интересуют такие свойства этих людей, как способность говорить (писать) на определенном языке и способность слушать (читать), осознавая смысл услышанного.
Во-вторых, это – предметная область высказываний и их свойств – быть истинными или ложными, соответствовать или не соответствовать какому-либо положению дел в некоторой предметной области.
В-третьих, это – предметная область значений высказываний, состоящая ровно из двух объектов – истина и ложь, и их свойств – например, совпадать или не совпадать.
Иными словами, Парадокс Лжеца имеет следующий вид: «Я произношу сейчас предложение, и Это предложение указывает на свое собственное истинностное значение, и Значение этого предложения для некоторого Интерпретатора (Наблюдателя–Исследователя) – ложь».
❤5❤🔥3⚡2🤡2🆒1
Как бы Вы определили истинностное значение высказывания: "Это предложение указывает на самого себя":
Anonymous Poll
7%
Затрудняюсь ответить
50%
Оно не может быть оценено как истинное или как ложное
27%
Общезначимое (тождественно истинное на любой предметной области)
17%
Истинное
0%
Ложное
✍5❤🔥3
Согласны ли Вы с тем, что высказывания "Это высказывание указывает само на себя" и "Это высказывание указывает на своё истинностное значение" различны?
Anonymous Poll
7%
Затрудняюсь ответить
76%
Да, согласен
16%
Нет, не согласен
✍7❤🔥3
В нашей версии парадокса лжеца (также как и в любых других) Наблюдатель, предположивший, что значение данного высказывания - ложь, обнаружит, что каждое из простых высказываний, входящих в состав сложного, истинно, а потому и вся конъюнкция истина. Если же мы с этим согласимся, и присвоим нашей конъюнкции значение "истина", то окажется, что его последнее высказывание ложно, и оно в целом тоже должно оказаться ложным.
✍6❤🔥3🤯2🤡2
Во вступительном слове к монографии Клини «Введение в метаматематику» переводчик А.С. Есенин–Вольпин пишет, что: «Имеются всё же две монографии, которые играют ведущую роль в мировой литературе по математической логике,— это книга Гильберта и Бернайса «Grundlagen der Mathematik» (т. I—1934 г., т. II—1939 г.) и предлагаемая вниманию читателя более современная книга Клини «Введение в метаматематику» 1952 г.). Сам русскоязычный перевод данной монографии появился в 1957 году.
У меня есть намерение сделать разбор основных моментов каждого параграфа этой монографии на отдельных видеочатах в режиме онлайн, где вы могли бы задавать вопросы и озвучивать свои комментарии к прочитанному и услышанному. Начнем завтра в 20.00 мск, и давайте договоримся, что первые минуты «стрима» потратим на отладку технических моментов обратной связи.
Кто поддерживает, прошу ставить 👍 или дарить каналу "звезды".
У меня есть намерение сделать разбор основных моментов каждого параграфа этой монографии на отдельных видеочатах в режиме онлайн, где вы могли бы задавать вопросы и озвучивать свои комментарии к прочитанному и услышанному. Начнем завтра в 20.00 мск, и давайте договоримся, что первые минуты «стрима» потратим на отладку технических моментов обратной связи.
Кто поддерживает, прошу ставить 👍 или дарить каналу "звезды".
50👍9❤3❤🔥1
Вот, скажем, первый момент.
Например, Есенин–Вольпин пишет: «От читателя не требуется никаких предварительных познаний в логике или математике. Однако подробное проведение всех опущенных автором деталей доказательств требует некоторой тренировки (которую, впрочем, можно приобрести в процессе тщательного изучения этой книги). Таким образом, книгу можно рекомендовать и начинающему—при условии, что он не боится трудностей».
Тогда как сам Клини замечает: «Книга написана с таким расчетом, чтобы она могла служить учебником для аспирантов-математиков первого года обучения1) (и старше) и для других лиц, достигших этого уровня владения математикой, независимо от их познаний в том или ином разделе математики» («The book is written to be usable as a text book by first year graduate students in mathematics (and above) and others at that level of mathematical facility, irrespective of their knowledge of any particular mathematical subject matter»).
Например, Есенин–Вольпин пишет: «От читателя не требуется никаких предварительных познаний в логике или математике. Однако подробное проведение всех опущенных автором деталей доказательств требует некоторой тренировки (которую, впрочем, можно приобрести в процессе тщательного изучения этой книги). Таким образом, книгу можно рекомендовать и начинающему—при условии, что он не боится трудностей».
Тогда как сам Клини замечает: «Книга написана с таким расчетом, чтобы она могла служить учебником для аспирантов-математиков первого года обучения1) (и старше) и для других лиц, достигших этого уровня владения математикой, независимо от их познаний в том или ином разделе математики» («The book is written to be usable as a text book by first year graduate students in mathematics (and above) and others at that level of mathematical facility, irrespective of their knowledge of any particular mathematical subject matter»).
❤8❤🔥3